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基金项目：
2021年国家社科基金艺术学重大项目“中国特色作曲理论体系研究”（21ZD17）。
成晓东（1995— ），男，河南大学音乐学院硕士。
摘 要：《音乐几何学》是美国著名作曲家、音乐理论家德米特里·提莫志克（Dmitri Tymoczko）于2010年出版的一本音乐理论著述，二音对几何空间是该著述中的一个重要组成部分。将《音乐几何学》中的二音对作为阐释对象，通过二音对音高空间和二音对音级空间视角，以古拜杜丽娜、勋伯格和勃拉姆斯的作品片段为佐证，对二音对在几何图形中的图形绘制及其示例等方面做简要说明，并以巴托克的《减五度》为例，展现“音乐几何学”中二音对几何空间理论在二声部音乐作品中的分析效能。
关键词：德米特里·提莫志克；《音乐几何学》；二音对；几何空间；《减五度》
文章刊登于《音乐探索》2024年第1期，第44～56页。
《音乐几何学》(A Geometry of Music)（下称“GM”）是美国著名作曲家、音乐理论家德米特里·提莫志克[1]（Dmitri Tymoczko，1969—）于2010年出版的一本音乐理论著述[2]。书中将音乐元素与空间几何相结合，以一个全新的视角，重新解读西方传统调性音乐。在GM中，音程(intervals)[3]、和弦（chords）、音阶(scales)等音乐元素均以几何空间的形式体现，更为直观地将各个声部之间的有效声部进行(efficient voice leading)及和声一致性(harmony consistency)等展现出来，为解读作品与理解音乐提供了一种新的工具和视角。GM一经出版，即在美国音乐理论界引起广泛关注[4]，但在国内音乐理论界却鲜有提及。
一、二音对几何空间的构建
提莫志克将和弦分为二音和弦（two - note chord）（下称“二音对”）、三音和弦（three - note chord）以及更多音的和弦。其中二音对主要以一维和弦空间（one - dimensional space）、二维音高空间（two - dimensional pitch space）及二维音级空间（two - dimensional pitch-class space）的方式呈示[5]。
一维空间是指仅由一条线内的点所组成的空间，它只有长度，没有宽度和高度，只能向两边无限延展。提莫志克常用一维图形中线段上的一个点表示音乐中的音高（pitch）或音级（pitch class），也可以表示两个不同音高或音级之间的进行。图1为有序的二音对（C4，E4）[6]在一维空间图形中的表现形式。从左到右代表了音高的渐次升高。灰色圆点代表第一个音，黑色圆点代表第二个音。
谱例1为C大调属七和弦至主和弦的进行，在一维空间中如图2所示。其中，灰色圆点代表属七和弦的音高，黑色圆点代表主和弦的音高，箭头所指方向为声部进行的方向，4个声部之间的进行可以看作4组有序的二音对（G2，C3）（B3，C4）（D4，C4）和（F4、E4）。从一维线性空间图中可以看出，每个二音对的第一个音向第二个音移动的方向和距离。
虽然一维空间也可以表现单个的二音对，但是当出现涉及声部进行的两组或更多组二音对时，该图形则无法清晰、直接地表达，此时可将二音对置于二维空间表述。
（一）二音对音高空间
二维空间(two-dimensional space)是指由长度和宽度（在几何学中为x轴和y轴）两个要素所组成的平面空间，可向所在平面延伸扩展，二音对音高空间在此基础上产生。提莫志克常用二维空间图形来表示音乐中的二音对或某一系列的三音和弦[8]。
1.基本空间
二维空间图形采用的是平面直角坐标系的方式。图3是有序的二音对（C4，E4）在二维空间的表现形式。其中x轴（水平方向）代表第一个音（二音对中较低的音），y轴（垂直方向）代表第二个音（二音对中较高的音），横轴从左到右以及纵轴从低到高均代表了音高的渐次升高。通过二维空间图，可以将一个二音对表示为平面直角坐标系中的一个点。当涉及到两个二音对或多个二音对之间的连接时，即可利用该坐标系将二声部的音乐转换成平面中的线段，从而更直观地表现出音乐的变化过程。
