👇👇👇免费进学习资料群！
【高一数学】上学期期中试卷合集(附解析)
【高二数学】上学期期中试卷合集(附解析)
【高三数学】上学期期中试卷合集(附解析)
首先三张图教你直观认识极值点偏移：
图一：左右对称，无偏移，如二次函数；若f(x1)=f(x2),则x1+x2=2x0
![]()
图二：左陡右缓，极值点向左偏移；若f(x1)=f(x2),则x1+x2＞2x0![]()
图三：左缓右陡，极值点向右偏移；若f(x1)=f(x2),则x1+x2＜2x0![]()
点评：该题的三问由易到难，层层递进，完整展现了处理极值点偏移问题的一般方法——对称化构造的全过程，直观展示如下：![]()
![]()
![]()
![]()
通过以上两例，相信读者对极值点偏移问题以及对称化构造的一般步骤已有所了解，但极值点偏移问题的结论不一定总是x1+x2＞(＜)2x0，也可能是x1x2＞(＜)x02， 借助前面的解题经验，我们就可以给出类似的过程。![]()
![]()
![]()
![]()
用对称化构造的方法解决极值点偏移问题大致分为以下三步：
![]()
![]()
第三步：
![]()
![]()
![]()
![]()
![]()
![]()
![]()
![]()
![]()
![]()
![]()
![]()
![]()
![]()
![]()
![]()
备注：用函数y=x-lnx来做(3)(4)两问，过程如行云流水般，格外顺畅，这说明在极值点偏移问题中，若函数选取得当，可化简过程，减低难度。
注意点1：
![]()
注意点2：
![]()
思考：
极值点偏移问题一中的练习1应该用哪一个函数来做呢？
![]()
![]()
![]()
![]()
解法一: 换元法
![]()
解法二: 加强命题
![]()
![]()
![]()
![]()
![]()
![]()
![]()
![]()
![]()
![]()
![]()
![]()
![]()
![]()
![]()
能否将双变量的条件不等式化为单变量的函数不等式呢？答案是肯定的，以笔者的学习经验为线索，我们先看一个例子．![]()
证明：
![]()
![]()
![]()
再解例1：
![]()
再解例3：
![]()
再解练习1：
![]()
再解例4：
![]()
再解例5：
![]()
再解例7：
![]()
再解例8：
![]()
行文至此，相信读者已经领略到比值代换的威力．用比值代换解极值点偏移问题方便、快捷，简单得很．只需通过一个代换就可"双元"化"单元"，变为单变量的函数不等式，可证．那是不是可以就此忘掉前面三讲的内容呢？只需比值代换，就可偏移无忧？
这里，笔者必须指出，前面再解的过程中有意地略去了一些例子（不知细心的你是否发现），这就补上，请读者明察．试再解例2：
![]()
试再解例6：
![]()
试再解练习2：
![]()
这是比值代换的败笔，又是最精彩之处．没有任何一种方法是万能的，我们不仅要熟悉它的优势，熟练它的操作，还要清醒地认识到它的缺陷，运用时要注意哪些问题，这其实是为了更好的运用．
最后，我们来看比值代换另一个应用．
![]()
![]()
![]()
![]()
![]()
![]()
![]()
![]()
回顾：
![]()
![]()
![]()
证法2：比值代换
![]()
证法3：主元法
![]()
证法4：积分形式的柯西不等式
![]()
证法5：几何图示法
![]()
![]()
图1
![]()
图2
再解例4：同本节例1
再解例5：同本节例1
![]()
极值点偏移问题，多与指数函数或对数函数有关，用对数平均不等式解题的关键有以下几步：
![]()
细心的读者不难发现，用对数平均不等式来解极值点偏移问题的方法也有一定局限性，也不是万能的（再解过程中漏掉了例6，读者可尝试），其中能否简洁地表示出对数平均数是关键中的关键．![]()
证法1：
![]()
证法2：
![]()
这一讲我们回到极值点偏移的直观图形上来，揭示极值点偏移问题的高等数学背景．以极小值点的偏移为例进行说明。![]()
图1
![]()
图2
![]()
![]()
![]()
以上只是直观（或者说非常粗略）的分析，下面拟用高等数学中的泰勒展开式进行严格证明，算作极值点偏移问题的另一种本质回归．
![]()
![]()
![]()
极大值点的情形，推导过程同上，但结果却恰好相反，不再详述．
![]()
注意：
![]()
再解例1：
![]()
![]()
试卷word打印版获取方法：点击阅读原文加学习群获取。
《以微课堂高中版》，江苏省数学名师、数学奥林匹克国家一级教练员，联手四名特级教师共同打造。
《以微课堂》旗下公众号矩阵
长按二维码识别关注
![]()
![]()
![]()
小学版 初中版 高中版
温馨提示：
![]()
试卷word打印版获取方法：点击下方阅读原文！
