在众多关于衍生品定价的理论研究中，一般将股指的收益率假设为正态分布。本报告通过对历史数据的分析发现，国内外股票指数的收益率都不是无偏的，而未来收益率分布的偏度情况则表明了市场上投资者对于未来股指发生极端情况的预期。
一. 关于股票指数收益率的描述性统计
从图表1中的数据可以得到，在观察期内标普500指数的月度收益率的均值为0.99%，中位数为1.65%，偏度系数为-0.4031，整体呈现出一个比较明显的左偏特征。我们也可选取相同的时间区间，分别观察我国股票市场上的上证50和沪深300指数的月度收益率分布特征，具体如图表2和图表3所示。
从图表2和图表3中可以得到，与国外市场不同的是，在观察期内上证50和沪深300指数的月度收益率均值分别为0.66%和0.62%，中位数分别为0.01%和0.39%，偏度为系数为1.1247和0.5780，总体上呈现出一定的右偏特征。
综上，我们通过近十年的月度收益率数据可以观察到，在不同市场中，不同股票指数的月度收益率均出现了有偏的特征。但根据图表1至图表3中数据所计算得到的偏度系数均来自于历史数据，属于对历史收益率的一种描述（与历史波动率类似），其对未来投资的借鉴意义有限。我们希望通过衍生品市场的信息推导出一个股指收益率的“预期偏度”，当预期偏度越高时，则表示市场中投资者认为在未来市场出现极端情况的可能性越大。
二. 偏度指数的构建
本报告借鉴了芝加哥期权交易所（Chicago Board Options Exchange，CBOE）中SKEW指数的编制方法。股指未来30天的收益率偏度S可以由以下公式表示：
由于市场中并不一定存在剩余期限正好为30天的期权合约，故利用近月和次近月期权合约，采用线性插值的方法计算得到未来30天的收益率偏度，具体计算方法如下：
2. 偏度指数计算中的细节说明
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三. 基于ETF期权的上证50指数的偏度指数计算
根据上一部分中偏度指数的计算公式，我们以国内第一个上市的场内期权——上证50ETF期权为基础，计算上证50指数的偏度指数，计算周期为2015年2月9日至2024年10月15日，结果如图表4所示。
从图表4中可以看出，在指数本身发生较大波动时，偏度指数也会产生较为极端的数值，例如在2015年三季度内，偏度指数多次低于80，在今年9月30日，即节前最后一个交易日，上证50指数大涨7.17%，偏度指数到达了127.67。在整个计算周期内，指数收益率与其偏度指数的变化率相关系数为13.38%，总体来说呈现弱正相关关系。
四. 上证50偏度指数的预警能力研究
从本报告的第二部分分析可知，偏度指数利用场内期权市场信息来得到投资者对股指未来收益率分布情况的观点。本节通过观察偏度指数产生较大极值时，未来股指收益率的表现情况来验证偏度指数对于股指本身是否存在一定的风险预警作用。
本报告中对于偏度指数极值的定义为：与其历史数据相比较，当前时点偏度指数数值大于历史数据的99%分位数则为极大值，若小于历史数据的1%分位数则为极小值，历史数据长度为750个交易日（约三年）。在第三部分的回测区间内从2018年3月9日起（2015年2月9日至2018年3月8日为首期固定长度历史数据观察窗口）依次按日比较当天偏度指数数值与固定长度历史数据观察窗口内（即以当日为基准向前750个交易日）偏度指数数据的分位数作比较，筛选出极值。最后，以出现极值时为基准，计算此后一个月（本报告使用22个交易日来替代）股指的收益率。我们可以将偏度指数的数值作为横轴，随后一个月的股指收益率为纵轴画出偏度指数出现极值时的散点图，具体如图表5所示。
图表5中画出了上证50偏度指数在极值情况下（仅删除了一个异常值点）与其股指之后一个月收益率的相关关系散点图。从图表5中可以看出，当偏度指数出现极小值点时（蓝色），股指之后一个月的收益率相对偏高，即图表中蓝色点大多分布在图形左上方。当偏度指数出现极大值点时（红色），多数情况下其股指随后的收益情况均不太理想，即图表中红色点多分布在图形右下方，故说明偏度指数出现极值时对随后股指的风险预警有一定的借鉴意义。
上一节通过散点图的方法较为直观展示了偏度指数出现极端值时对股指风险的预警表现。同时，我们也可以通过构建一个择时组合来检验偏度指数对股指择时的效果。具体规则如下：首先，设立一个基准组合，该组合每日的收益率均与上证50指数收益率相同。其次，设立一个“择时组合”，该组合在偏度指数出现极大值时，从下一个交易日起连续22个交易日的日度收益率以中证全债指数（H11001.CSI）替代上证50指数，其余日期的收益率与基准组合保持不变。最后，将每日收益率进行累乘分别得到两个组合的单位净值曲线，回测区间为2018年3月9日至2024年10月15日，净值曲线如图表6所示。
若我们把极大值的定义从1%分位数放宽至5%分位数，采用相同回测规则和区间可得到图表7所示的结果。
从图表6和图表7中可以看出，当偏度指数出现极大值时（1%分位数图表6或5%分位数图表7），股指均处于阶段性高点或处于一轮快速上涨的末期，特别是在2021年一季度股指处于阶段性高点时，偏度指数给出了较为准确的预测，这充分说明了偏度指数对于股指后期的表现有一定的参考价值。
[1] Chicago Board Options Exchange. (2011). Cboe SKEW Index Whitepaper.
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