谱例2为俄罗斯作曲家索非亚·古拜杜丽娜（Sofia Asgatovna Gubaidulina，1931— ）的钢琴作品《音乐玩具》（Music toys）第十一首《带铃铛的雪橇》（Sled with bells）中的主题动机。该动机包含了反向（perfect contrary）、不完全反向（imperfect contrary）[10]、平行（parallel）和斜向（oblique）的二声部进行方式，在二维空间中如图4所示。
线段①为二音对（G5，A5）到（♯F5，♭B5）的进行，其中G5向下移动1个半音到达♯F5，A5向上移动1个半音到达♭B5。由于两个音移动的方向相反，但半音数相等，所以线段①为反向进行，在图中与呈东南—西北方向的角平分线平行。
线段②为二音对（♯F5，♭B5）到（G5，♯G5）的进行，其中♯F5向上移动1个半音到达G5，♭B5向下移动2个半音到达♯G5。由于两个音移动的方向和半音数量均不相等，所以线段②为不完全反向进行，既不平行于x/y 轴，也不平行于角平分线（东南—西北方向/东北—西南方向）。
线段③为二音对（G5，♯G5）到（♯G5，A5）的进行，其中G5向上移动一个半音到达♯G5，♯G5向上移动一个半音到达A5。由于两个音移动的方向相同，半音数也相等，所以线段③为平行进行，在图中与呈东北—西南方向的角平分线平行。
线段④为二音对（♯G5，A5）到（G5，A5）的进行，其中♯G5向下移动一个半音到达G5，A5不动，所以线段④为斜向进行，在图中与x轴平行。
由上可知，在该直角坐标系中，平行于角平分线呈东南—西北方向的线段，表示反向进行（两声部进行方向相反，半音数相同）；呈东南—西北方向或东北—西南方向但不平行于角平分线的线段，表示不完全反向进行（两声部进行方向相反，半音数不同）；平行于角平分线呈东北—西南方向的线段，表示平行的进行（两声部进行方向和半音数均相等）；垂直或平行于x轴的线段，表示斜向进行（其中一个声部保持不动，另一声部向上或向下进行）。
在《带铃铛的雪橇》（Sled with bells）主题动机的分析中可以看出，传统分析方法对声部之间进行方向与半音数量的分析，可以通过二维空间图形更为直观地体现，从而对各声部之间的连接方式有着更为细致的解读。
2.二音对音高空间的变化
提莫志克对音乐的分析更强调和声与对位中平行与反向的关系，因此将二维图形所展现的部分在上述基础之上做了进一步的变化。该变化不会以任何方式改变空间，只是更利于我们分析作品。
由上可知，在二维空间图中，x轴表示第一个音，y轴表示第二个音，而互相垂直的两条对角线分别代表了“相反进行”和“平行进行”（见图5a）。将图5a 顺时针旋转45°，可得到图5b。在图5b中，x轴表示平行进行，y轴表示反向进行。“第一个音”和“第二个音”则变成两条互为垂直的对角线。再将各个音级按照等距等比的方式填入图5b中，便得到了图6。
在图6中，每一个正方形内的二音对，低音均为从♯F到高八度♯F之内的音，高音均为C到高八度C之内的音。横向代表平行进行，每向右或向左移动一个点，两个音高便均增加或减少一个半音；纵向代表反向进行，每向上或向下移动一个点，两个音的音高便呈相反的方向移动一个半音；斜向45°或135°代表单声部的进行，即一个声部保持不动，另一个声部增加或减少半音。
在图6中所呈示的4个正方形中，左上和右下为八度变换关系[13]（每个二音对中第一个音相同，右下的第二个音比左上的第二个音高一个八度）；左下和右上亦为八度变换关系（每个二音对中第一个音相同，左下的第二个音比右上的第二个音低一个八度）；左上和左下以及右上和右下均为对称关系（以中间横线为对称轴）；左上和右上以及左下和右下为倒影对称（八度变换）关系。
（二）二音对音级空间
如若只考虑无序二音对音级时，便取其中一个正方形，即为二音对音级空间。二音对音级空间为有限空间，如图7所示。
平面几何中点所处的位置不同，所代表的意义也不尽相同。而点与点之间进行方式的不同，则体现了声部间多样的进行方式。因此，该空间中出现的点或线段，有如下7种解读方式。
（1）二音对所处空间位置由和弦性质决定。
