丘成桐深度解析 | 黎曼：近代几何学的开始 | 数学与人文·第三十四辑 从古代到黎曼的几何历史

德国数学家黎曼(Georg Friedrich Bernhard Riemann，1826 — 1866)的一生才四十年，但是他二十年不到的研究生涯中得到的成果对数学的影响力，几乎可以说是前无古人，后无来者！

他的工作开创了一百五十年来的几何学、复变函数、黎曼曲面、拓扑学、解析数论、椭圆函数、代数曲线、激波理论，也为电磁学和广义相对论做了极为重要的奠基工作。

他一直到去世，都是个虔诚的基督徒。他的父亲是路德会的牧师。在1846年时，他到哥廷根大学读神学。但是在听完高斯和斯特恩(Moritz Abraham Stern，1807 — 1894)的课后，他决定改读数学。

在1847年的春天，他搬到柏林大学去专修数学，这里有施泰纳、雅可比、艾森斯坦(Ferdinand Gotthold Max Eisenstein，1823 — 1852)和狄利克雷(Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet，1805 — 1859)。在这些名师的教导下，他得到很深厚的数学和物理学的训练。

举例来说，1847—1848年的冬天，雅可比在柏林教授分析力学，黎曼在他班上学习。雅可比对于力学有独特的看法：“从纯数学的观点来看，这些定律是无法证明的：它们仅仅是惯例，却被假定为与自然相对应——它们不是先验证明的，但它们对应的性质必须通过实验来证明。”受到这个说法的影响，黎曼就把他在1854年伟大的就职演讲(Habitation Lecture)命名为《论作为几何学基础的假设》(Über die Hypothesen，welche der Geometrie zu Grunde liegen)。黎曼以后解释力学和物理学原理时，就提到“牛顿对运动定律或作用力定律与假设的区别，在我看来是站不住脚的。惯性定律是假设……”。

当时在柏林大学的艾森斯坦是数论大师，影响了黎曼在数论方面的研究，黎曼开始研究在椭圆函数领域中如何运用复变函数的方法。在柏林大学这段时间，他完成了复变函数的基础理论。

他也深受狄利克雷的影响。狄利克雷师从法国的傅里叶和泊松(Siméon Denis Poisson，1781 — 1840)，他在1855年继承高斯在哥廷根大学的位置。克莱因说：“由于一种相似的思维方式，黎曼内心强烈的志同道合使他与狄利克雷结下了不解之缘。狄利克雷喜欢用直觉的方式把事情说清楚；除此之外，他还会对基本问题进行尖锐的、符合逻辑的分析，并尽可能避免冗长的计算。他的方式适合黎曼，黎曼就采纳了这一点并按照迪利克雷的方法工作。”

黎曼在1849年返回哥廷根大学跟随高斯读博士学位，他在复变函数中的工作受到高斯的影响。他从高斯处知道复变函数也是保角变换，因此黎曼在复变函数的工作中，灵活地运用了几何学，而偏微分方程(柯西–黎曼方程)也变得很重要。他的博士论文《单复变量函数的一般理论基础》(Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Functionen einer veränderlichen complexen Grösse)在1851年提交。

在博士论文中，黎曼继续研究柯西开创的复变函数论，解决了复变函数解析延拓的问题，深入了解欧拉时代出现的发散函数，但是他比柯西跨进了更大一步，他开创了黎曼曲面的观念。黎曼曲面的引入可以说是一举数得。它解决了很多基本复变函数，例如 z 的开方，log z，的多值定义问题：通过黎曼曲面得到完美的定义和解释(这个做法被称为单值化(uniformization))。黎曼曲面的引入赋予了二维拓扑曲面一个重要的复结构，黎曼因此对拓扑学开始感兴趣。

他对于如何切割一个拓扑流形有重要的贡献，他将这些想法推广到高维空间，拓扑学家贝蒂(Enrico Betti，1823 — 1892)从黎曼那里学习到了高维拓扑学的一些基本构造。在1978年，韦伊(André Weil，1906 — 1998)写了一篇文章，其中引述了贝蒂写给他朋友塔迪(Placido Tardy，1816 — 1914)的两封信，里面详细讨论了黎曼对于高维空间拓扑学(analysis situs)的理念和做法，比如信中说道：“黎曼在与高斯就物理学中的一个话题进行交谈时，产生了用切割来描述曲面‘连通度(order of connection)’(即后来的贝蒂数)的想法。”这两封信写于1863年10月，韦伊在其文章中略作删节做了意译。在这里，我们可以看到黎曼已经掌握了高维空间拓扑的基本原则。

