本文译自--Piezoelectric actuation for integrated photonics--
作者为--Hao Tian,1 Junqiu Liu,2,3 Alaina Attanasio,1 AnatSiddharth,4 Terence Blésin,4 Rui Ning Wang,4Andrey Voloshin,4 Grigory Lihachev,4 Johann Riemensberger,4 Scott E. Kenning,1 Yu Tian,1 Tzu Han Chang,1 Andrea Bancora,4 Viacheslav Snigirev,4Vladimir Shadymov,4 Tobias J. Kippenberg,4AND SunilA. Bhave1,∗,∗
本文主要有以下几个章节，我们分几篇来分享
简介
集成光子器件的超快压电调谐
激光应用中的压电调谐
射频声光调制
片上声光调制器的应用
未来发展
重点
Al2O3；--紫外光波导平台
SINOI；--超低损耗氮化硅薄膜晶圆，
SICOI；用于碳化硅光子集成线路的高纯半绝缘碳化硅薄膜衬底
LTOI；铌酸锂的最有力的竞争对手，薄膜钽酸锂晶圆
LNOI;8寸LNOI助力更大规模薄膜铌酸锂产品量产
划片和端面抛光，等离子刻蚀和划片，激光器芯片/探测器芯片/PIC芯片封装耦合服务"
我们为客户提供晶圆（硅晶圆，玻璃晶圆，SOI晶圆，GaAs，蓝宝石，碳化硅（导电，非绝缘），Ga2O3,金刚石，GaN（外延片/衬底）），镀膜方式（PVD,cvd,Ald，PLD）和材料（Au Cu Ag Pt Al Cr Ti Ni Sio2 Tio2 Ti3O5，Ta2O5,ZrO2,TiN，ALN镀膜刻蚀,ZnO,HfO2。al2o3。更多材料），键合（石英石英键合，蓝宝石蓝宝石键合）光刻，高精度掩模版，外延，掺杂,电子束直写等产品及加工服务(请找小编领取我们晶圆标品库存列表，为您的科学实验加速。
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1. 引言
集成光子学 [1,2] 有助于将研究实验室中的桌面光学系统带入芯片级，具有紧凑的尺寸、便携的重量和低功耗。
得益于纳米加工技术的进步，集成半导体激光器 [3–8]、调制器 [9–16]、光电探测器 [17,18] 以及超低损耗光子集成电路 (PIC) [19–26] 取得了重大成就。
此外，集成光波导中光的高度限制允许探索光学非线性 [27,28]，从而产生了非线性光子学，例如光频梳 (OFC) 生成 [29]、超连续 [30] 和二次谐波生成 [31,32]。例如，在克尔非线性光学微环谐振器中形成的耗散克尔孤子 (DKS) 微梳 [28,29,33] 提供了一种小型化、相干、宽带 OFC 源，其重复频率在毫米波到微波领域，这在从原子钟 [34,35]、电信 [36]、光谱 [37] 到光检测和测距 (LiDAR) [38] 等广泛应用领域以及与 III-V/Si 激光器的异质集成 [7,39–41] 中显示出良好的前景。
过去几十年来，人们开发了各种材料平台 [42]，包括 Si、Si3N4 [22–25]、LiNbO3 [19,43–45]、AlN [46,47] 和 AlGaAs [21,48]。由于互补金属氧化物半导体 (CMOS) 工艺的成熟，Si 已成为数据中心和光通信系统中商业化光调制器的主要材料。在过去十年中，Si3N4 因其宽透明窗口、超低线性损耗、大克尔非线性 (χ(3)) 和色散工程灵活性而备受关注 [28]。它已广泛用于生成孤子微梳 [49]、超连续 [28]、光学陀螺仪 [50] 和光学互连 [51]。最近，高 Q Si3N4 微谐振器已被用于抑制半导体激光器的相位噪声 [5,52,53]，其线宽可与商用光纤激光器相媲美。