在德米特里的几何空间图中，越是接近八度均分（divide the octave evenly）的和弦（包括二音对、三音和弦等），则越靠近中间位置（纵向）；越是紧凑的和弦，则越靠近边缘位置。因此，在每一个八度的正方形中，中心位置为均分八度的三全音，即二音对（C，♯F），与该二音对同在一行的二音对均为三全音；正方形的上端或下端均为最紧凑的二音对（同度）。
（2）同一水平线上音高相加之和递增或递减，同一垂直线上音高相加之和相等。
在该图中，横向代表平行进行，因此每向右移动一个点，两个音则分别增加半音，音高之和增加2，反之则减少2；纵向代表反向进行，因此每向上或向下移动一个点，其中一个音移高半音，另一个音降低半音，所以音高之和不变。
（3）每一个可想象的二音对均可在平面图中找到对应的点。
平面几何代表了无限的可能，每一个正方形内都包含了可想象的所有的二音对，只需通过精确的测量便可找到图中与之相对应的点。如包含微分音的二音对（C，E）[15]，由于C到
C和♯C的距离相等，因此该二音对位于（C，E）和（♯C，E）的中点处（见图7中①）。
（4）莫比乌斯带效应。
德米特里将该图形比喻为莫比乌斯带，体现在二音对进行至上方（或下方）边缘线将会反向进行；二音对进行至左方（或右方）边缘线将会从另一侧对应的点出现。
图7虽然无视音高的有序性，只考虑无序音级，但通过二音对之间的进行路线可以适当地表示音高及有序的音级。从图6可以看出，上下关系的正方形为对称关系（八度变换），将其转换为图7时，线段到达上方或下方边缘时将会反射回来。如：二音对（D4，♭E5）向二音对（D4，♯C5）进行的过程中（见图7中②），D4保持不动，声部♭E5经过D5到达♯C5，因此二音对（D4，♭E5）向二音对（D4，♯C5）进行的过程实际是（D4，♭E5）→（D4，D5）→（D4，♯C5）的过程，在图中显示为一条线段从（D，♭E）出发，到达正方形上方边缘（D，D）所在的点反射到点（♯C，D）。
在图6中，左侧和右侧的正方形为倒影对称（八度变换）关系，将其转换成图7时，线段到达边缘时会从另一侧相对应的点出现。如：二音对（♭E，G）向二音对（F，A）进行的过程中（见图7中的③），两个声部均向上移动了两个半音，声部♭E经过E到F；声部G经过♯G到A。因此二音对（♭E，G）向二音对（F，A）进行的过程实际是（♭E，G）→（E，♯G）→（F，A）的过程，在图中显示为线段从点（♭E，G）出发，达到正方形右侧边缘（E，♯G）所在的点，从图左侧边缘点（♯G，E）中出现，到达点（A，F）。[16]
（5）图形移动方向由二音对各音移动半音数决定。
音符顺序相同的情况下，第一个音（低音）移动的半音数减去第二个音（高音）移动的半音数为向上方运动的总数；第一个音移动的半音数加上第二个音移动的半音数为向右方运动的总数。（见谱例3）
点（C，E）进行到（D，F）有多种运动方式，图8是对其中4种运动方式的举例说明。虽然图7所呈示的正方形中无视二音对的有序性，将所有的音级都移动到一个八度之内，但是并不代表在该图中点（C，E）到（D，F）的进行只有单纯的一种（图8中①），而是可以根据实际音高，将二音对进行有序排列，再根据各个声部之间的进行，来绘制实际的路线图。
进行①：声部C向上移动了2个半音到D，声部E向上移动1个半音到F，所以点（C，E）向点（D，F）向右移动了2+1=3个单位，向上移动了2-1=1个单位。
进行②：声部C向下移动7个半音到F，声部E向下移动2个半音到D，因此点（C，E）向点（F，D）向右移动了-7+(-2)=-9个单位，向上移动了-7-（-2）=-5个单位，即向左移动了9个单位，向下移动了5个单位。
进行③：声部C向上移动了5个单位到F，声部E 向下移动一个单位到D，因此（C，E）向点（F，D）向右移动了5+（-2）=3个单位，向上移动了5-（-2）=7个单位。
进行④：声部C向下移动了7个单位到F，声部E 向上移动10个单位到D，因此点（C，E）向点（F，D）向右移动了-7+10=3个单位，向上移动了-7-10=-17个单位，即向下移动了17个单位。
（6）图中的每一个点都可以代表一个八度内的两个二音对。
