《代数几何学原理》（EGA）是代数几何的经典著作，由法国著名数学家 Alexander Grothendieck（1928—2014) 在 J. Dieudonné 的协助下于 20 世纪 50—60 年代写成。在此书中，Grothendieck 首次在代数几何中引入了概形的概念，并系统地展开了概形的基础理论。EGA 的出现具有划时代的意义，对现代数学产生了多方面的深远影响。
首先，EGA 为代数几何建立了极其广阔、完整和严格的公理化概念体系和表述方式，极大地整合了这一数学分支的古典理论，并为后来的发展奠定了坚实的基础。
其次，EGA 把数论和代数几何统一在一个理论框架之内，促成了平展上同调等理论的建立，进而使著名的 Weil 猜想得到了证明，当前数论和代数几何中的许多重大进展都在很大程度上归功于 EGA 所建立的思想方法。
此外，EGA 的出现还促进了交换代数、同调代数、解析空间理论、代数 K 理论等多个数学分支的发展。
时至今日，EGA 仍然是所有介绍概形理论的书籍之中最全面和最系统化的著作，是数论和算术代数几何等方向的学生和研究人员的重要参考书。
格罗滕迪克
代数几何“圣经”
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EGA 的成书背景
节选自《译者前言》
代数几何考察由代数方程所定义的几何图形的性质，已经有漫长而繁复的历史。特别是其中的代数曲线理论，这已经被许多代的数学家使用直观几何语言、函数论语言、抽象代数语言等进行过详细的讨论，并积累了丰富的知识和研究课题。20 世纪初，意大利学派的几位数学家 (Castelnuovo，Enriques 等) 进而完成了代数曲面的初步分类。但在这一阶段，传统方法开始受到质疑，仅使用坐标和方程的语言在陈述精细结果时越来越难以满足数学严密性的要求。O. Zariski 意识到了问题的严重性，开始着手建立代数几何所需的交换代数基础。他所引入的 Zariski 拓扑、形式全纯函数等概念使代数几何逐步具有了独立于解析语言的另一种陈述和证明方式。J.-P. Serre 的著名文章 FAC 和 GAGA 等 (注1) 进而阐明，借助层上同调的语言，在 Zariski 拓扑上也可以建立起丰富而且有意义的整体理论。Grothendieck 在 EGA 中继续发展了Serre 的理论，把代数闭域上的结果推广为任意环上 (甚至任意概形上) 的相对理论，使数论和代数几何重新统一在以交换代数和同调代数为基础的完整而严密的体系之下(此前代数整数环和仿射代数曲线曾被统一在 Dedekind 整环的语言之下)，可以说完成了 Zariski 以来为代数几何建立公理化基础的目标。
Grothendieck 在扉页上把 EGA 题献给了 O. Zariski 和 A. Weil，这确认了 Zariski 对于 EGA 成书的重大影响。我们再来看 A. Weil 对于 EGA 的关键影响，这就要说到Weil 的著名猜想，揭示了有限域(比如 F = Z/pZ) 上的代数方程组在基域的所有有限扩张中的有理解个数所具有的神秘规律。Weil 把这种规律用 Zeta 函数 (注2) 的语言做出了表达，列举了 Zeta 函数所应具有的一些性质。其中还特别指出，这种 Zeta 函数的某些信息与另一个代数方程组 (前述方程组是这个方程组通过模 p 约化的方式而得到的) 在复数域上所定义出的复流形的几何或拓扑性质会有密切的关联。Weil 还预测到，为了证明他的这一系列猜想，有必要对于有限域上的代数几何对象发展出一套上同调理论，并要求这种上同调具有与复几何中的上同调十分相似的性质。在此基础上，上述猜想便可以借助某种 Lefschetz 不动点定理而得以建立。
Weil 的这个思路深刻地影响了代数几何语言的发展。上面提到的 FAC 就是朝向实现这一目标所迈出的重要一步 (注3)。但是仅靠凝聚层上同调理论被证明是不够的。Grothendieck 在 Serre 工作的基础上完成了一次思想突破，他意识到层上同调这个理论格式可以扩展到更广泛的“拓扑” 上，这种“拓扑” 已经不是传统意义下由开集公理所定义的拓扑，而是要把非分歧的覆叠映射也当作“开集” 来使用。基于这个想法定义出的上同调 (即平展上同调) 后来被证明确实能够满足 Weil 的要求 (注4)，但为了把该想法贯彻到有限域、代数数域、复数域等各种不同的环境里 (比如为了实现 Weil 猜想中有限域上的几何与复几何的联系)，就必须尽可能地把古典代数几何中的各种几何概念 (如平滑、非分歧等) 推广到更一般的语言背景下。
EGA 和很大部分的 SGA (注5) (它们原本就应该是 EGA 的组成部分) 都在致力于完成这种理论构建和语言准备的工作。最终，Weil 猜想的证明是由 Deligne (注6) 完成的，阅读他的文章就会发现，EGA-SGA 的体系在证明中起到了多么实质的作用。