对于许多先进应用来说，集成光子器件的高效高速调谐已成为必然。例如，微环谐振器的快速驱动可实现高带宽微梳重复率的稳定 [34,54]。
此外，谐振调谐可用于可调滤波器、补偿制造差异以及对准光学谐振器之间的光学谐振 [55,56]。
此外，光子电路的可编程性使得能够构建更复杂的光子电路，例如光子神经网络 [57] 和光子量子计算 [58]。另一方面，微波频率光学调制最近在基于时空调制的光学非互易性 [59] 和合成频率维度的拓扑光学带结构 [60–62] 等平台中需求旺盛，这可能为研究新物理现象开辟新途径。
传统上，可以通过加入电光材料（例如铌酸锂 (LiNbO3) 和氮化铝 (AlN)）来调制光波导，这些材料的折射率可以在外部电场下改变，这源于它们的 χ (2) 非线性。然而，对于 Si 和 Si3N4 等材料，由于它们的反演对称性，因此缺乏 χ (2) 非线性，很难对其进行电调制。因此，人们采用了热光调谐 [37,57,63–66]，但其受限于调谐速度慢（约 1 毫秒）、功耗高（约 1–100 mW）和热串扰大。因此，它与经典和量子光子计算中普遍存在的大规模光子集成和低温应用 [67] 都不兼容。尽管通过自由载流子注入 [68,69] 和载流子耗尽效应 [70,71] 对 Si 波导进行电光调制取得了可喜进展，但由于自由载流子吸收，其传播损耗较大。
或者，最近深入研究了与电光材料（例如石墨烯 [72–75]、单层 WS2 [76]、锆钛酸铅 (PZT) [77]、LiNbO3
[10,11,78–82]、钛酸钡 (BaTiO3) [83–86] 和有机电光材料 [87]）的异质或混合集成。然而，关于光学损耗和色散工程以及这些材料的 CMOS 复杂性，仍然存在悬而未决的问题。
由于微机电系统 (MEMS) 技术的进步，应力光学效应在无源光子波导和微环谐振器的驱动中引起了广泛关注 [88,89]。通过施加压电 [12,90–94] 或静电 [95–99] 外力，机械结构的变形将在光波导上产生应力和应变，从而通过光弹性 [100] 和移动边界效应 [101] 改变波导的有效折射率。虽然静电驱动已成功应用于光子波导和谐振器的机械弯曲，例如定向耦合器 [102]、光开关 [103–105] 和移相器 [106]，但仍存在需要在未来解决的挑战。例如，光波导必须悬空，这可能会损害其坚固性，而空气包覆波导的光损耗更高。
此外，调谐与施加电压呈二次函数关系，驱动带宽受基本机械共振限制，频率范围为千赫兹至兆赫兹 [107]。相比之下，压电方法通过将波导完全包覆在介电材料中来避免这些问题。Si [108] 和 Si3N4 [12,90,91,109] 微环谐振器的高效、线性、双向压电调谐已通过实验证明，调谐速度为亚微秒，保持功耗为纳瓦。此外，声波可以在几千兆赫兹下压电激发，从而实现芯片级声光调制 (AOM)。因此，应力光调谐可以在材料通用性、CMOS 兼容性和功率效率方面补充传统的电光和热光调谐
本综述重点介绍了集成光子器件的压电控制，全面讨论了压电材料、机械结构和工作频率范围等方面。第 2 节将介绍从压电效应到光机械相互作用的基本物理原理。我们将讨论不同的机械模式和材料平台。第 3 节回顾了已发布或未发布机械结构的 PIC 的最新压电控制，并比较了不同压电材料的调谐性能。第 4 节详细阐述了压电调谐的应用，从集成半导体激光器到可调 OFC。第 5 节介绍了射频 (RF) 下针对不同机械模式的 AOM，第 6 节讨论了 AOM 的应用。第 7 节给出了我们对未来压电控制集成光子器件发展的当前机遇和挑战的看法。最后，在第 8 节中，我们总结了主要特点，并总结了对未来应用的影响。图 1 给出了集成光子芯片的示意图，该芯片配备了各种压电致动器，用于不同的功能。这些设备的设计在相应的各节中分别讨论。