由于图中的点代表无序的二音对，因此每一个点都代表了一个八度内的两个二音对。如：点（C，D）可以代表二音对（C，D）（二音对中的两个音距离为2个半音），同时也可以代表二音对（D，C）（二音对中的两个点距离为10个半音）。
（7）分别呈移位（transposition）相关的两组二音对进行，其相反运动值相等。
谱例4为阿诺德·勋伯格（Arnold Schonberg，1874—1951）《钢琴曲》（Op.33a）R10序列中第1、2、3、4、5、6、9、10号音高[18]，组成了4个二音对，每2个二音对为一组。两组二音对中的第一个二音对，相距均为10个半音，呈T11移位关系[19]，因此两个二音对在图中所代表的点在同一水平线上；两组中的第二个二音对，相距均为11个半音，呈T4移位关系，因此两个二音对在图中所代表的点也在同一水平面。从图中可以看出，两组二音对之间的进行，横向上的距离虽然有别，但是在纵向上的移动距离相等，代表其反向运动值相等（也可根据第5种解读方式计算得出）。由此可以说明，十二音音乐中，序列的选择、布局和使用，都经过了作曲家的深思熟虑，巧妙安排，每一个序列内部之间可能存在着移位现象；每一个声部进行之间，或许存在着某种联系，此种联系仅通过谱面观察或惯用分析技法无法直接进行解读，但将其置于几何空间图中便可清晰明了，这种清晰明了是以对二维平面音高几何空间之意涵深入了解为前提的。
谱例5为勃拉姆斯《间奏曲》（Op.116，No.5）第1—4小节的4组二声部进行，分别标记为“X1”“X2”（1—2小节）“Y1”“Y2”(3—4小节)，它们的二维平面几何空间图形可见图10a。可以看出，X1、X2 以点（E，B）为起始点向上下两侧移动；X2、Y2 以点（♯F，C）为起始点向上下两侧移动。若将左侧图像把点（E，B）向右下移动至与点（♯F，C）重合，4组二音对之间的进行关系便清晰明了（见图10b）：X1和Y2、Y1和X2分别关于中心点呈镜像关系。若将Y2 向上翻动至X1，Y1向下翻动至X2，二者将会完全重合（见图10c），即X1等价于Y2，X2等价于Y1。
通过谱例5可以看出，X1和Y2分别为反向运动（在图中方向垂直于水平线），而两者又以某种移位关系呈对称形态；X2和Y1分别为不完全反向运动（在图中方向为偏右的向上/下），两者以某种移位关系呈对称形态。针对这种现象，提莫志克如此形容：“在演奏勃拉姆斯的作品时，我总是隐约地意识到这些关系——你可以用手指感觉到完全相反的运动和不那么平衡的运动之间的区别，你可以感受到右手1、2小节两组纯粹的半音运动移动到左手3、4小节中。”[21]勃拉姆斯作品中的这一可逆对位关系很难用传统分析方法进行描述，但在几何图形中却可以清晰的表示。
二、二音对几何空间的应用
常见的二声部音乐作品，纵向的对位均为各种类型的二音对。因此，可将二声部音乐作品进行截断分析（可根据具体分析来选取不同的截断方式）。笔者选取匈牙利作曲家贝拉·巴托克（Béla Bartók，1881—1945）钢琴曲集《小宇宙》第四卷第101首钢琴作品——二声部音乐作品《减五度》作为分析对象。《小宇宙》虽是儿童钢琴作品，结构短小，但却处处体现了作曲家在音乐创作上巧妙的构思。《减五度》作为其中的作品，在结构、音高等方面都有着独特的设计。
笔者以乐句为标准进行截断分析，将每个乐句置于二音对音高空间中，通过图形之间的变化与联系，阐释重复型乐句和对比型乐句在同一作品中的几何关联，以此展现“音乐几何学”中二音对几何空间理论在二声部音乐作品中的分析效能。
该作品的整体结构为回旋曲式结构，分别为A（1—11小节），B（12—19小节），A1（20—25小节），C（26—35小节）和A2（36—44小节）详见表1。该作品在横向上，钢琴的两个声部均呈现了不同的调性中心，为双调性并置，其中心音都是通过声部的最低音来体现的，两个调性中心相距均为减五度；纵向上，两个相距减五度的局部音阶，结合形成了八声音阶。如1—5小节中，高声部为a 小调的前4个音A—B—C—D，低声部为♭e小调的前4个音♭E—F—♭G—♭A，两个声部共同构成了OCT（2，3）；12—15小节中，高声部为♭D大调的前4个音♭D—♭E—F—♭G，低声部为G大调的前4个音G—A—B—C，两个声部共同构成了OCT（0，1）。