注释
(注1) FAC 的全称是Faisceaux Algébriques Cohérents，发表在The Annals of Mathematics, 2nd Ser., Vol. 61, No. 2 (1955), pp. 197–278，中译名“代数性凝聚层”；GAGA 的全称是Géométrie Algébrique et Géométrie Analytique，发表在Annales de l’institut Fourier, Tome 6 (1956), pp. 1–42，中译名“代数几何与解析几何”。
(注2) 算术概形都可以定义出Zeta 函数，通常就称为Hasse-Weil Zeta 函数，Riemann Zeta 函数也包含在其中。
(注3) Weil 也以自己的方式为代数几何建立了一套基础理论，并写出了Foundations of Algebraic Geometry (1946)及Variétés Abéliennes et Courbes Algébriques (1948) 等书，他在这个基础上证明了对于曲线的上述猜想。
(注4) 参考: Grothendieck, Formule de Lefschetz et rationalité des fonctions L, Séminaire Bourbaki 1964/65, 279。
(注5）SGA 的全称是Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois-Marie。
(注6）参考: Deligne, La conjecture de Weil, I, Publications Mathématiques de l’I.H.E.S., Tome 43, n°2 (1974), p. 273–307，中译名“Weil 猜想I”。
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作者简介
亚历山大·格罗滕迪克（1928年3月28日－2014年11月13日），现代代数几何的奠基者，布尔巴基学派代表人物，20 世纪最伟大的数学家之一。
先后师从布尔巴基学派的分析大师让·亚历山大·欧仁·迪厄多内和著名的泛函分析大师洛朗·施瓦茨，二十几岁时就成为当时研究很热的拓扑向量空间理论的权威。
1957 年开始，格罗滕迪克的研究主要转向了代数几何和同调代数，1959 年他成为了刚成立的巴黎高等科学研究所的主席。
他的工作把勒雷、让-皮埃尔·塞尔等人的代数几何的同调方法和层论发展到了一个崭新的高度。他创立的概型理论奠定了现代代数几何的基础。1966 年获得国际数学界最高奖——菲尔兹奖。
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目录
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已出书目
代数几何学原理 IV.
概形与态射的局部性质
（第三部分）
作者：[法] Alexander
Grothendieck 著
译者：周健 译
书号：9787040621532
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代数几何学原理 IV.
概形与态射的局部性质
（第二部分）
作者：[法] Alexander
Grothendieck 著
译者：周健 译
书号：9787040602920
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代数几何学原理 IV.
概形与态射的局部性质
（第一部分）
作者：[法] Alexander
Grothendieck 著
译者：周健 译
书号：9787040580761
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代数几何学原理 III.
凝聚层的上同调
作者：[法] Alexander
Grothendieck 著
译者：周健 译
书号：9787040552089
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代数几何学原理 II.
几类态射的整体性质
作者：[法] Alexander
Grothendieck 著
译者：周健 译
书号：9787040526141
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代数几何学原理 I.
概形语言
作者：[法] Alexander
Grothendieck 著
译者：周健 译
书号：9787040506549
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