由压电致动器实现的多功能集成光子芯片的示意图，从可调光源（激光器和频率梳）、可控光路由（马赫-曾德尔干涉仪）和声光调制（使用表面或体声波或光机械晶体）到非互易光学设备（光隔离器）和频移（AOFS）。这些设备的集成兼容性需要特定的设计和制造考虑，这将在以下各节中讨论。
2. 操作基础
本节将介绍集成光子器件压电调谐的基本知识，包括通过压电效应产生机械应力和应变，以及通过应力光学效应调制折射率。典型器件结构的横截面如图 2 所示，其中压电材料薄膜夹在顶部和底部金属电极之间，并直接放置在光波导顶部。通过施加外部电信号，压电薄膜将膨胀或挤压，在光波导周围产生应力和应变，从而改变光学材料的折射率和波导形状。下面给出了一整套方程来估计光波导有效折射率的扰动和光学微谐振器的谐振频率。
光波导的典型压电调谐示意图。压电致动器放置在光波导的顶部（包层中的小矩形）。在外部电信号的作用下，压电薄膜会变形并在波导上产生应力（具有不同厚度的虚线），从而通过光弹性效应改变波导的有效折射率。波导的边界也会发生位移（虚线描绘波导的顶部和底部边界），从而改变波导的形状。转载自参考文献[110]。
2.1. 压电效应
压电效应是一种在外部压力下材料表面产生并积累电荷的效应。它只发生在没有反演对称性的晶体材料中，例如 PZT、AlN 和 LiNbO3。当在材料上施加外部电场时产生应力和应变时，也会发生逆压电效应。正压电效应和逆压电效应可以通过将电场与材料应变联系起来进行数学描述 [111]：
其中 ε 和 σ 分别为应变和应力，D 和 E 分别为电位移和电场，sIJ 为弹性柔顺张量，描述线性弹性材料中的微观胡克定律，ϵij 为电介质的介电常数，diJ 为压电应变系数，单位为 m/V（也等于 C/N）。请注意，压电应力系数 eiJ（单位为 C/m2）也经常在文献中引用，它表示应变产生的表面电荷密度。这里 diJ 和 eiJ 通常通过材料的弹性刚度张量 cIJ 来关联，见 [111]：
下标指标代表每个物理量的不同分量。大写指标 I、J 代表应力和应变，范围从 1 到 6，以考虑法向和剪切分量，Voight 符号为 1 → xx、2 → yy、3 → zz、4 → yz、5 → xz、6 → xy。指标 i、j 代表电场和位移，每个都有三个分量：1 → x、2 → y、3 → z。注意，由于对称性，dIjt =djI。压电系数与每种压电材料的晶体结构有关。虽然 diJ 有 18 个分量，但由于晶体对称性，只有少数非零。
表 1 总结了典型压电材料的压电系数及其机械性能。请注意，具体值可能会有所不同，具体取决于材料的成分和生长条件。但是，它是数值模拟的一个很好的起点。对于迄今为止大多数已证明的光子电路压电调谐，PZT 和 AlN 是两种主要被广泛使用的压电材料，因为它们具有高 e33 和成熟的铸造工艺。虽然 PZT 的压电系数几乎大 20 倍，但 AlN 具有更好的线性度、更小的介电常数（因此电容更小，充电放电时间更短）和零磁滞（因为 PZT 是铁电体）。此外，由于微波频率下的高损耗角正切，PZT 的驱动频率限制在 1 GHz 以下。另一方面，AlN 在微波频率下表现出色，并且已证明其具有高效的千兆赫 AOM [14,112–115]。因此，应根据应用的具体要求（高效率、线性或速度），通过仔细的设计和模拟来考虑合适的压电材料。