将乐谱放置在几何空间里，可以清晰地看出作曲家的创作意图，如图11中3个例子。图11a中，存在一个重要的动机——直角梯形。第一个直角梯形由点1～8完成，直角梯形的两条平行边均为坐标系中对角线的平行边，为一声部保持不动，另一声部运动，另一条直角边亦为如此。第二个直角梯形由点6～14完成，是对第一个直角梯形的变化重复，体现在：（1）该直角梯形不是直接完成的，而是经历了点10、11的偏离才回到了原轨迹；（2）该直角梯形的面积仅为第一个直角梯形的四分之一（第一个直角梯形面积为20平方单位，第二个直角梯形面积为5平方单位）。在音高上，作曲家在强调两个中心音♭E—A。从图中可知，包含音级E的点有1、2、3、4、8、9、10、11、12、17，共10个；包含A的点有1、6、7、8、14、16、17，共7个。两个中心音相聚于点1、8、17，是该片段的最低音，位于图形的最左侧。
图11b是图11a的变化重复，可通过顺时针旋转90°图a并平移得到。从谱面可知，两声部交换了位置，但声部之间的对位也发生了偏移，在图中却依然保持了直角梯形的轮廓（由点1～8完成）。在提莫志克的语境中，是由于宏和声[22]（macroharmony）保持了一致性的缘故，均为OCT(2, 3)的。随着点9进行到点11，图中第二个直角梯形的轮廓形成。与1—5小节不同的是，它的第二个直角梯形与第一个直角梯形为全等关系，与1—5小节的面积一致，均为20平方单位。该片段的中心音为A—♭E音，两音出现在图形中最左侧的点上（点6、21和点9）。从音高的频率上看，包含音高D的点有1、2、3、4、8、15、16、17、19、20，共10个。音高D的高频率使用甚至影响了中心音的地位，从而体现了中心音向B乐段过渡的过程（♭E—D—♭D）。从图形外观来看，整个图形以三全音所在横轴完美对称，从图形内部而言又存在着很大的不同。提莫志克曾在GM中提及[23]，完全对称的进行在很大程度上是不如近似对称的进行更具有表现力的，因为近似对称的进行具有更多的音乐可能性。而该片段就是完全对称与近似对称的完美融合。
图11c是A乐段的缩减重复，由最初的两个乐句缩减成一个6小节的乐句，可通过旋转180°图11a得到。该部分中，依旧保持了直角梯形的核心动机，与前两次不同的是，这个直角梯形是由点1出发，至点5后反向回到点5（12）而完成的，增加了更多的变化在内。中心音所组成的二音对也位于该图的最左侧。
图12为12—19小节的二音对音高空间图。其中粗线部分为12—15小节，为b乐句的首次呈示；细线部分为16—19小节，为b乐句的变化重复（下行小三度模进）。由于两个乐句为模进关系，图形面积大致相同，中心音都在图形的最左侧，分别为E—♭B和G—♭D（图中为其等音♯C），整段音高也都在宏和声OCT（0，1）范围内。与A乐段相比，B乐段保留其部分基本元素（如直角梯形的两条直角边，粗线部分为点1～7，细线部分为点1～5），并由其变化发展而来。
图13为26—34小节的二音对音高空间图。其中粗线部分为26—29小节，为c乐句的首次呈示；细线部分为30—34小节，为c乐句的分裂展开。从图中可知，c乐句的第一次呈示保留了a乐句直角梯形动机的两个直角边（由点1～6构成），以及b乐句的等腰直角三角形的两条边（点1～6和点10～11共同构成），因此，c乐句是由a、b派生而来，音高上亦在强调中心音B和F（其中包含音高B的点有4、5、6、10、11、12、14，共7个点；包含音高F的点有1、2、3、4、8、9、15，共7个点）。
C乐段的第二个乐句的开始部分（点1～5）是粗线轨迹中点10～14的平移（向左平移两个半音）。之后随着音乐的分裂展开，细线图形也逐渐变得“面目全非”。C乐段是全曲最具展开性的一个片段，体现在织体的分裂和音高的复杂上。织体上由最初的八分音符占主导逐渐变为四分音符占主导，节奏上更加松散；音高上逐渐脱离八声音阶的控制，粗线部分的音高是在OCT(1,2)的基础上加入了♭E，其宏和声由8个音变为9个音；而细线部分的已经看不到八声音阶的痕迹，变为了♭b自然小调（高声部）与g旋律小调（低声部）的结合。
在该图中还出现了全曲第一个由连续的点所构成的闭合三角形。三角形是一种具有标识性的特征，是由一个特定的点出发，移动到另外两个点后返回到原始点上。三角形在整首作品中仅出现两次，第二次是在全曲的综合再现中。