其实在黎曼的博士论文中，他已经提出了单值化定理及其可能的证明。他的想法深入地影响了复变函数和复几何两门学科的发展，包括卡拉比(Eugenio  Calabi， 1923 — 2023)猜想和瑟斯顿的几何结构定理。

高斯和黎曼一直都对物理学有兴趣。事实上，当黎曼从柏林回到哥廷根时，他做过物理学家韦伯(Wilhelm Eduard Weber，1804 — 1891)的助理，在1850年到1852年间在韦伯的实验室做助教，教导学生。他研究如何融合光和电动力学，在一篇报告《对电动力学的贡献》(Ein Beitrag zur Electrodynamik)中黎曼说：“我把我发现的电和光的联系在这里递交给皇家学会。”他在1854年春天还在帮助韦伯和科尔劳施(Friedrich Wilhelm Georg Kohlrausch，1840 — 1910)做量度韦伯常数 c 的重要实验。韦伯这一代物理学家开始不再全部相信牛顿的光为粒子的理论，他做了重要的波动力学的实验，也学习泊松及菲涅尔(Augustin-Jean Fresnel，1788 — 1827)的理论。他们重视假说演绎法(hypothetico-deductive method)。狄利克雷在聆听完韦伯的演讲后，说道：“通过最简单的实验发现的基本事实和人类思维与之相连的假设之间的严格分离，为真正的科学研究提供了一个无与伦比的模式。”这段日子，大部分物理学家在光粒子理论转为光波理论的时刻，开始相信物理学的理论需要有一个假设。他们开始相信无论实验多准确，总比不上找到一个能够解释现象的真实的理论。

这个看法影响了黎曼在1854年的著名演讲。在那里，他说：“几何学的命题(把空间与其他可以想象得到的三维延伸量区分开来的性质)不能先验地确认，而必须从经验中推导出来。这样就有一个问题，寻求那种足以规定空间度量关系的最简单的事实——根据这组事实的本质，这是一个不能完全确定的问题，因为允许有多组简单事实都可以用来规定空间的度量关系；对我们目前来说最重要的是欧几里得所奠定基础的那一组。这组事实，和其他事实一样，不是必然的，仅是从经验上得到了确认，它们是假设。因此，我们可以研究它们的可信性，这可信性在观察的范围内当然是非常大的。”

黎曼在1854年参加了德国要求的教授资格考试(Habilitation)，它是学者已经有了博士学位后要成为教授前的一个考核。除了资格论文《论函数以三角级数表示的可能性》(Über die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe)外，他还给了一个公开演讲，题目就是上面提到的《论作为几何学基础的假设》。黎曼本来准备了三个演讲题目供他的老师高斯选择：《关于函数以三角级数表示的可能性问题的历史》(Geschichte der Frage über die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe)、《论两个未知量的两个二次方程的解》(Über die Auflösung zweier Gleichungen zweiten Grades mit zwei unbekannten Grossen)以及《论作为几何学基础的假设》(Über die Hypothesen，welche der Geometrie zu Grunde liegen)，而公开演讲的是第三个题目。他说：“我的第一个任务是尝试着发展多重延伸量(后来称为流形)的概念。我更相信允许有一个宽容的评价，比如在这样的哲学性质的工作中，困难更多的是在概念上而不是在构造上，而且除了枢密院议员高斯先生在《哥廷根学术通报》(Göttingische Gelehrte Anzeigen)和在他的五十周岁纪念册上关于双二次剩余的第二篇评述论文，以及赫尔巴特(Johann Friedrich Herbart，1776 — 1841)的一些哲学研究调查外，我几乎没有任何经验。我也没有可以利用的先例。”这是一篇最富创造力的数学论文。

黎曼对几何学最伟大的贡献就是在1854年7月10日在哥廷根大学哲学系的就职演说，演讲的题目就是上面提到的《论作为几何学基础的假设》。他演讲的对象是大学里面普通的师生，所以整篇演讲仅有一个数学公式。黎曼的老师高斯坐在听众席中，虽然年事已高，但是听了黎曼的演讲后依旧极为激动。1861年为了解答巴黎科学院悬赏的一个热力学问题，黎曼提交了一篇论文，他写下了我们现在知道的黎曼曲率张量并用来解释均匀固体中热流的几何。这个演讲和这篇论文成为现代几何学的开始。