钪掺杂的 AlN (AlScN) 因压电系数 e33 远高于 AlN 而备受关注。LiNbO3 被广泛用作电光材料，但其在压电调谐中的应用较少。然而，由于其机电转换效率高得多，其在微波频率下通过激发声波用于 AOM 的应用已得到广泛研究 [15,146–150]。对于其他压电材料氧化锌 (ZnO) 和钽酸锂 (LiTaO3)，它们表现出与 AlN 和 LiNbO3 相似的特性，但它们在光子电路的压电调谐和 AOM 领域仍属新兴领域，进一步研究该方向可能会从集成、效率和成本的角度开辟新的可能性。
2.2. 光弹和移动边界效应
产生的应力和应变将通过应力光学效应改变光波导的有效折射率，该效应主要由光弹和移动边界效应组成，下面将对此进行详细说明。这些效应描述了光与机械结构（声波）之间的相互作用，广泛应用于腔体光力学[151]、受激布里渊散射（SBS）[152]和AOM [14,15]等领域。它们可在从直流（DC）到射频的宽频率范围内工作。虽然光弹和移动边界效应描述了力学对光的作用，但也会发生光子对机械结构产生光学力的逆效应，这分别对应于电致伸缩[153]和辐射压力[154]。光弹效应是指光学材料在应力和应变作用下折射率 n（和相对介电常数 ϵr）的变化 [100,155]。一般来说，相对介电常数是一个 2 阶张量，由于对称性而包含六个独立分量 [100]：
其中 ni
，i = 1，...，6，是与不同方向的电场相关的折射率，下标遵循与上一节相同的约定。应变下的折射率相对变化通常用应变光学系数 pij 来描述，如下所示
对于集成光子电路中使用的大多数光学材料，例如非晶态 SiO2 和 Si3N4，以及具有立方晶格的 Si，由于材料的对称性，应变光学系数只有两个独立分量[100]：
其中 p44 = (p11 − p12)/2。这些材料的应力-光学系数 Ci 也经常在文献中提及，它直接将折射率变化与应力 σ 联系起来，如下所示 [100]：
其中 n0 是光学材料的原始折射率。可以直观地解释为 C1 将折射率和应力关联在同一方向上，而 C2 将折射率和应力关联在正交方向上。应力光学系数 Ci 通过材料的机械性能与应变光学系数 pij 关联 [100]
其中 Emod、G 和 ν 分别为杨氏模量、剪切模量和泊松比。
现在我们知道了应力如何改变折射率，光弹效应引起的光波导有效折射率的变化可以通过 Bethe-Schwinger 微扰理论计算出来 [15,152,156]
其中分子是光波导中电磁能量的扰动，分母是光模式的总能量。这里 neff,0 是波导的有效折射率。体积积分取整个电磁场所在的区域。我们使用 ∆ϵ 表示 2 阶张量，分子中的被积函数可以展开为 [15]
其中ϵ0为真空介电常数。
∆(1/n2i)可直接根据式(5)中的应变-光学关系计算得出。
从式(11)和式(12)中，我们可以用有限元法(FEM)模拟光场和应变场分布，从而估算出光波导折射率的变化。
由于波导芯层和包层材料的折射率差别很大，波导边界的突然位移将改变波导的整体有效折射率，这就是所谓的移动边界效应。
当波导形状在外部机械应变下变形时，它将发挥重要作用。
在文献[101]中可以找到折射率与边界位移关系的严格推导，主要结果总结如下[15,156]：
其中 Q 是边界的机械位移，nˆ 是边界向外的法向量。Q · nˆ 的点积选取 Q 中垂直于边界的分量。这里 E∥ 只取与边界平行的分量，
D⊥ 是垂直分量。我们使用 ∆ϵ = ϵcore − ϵcladding 和 ∆ϵ−1 = ϵcore−1 −ϵ−1cladding 表示波导芯层和包层材料之间的介电常数差和介电常数倒数。分子中的表面积分取自波导的所有表面。
光学谐振器的谐振频率调谐可以从波导有效折射率的扰动推断出来，如下所示 [15]