图14为35—44小节的二音对音高空间图。该段落是全曲的综合再现兼尾声，以A段落材料为主，融合了B段和C段的部分材料。从图中可以清晰地看出A 段的轮廓，如：点4、5、6、7构成了直角梯形的上底和斜边；点1～7所构成的山峰外形正是图11b 中点5 ～11 的完美复刻，在该段落中点12～20的不断重复再次强调了该音型（图形）。B段中的等腰直角三角形外廓（图12粗线部分）在该图中由点1、7、30构成，虽未形成完整的直角三角形，但恰好与该段落的结构意义相吻合（只取各段落部分动机）；C段中的闭合三角形（图13细线部分中点11～14所构成三角形）是该作品第一个由连续点所构成的三角形，此三角形在最后再现段落中也得到了再现（图14中由点22～25构成）。该段落亦再现了A段的宏和声OCT(2, 3)，中心音为♭E—A，该图中包含♭E 的点有5、6、7、12、13、14、18、19、23、30，共10个点；包含A的点有1、2、3、4、8、9、10、16、17、21、28、29、30，共13个点。图形整体以减五度所在横轴近似对称。
通过将巴托克《减五度》的各个乐句放置在二音对音高空间，可直观地看出：（1）同一作品中同一主题的不同次变化，依然会保留主题中最核心的动机，如a乐句的直角梯形，b乐句的两条直角边等；（2）同一作品中不同主题乐句中也存在联系，如之后呈示的每一个乐句都保留了主要动机直角梯形的两条直角边，并在此基础上进行变化与发展；（3）看似音区相近的两个乐句在二音对音高空间中却没有任何的交集。
二音对几何空间不仅仅适用于二声部音乐作品，同样适用于多声部音乐作品。在多声部音乐中，可以截取重要的两个声部来探析各个声部之间的关系。该理论亦可与其他分析理论相结合，来探寻更多音乐的可能性，如申克分析理论。申克的简化还原分析法将西方古典音乐简化还原为“基本线条”与“分解低音”，这两条“旋律线”正是二音对几何空间中所适用的二声部对位。虽然提莫志克在GM中对申克理论进行了批评[24]，认为申克分析法抹去了音乐中的大量元素从而缺乏了真正的音乐性，但在笔者看来，以申克视角，在横向上提取结构音，在多声部音乐中提取边界声部，并与音乐几何分析相结合，将更有助于探寻音乐作品的深层结构意义。
结 语
在“音乐几何学”的理论中，二音对以平面几何的形式呈现，以一种全新的视角和方法对音乐作品进行新的解读。和弦之间的声部进行以最直观的方式体现，一些传统分析中无法捕捉的细节可以通过几何图形的方式显示出来。通过二音对几何空间的构建及巴托克《减五度》的分析应用得知，图形的形状和大小直观地表示了音乐作品的主要动机及音域，制图过程中点与点之间的连接更是有助于分析者了解作曲家的创作意图。一些对称或近似对称的进行在二音对空间中展现出来，传统分析中不易察觉的点也在几何空间中一览无余。
“音乐几何学”理论不仅是一种分析理论，同样可以反作用于作曲。可以预先在几何空间中绘制出自己想要的图形，如房子、蝴蝶等。将图形所在的点转换为实际音高，根据作品的情绪在为其配置相应的节奏，未尝不是一种可行的作曲方法。提莫志克在GM中反复强调，该理论是对西方传统调性音乐的重新解读。但在笔者看来，其理论不仅局限于西方传统调性音乐，对于20世纪的音乐乃至中国音乐作品也有着同样的功效。
传统音乐记谱法的演变是为了满足演奏者而不是音乐思想者的需求，它的设计是为了促进音乐符号转化为实际行动，而不是为了激起概念上的清晰。这就是为何同一和弦可以用如此令人眼花缭乱的方式来表示的原因。[25]几何空间忽略了乐谱的冗余和低效，简化了其过程，将音乐的细节呈显出来，从而可以直接地观察和声与对位关系。在二音对几何空间理论的基础上，所衍生出的三音和弦的三维几何空间，以及更高维度的空间或平面几何中其他形式的可能性，都值得我们进一步研究和学习。
注释：
[1]德米特里·提莫志克（Dmitri Tymoczko, 1969— ），任教于普林斯顿大学的一名作曲家和音乐理论家。他在2006年发表的文章《和弦中的几何》（The Geometry of Musical Chords）是《科学》(Science)杂志近144年历史上发表的第一篇音乐理论文章，受到大众媒体的广泛报道。他的音乐曾被全国各地的乐团演奏，并获得罗兹奖学金（Rhodes Scholarship）、根海姆学术奖金（Guggenheim Fellowship）和大量其他奖项。