我们仔细去阅读黎曼的就职演讲，发现他其实是试图了解如何去构造物质存在的空间，他放弃了欧几里得和牛顿的方法：通过几个公理来推导一切定理。他要描绘的是我们存在的宇宙空间，他已经感觉到无穷小的空间和无穷大的空间应该有不同的描述方法，这是一个极为重要的问题。直到今天，几何学家和物理学家在融合粒子物理和引力理论时，也遇到同样的问题！为了解决这个问题，黎曼也愿意考虑离散的空间。在极小尺度的时候，他用二次微分形式来描述一点附近的几何，因此空间在微小尺度时，可以用欧氏尺度来逼近。但是黎曼极为重要的看法是：他容许用不同的坐标系统来描述同一个几何现象，但是这些不同的坐标系统在描述同一个几何现象时，它们中间有一个坐标变换系统，描述几何的数学表达方法必须和这个坐标变换相容，否则就没有几何意义了。所以黎曼要考虑标量、张量等概念，这是划时代的崭新的看法，事实上从根源上改变了牛顿的静态宇宙的看法，以后爱因斯坦(Albert Einstein，1879—1955)对时空的看法就是从黎曼而来。这个几何现象和坐标选取无关的原则就是物理学家要求的等效原理：物质的定律和观察者无关。观察者就是利用坐标系统去记录他所见到的物理现象，在爱因斯坦的广义相对论里面，引力产生的物理现象由几何来表示。爱因斯坦在1933年的演讲中就指出，广义相对论的基本结构由黎曼几何给出，因此黎曼为六十年后出现的广义相对论奠定了最重要的基础。

在爱因斯坦的理论里，引力势场由度量张量给出，它是一个张量；有别于牛顿力学中的引力势场，它是一个标量。牛顿力学中的引力方程是通过拉普拉斯算子作用在引力势场上而得出的。爱因斯坦要推广牛顿这个引力方程，所以他要对度量张量微分两次，然后求它的迹。但是微分两次出来的结果，由于等效原理，必须是一个张量。爱因斯坦不知道如何处理这个问题，他的合作者格罗斯曼(Marcel Grossmann，1878 — 1936)到图书馆找到了黎曼关于曲率张量的描述，并且发现里奇-库尔巴斯托罗(Gregorio Ricci-Curbastro，1853 — 1925)在1900年发现的里奇张量正好是黎曼曲率张量的迹，所以爱因斯坦很高兴。他和格罗斯曼在1913年及1914年写了两篇文章，它们可以说是广义相对论奠基性的作品。黎曼不单单为广义相对论提供了重要的基础，他也将几何学推动到一个新的水平：几何学家不需要用大范围的欧氏坐标来描述流形。通过测地法坐标系的计算，黎曼指出他的曲率张量在二维空间时刚好等于高斯曲率。高斯希望见到的内蕴几何因而诞生，他作为听众深表兴奋。黎曼也指出，欧氏几何、椭圆几何和双曲几何都是黎曼几何的特殊例子。

黎曼在他的演讲中只用了一页纸来描述黎曼曲率张量，以后戴德金(Julius Wilhelm Richard Dedekind，1831 — 1916)用了七页纸来解释黎曼的计算。

黎曼引入的几何一下子就解决了好几个大问题。事实上，假如黎曼能够活到六十五岁，他会看到1887年迈克耳孙–莫雷的伟大实验，知道光速在不同坐标下是不变的，估计他会独自完成狭义相对论和广义相对论。但是这顶多只是一个猜测而已。

另一方面，黎曼对于二次微分形式是否恰当，存在保留的心理。他提出可否用四次微分形式来代替。这一点相当有趣，尤其对于大尺度的宇宙，我们实在没有把握知道它的渐近状况。从代数的观点来看，我们对于四次形式开始有了一定的了解，对于黎曼这个想法值得去探讨。

黎曼在1866年去世后，他的跟随者有克里斯托费尔(Elwin Bruno Christoffel，1829 — 1900)、比安基(Luigi Bianchi，1856 — 1928)，里奇、贝尔特拉米(Eugenio Beltrami，1835 — 1900)、列维-齐维塔(Tullio Levi-Civita，1873 — 1941)等人。

克里斯托费尔是德国几何学家，师从狄利克雷和黎曼。他在柏林大学读书，之后在柏林、苏黎世和斯特拉斯堡待过。在1868年至1870年间，他写了四篇关于保角映射的文章。第一篇在苏黎世完成，而后三篇是在柏林的时候写的。他有名的克里斯托费尔–施瓦茨变换，将有界多边形一对一地映射到圆上。他重要的工作是研究两个微分二次形式什么时候等价，引入了著名的克里斯托费尔符号，从而发展了张量分析，影响了列维-齐维塔和里奇的工作。

比安基是意大利几何学家，他在黎曼几何的结构方程中推导出一些必要条件。这些用微分恒等式表示出来的必要条件，一般叫做比安基恒等式(Bianchi identities)，它们往往发挥了重要的作用。

几何学，从此进入新纪元！