其中 ω0 和 neff,0 分别为波导的原始光学谐振角频率和有效折射率。右侧的第二项是由于机械变形引起的光学微环谐振器半径的相对变化，对于跑道谐振器，可以用腔长的相对变化代替。请注意，这是沿纵向的光路变化，不应与横向的移动边界效应混淆。这些方程将有助于模拟在致动器上施加准直流电压时光学谐振的调谐。对于微波频率的 AOM，广泛采用单光子-声子光机械耦合率 g0 来描述光子和声子之间的相互作用，可以通过将方程 (14) 归一化来计算，使用机械运动量子基态的零点涨落 (ZPF)
其中 xZPF、meff 和 Ωm 分别是零点运动的振幅、机械谐振器的有效质量和谐振频率。这里 ρ 是材料的质量密度，max{Q} 和 max{Q2} 是整个机械模式下的最大位移及其平方。直观地讲，g0 测量光机械腔中单个光子和声子之间的散射率，并与光学和机械模式之间的重叠有关。它可以通过光学读出机械谐振器的热布朗噪声来进行实验校准[157]，通常在同调干涉仪中。从表达式中，我们还可以看到，机械质量 meff 和频率 Ωm 越大，xZPF 越小，因此耦合率越小。在需要大 g0 的情况下，最好将光学和机械模式紧密限制在小体积内。典型光学材料的光弹系数和光学特性
表2总结了集成光子学的几种主要材料。前三行是具有反演对称性的材料，既没有压电效应也没有电光效应。然而，它们是光波导中最广泛使用的光学材料，具有超低的光损耗、高三阶非线性和大规模生产。另一方面，它们表现出合理的光弹性系数，这是压电调谐的主要原因之一。对于表1中所示的压电材料，它们也是良好的电光材料，并且已经得到应用在电光调制器中 [10,158]。这种“巧合”是因为压电效应和电光效应具有相同的微观起源，这是由于这些材料的晶体结构的非中心对称性，使得它们支持依赖于外部应力和电场的自发极化。另一方面，它们可以通过在同一层上制造叉指换能器 (IDT) 来通过其压电性激发的声波进行调制（参见下一节）。最近，在这些材料平台上展示了高效的 AOM [14,15]。GaAs 和 GaP 最近因其高折射率和光弹系数而作为光机械晶体 (OMC) 在压电光机械领域引起了广泛关注 [142,159–163]。光学和机械模式的亚波长限制大大提高了光机械耦合率 g0。同时，较高的三阶非线性使得它们在非线性光子学中很有前景，最近已经跨越了连续行波克尔参量增益的难以捉摸的阈值[164]。因此，这些不同的材料在一个或多个方面显示出各自的优势，通常优选混合组合以充分利用。
表 2. 集成光子电路中使用的典型光学材料的光学和光弹性特性总结
a 如果没有指定，则测量线性和非线性折射率的波长为 1550 nm。o 和e 表示普通光轴和非常光轴。b Si3N4 的应力光学系数 C3 的大小在参考文献 [167] 中测量。此处 |p44 | 是根据杨氏模量和泊松比根据等式 (10) 得出的
2.3. 表面声波和体声波
除了准直流 (DC-MHz) 驱动外，当以微波频率 (GHz) 驱动时，压电致动器的振动将发射微米到亚微米波长的声波。根据声波的传播方向，它们主要可分为表面声波和体声波 (BAW)。声谐振器用作限制振动波以进行放大或吸收的容器。这种谐振器内的声波行为由声波方程和适当的边界条件控制，这些边界条件可以是自由的，也可以是固定的。自由边界条件意味着位移最大，而应力为零，通常发生在与空气或真空的界面处。相反，固定边界条件意味着位移为零，应力处于峰值。在不同材料之间的边界处，由于声阻抗不匹配，声波可能会被部分或完全反射。当这些反射波相互干扰时，就会产生声谐振，谐振腔的腔长对应于半波长的整数倍。压电致动器充当声源，促进更多振动波进入腔体，通常是通过在腔内的一个壁或间隙上施加压力来实现的 [177]。通过声谐振增强声能，可以实现高效的 AOM。AOM 通常在激光系统、光谱学和原子物理学中得到采用，因为它可以灵活地精确控制光的方向、强度和频率。传统的 AOM 主要是通过在块体压电晶体（例如熔融石英、LiNbO3、硫属化物玻璃）表面上制造的 IDT 激发表面声波 (SAW) 来实现的。