[2]Dmitri Tymoczko, A Geometry of Music: Harmony and Counterpoint in the Extended Common Practice (Oxford: Oxford University Press, 2010).
[3]提莫志克在GM中将“音程”一概称为“二音和弦”。
[4]如《折叠音乐：声音进行空间之间的建模转换》《通过代数与几何研究和声结构的功能表达》《受限的声部进行空间》等。详见：Reeves M W, “Folding music: modeling transformations between voice-leading spaces” (PhD diss.,Boston University, 2012); Barth J.Tonnetz and Beyond，“In Search of Functional Representations of Harmonic Structures through Algebra and Geometry” (PhD diss., Kalamazoo College, 2015); Bulger D, Cohn R, “Constrained voice-leading spaces,” Journal of Mathematics and Music 10, no.1(2016): 1-17.
[5]三音和弦主要在三维和弦空间（three-dimensional chord space）呈示，超过三音的和弦则在更高维度空间（higher dimensional chord spaces）或其他几何形式中呈示。
[6]本文所涉及具体音高均参考“美国声学学会”（Acoustical Society of America）规定的标准（此标准亦为提莫志克行文习惯）。如，中央C为C4，低音谱号下加二线为C2，低音谱号第二间为C3等等。
[7]同[2]，p.66。
[8]三音和弦在三维空间呈示，三维空间的横切面即为二维平面，同在一个横切面的三音和弦具有某些相类似的特征。
[9]同[2]，p.66。
[10]GM中，提莫志克将方向相反、半音数一致的二声部进行称为“完全反向进行”（perfect contrary motion）；将方向相反、半音数不一致的二声部进行称为“不完全反向进行”（imperfect contrary motion）。
[11]同[2]，p.67。
[12]同[2]，p.68。由于空间平面是无限的，因此该图仅为局部展示。
[13]八度变换关系：两组二音对中，每组第一个音一致，第二个音呈八度关系。
[14]同[2]，p.74。
[15]C表示升高四分之一个全音的C，因此
C到C和到♯C的距离相等。
[16]由于该图中的点代表的是无序二音对，因此点（E，♯G）和（♯G，E）以及点（F，A）和（A，F）代表的是同一个二音对。
[17]同[2]，p.76。
[18]详细分析参见罗伊格-弗朗科利：《理解后调性音乐》，杜晓十、谭革胜译，人民音乐出版社，2012，第212页。
[19]T11中，T表示移位关系，11表示向上移动11个半音或向下移动1个半音，此处为向下移动1个半音。
[20]图10源自Dmitri Tymoczko, A Geometry of Music: Harmony and Counterpoint in the Extended Common Practice, p.78.
[21]Dmitri Tymoczko, A Geometry of Music: Harmony and Counterpoint in the Extended Common Practice, p.79.
[22]宏和声：短小时间内全部音的总和。同[2] ，p.15。
[23]同[2]，p.81。
[24]同[2] ，p.258。
[25]同[2]，p.79。