它们主要适用于工作频率为 100 MHz 的自由空间光，消耗大量电能（几瓦）。得益于纳米制造和高质量压电薄膜晶圆级沉积的进步，直到最近十年才成功演示了芯片上 AOM 的集成，将调制频率扩展到 10 GHz 以上 [14,112,113,146–149,178]。大多数这些演示都是通过制造共面 IDT 电极来激发 SAW，如图 3(a) 所示，其中产生交变电场，进而激发周期性振荡的应变场。因此，声波的波长由 IDT 的周期决定。在微波频率下，由于声速较慢（比光速小五个数量级），声波的波长与光波长处于相似的量级，这提高了模式重叠和相互作用强度 [14]。
根据传播声波的极化方向，可以识别出不同的声学模式，例如瑞利波 [14]、兰姆波 [179] 和洛夫波 [180]，如图 3(b-e) 所示。前两种波在平面外振动，而最后一个波在平面内振动。在瑞利波中，粒子遵循椭圆轨迹，长轴在平面外方向。它主要是剪切（横向）波，但也具有纵向分量。兰姆波与瑞利波相似，
但主要指具有有限厚度的板，例如释放的压电薄膜。洛夫波，也称为剪切水平 (SH) 波，可以在释放和未释放配置中得到支持。这些声学模式的激发取决于电场与压电系数张量中相应分量的对齐，应根据特定晶体取向仔细选择该对齐，以实现最高效率。
除了 SAW 之外，通过在压电层的顶部和底部放置电极，声波可以垂直指向基板，激发所谓的高谐波体声波共振 (HBAR)。如图 4 所示，基板的顶部和底部表面自然形成声学法布里-珀罗腔，该腔紧密限制了声能并形成了丰富的声学共振模式系列。如图 4(b) 的模拟所示，振荡机械位移波被激发并均匀占据整个基板。根据压电材料和电极的位置，已经证明了纵向 [12] 和横向 (剪切) [181] 声波的激发。对基板厚度没有限制，可以是厚的未释放基板 (例如 200-500 µm) 或悬浮薄膜 [(也称为薄膜体声波谐振器 (FBAR)]。
HBAR 已广泛部署在现代无线系统中，用于高质量 RF 滤波器 [182,183] 和振荡器 [184,185]，并且还与量子系统耦合，例如超导 (SC) 量子比特 [186-188] 和氮空位中心 [189,190]。最近，已经证明了通过将 HBAR 与光子微环谐振器耦合而实现的高效 AOM [12,54]。
2.3a. 压电光机械模型和耦合效率
...尽管如此，BVD 模型是 MEMS 社区中最广泛使用的模型之一。
BVD 模型的电路如图 5(a) 所示，其中 LmCm 谐振器与电容器 C0 并联。C0 表示压电执行器本身的电容，而 LmCm 则反映机械谐振，其中 Lm 和 Cm 分别与机械动能和势能相关。虽然最初的 BVD 模型不包括损耗，但后来进行了修改，将电容器和机械模式的损耗作为电阻器纳入其中，这被称为修改后的 BVD (mBVD) 模型 [193]。Rm 与机械模式的固有损耗率 γm,i 相关，如下所示 [194]
图 5(b) 示出了一种典型机械模式的导纳，它由一个谐振和一个反谐振组成。谐振通常称为串联谐振频率 fs，它对应于串联谐振器 LmCm 的谐振频率（也是机械谐振）。反谐振来自两个并联分支之间的相互作用，它们的导纳被加到接近零。因此，这被称为并联谐振频率 fp。
改进的 BVD 模型。（a）BVD 模型的集总元件电路。（b）由 IDT 激励的典型 SAW 谐振器的电导纳。谐振和反谐振分别标记为 fs 和 fp。
压电耦合效率通常用称为 kt2,eff 的品质因数来表征，它与 fs 和 fp 之间的差异相关，如下所示
虽然在不同情况下还有其他定义，但这是最广泛采用的表达式之一[195]。从中我们可以看出，fs和fp之间的间距越大，kt2,eff越高，因此压电换能越强。此外，通过分析BVD模型的电路，fs和fp可以进一步与集总元件的值相关联，这样kt2,eff可以表示为
它与运动电容 Cm 与执行器电容 C0 之比大致成正比。声谐振器的 kt2,eff 最终受压电材料的限制，并与其压电系数、弹性和介电常数有关[194,196]。迄今为止，LiNbO3 SAW 谐振器已实现最高的耦合效率，效率接近 30%[180,197]。除了 BVD 模型外，机械谐振器还可以通过输入输出理论来描述，其中机械模式由其频率和腔内场的幅度参数化 [198]。它更方便地模拟机械和光学模式之间的耦合，这不仅适用于经典 AOM，而且与量子传导兼容。如图 6 所示，机械模式和光学模式以由腔内光泵光子数 no,p 增强的光机械耦合强度决定的速率耦合，使得 gom = g0√no,p，其中 g0 可从公式 (15) 中找到。机械（光学）模式的动力学可以通过其场振幅 bˆ(aˆ) 来描述，受海森堡-朗之万运动方程控制 [15,151,199–201]：
其中 κo (= κo,i + κo,ex) 和 γm (= γm,i + γm,ex) 分别是光学和机械模式的总损耗。采用围绕泵浦光频率的旋转框架，使得 ∆ = ωcav − ωp 是泵浦激光器和光腔之间的相对失谐。这里 aˆin (bˆin) 表示光波导（微波传输线）中的输入场。它们被归一化，使得 ⟨aˆ†inaˆin⟩ =Po/ℏωp (⟨ˆb†inˆbin⟩ = Pm/ℏΩp) 是泵浦光（微波信号）的光子通量[151]。按照同样的归一化方法，⟨aˆ†aˆ⟩ (⟨ˆb† ˆb⟩) 是腔内平均光子数（声子数）。
通过将 aˆ 和 bˆ 视为湮灭算符，上述模型可用于描述光学和机械模式之间的量子传导。它还可以轻松地融入其他量子系统，例如 SC 量子比特 [196]。另一方面，经典 AOM 可以通过对场振幅取时间平均值并去掉帽子来建模：a = ⟨aˆ⟩，b = ⟨ˆb⟩ [15,151]。此外，该模型适用于任何光机械系统，无论光学和机械模式的结构、尺寸和形状如何，例如法布里-珀罗腔、微环谐振器或 OMC。我们需要做的就是通过模拟和/或实验提取系统的参数。其中一个重要参数是从机械模式到阻抗为 Z0 的微波传输线的外部耦合率。它与机电 BVD 模型的关系已在参考文献 [194,198] 中推导出来：
机械模式和光学模式之间的转换示意图，它们通过光机械耦合速率 gom 耦合。机械模式通过微波传输线（阻抗为 Z0）以 γm,ex 的速率驱动，而光学模式通过光波导以 κo,ex 的速率耦合。光学（机械）模式的谐振角频率为 ωo (Ωm)。
通过将 aˆ 和 bˆ 视为湮灭算符，上述模型可用于描述光学和机械模式之间的量子传导。它还可以轻松地融入其他量子系统，例如 SC 量子比特 [196]。另一方面，经典 AOM 可以通过对场振幅取时间平均值并去掉帽子来建模：a = ⟨aˆ⟩，b = ⟨ˆb⟩ [15,151]。此外，该模型适用于任何光机械系统，无论光学和机械模式的结构、尺寸和形状如何，例如法布里-珀罗腔、微环谐振器或 OMC。我们需要做的就是通过模拟和/或实验提取系统的参数。其中一个重要参数是从机械模式到阻抗为 Z0 的微波传输线的外部耦合率。它与机电 BVD 模型的关系已在参考文献 [194,198] 中推导出来：
从该方程可以看出，机电耦合 kt2,eff 越大，外部耦合率越大。这些不同推导的压电光机械模型可以在不同情况下找到用途。BVD 模型可以轻松合并到其他电路中，并随着电路设计简化问题。例如，声学设备已成功引入 SC 电路，成为电路量子声动力学 (cQAD) 的新领域 [186,202–204]。此外，描述光机械相互作用的电路模型已经建立 [205,206]。另一方面，输入输出形式提供了物理直觉，并且与实验参数更紧密相关。因此，应根据具体问题选择正确的模型，有时将它们结合起来会很有益。
