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结构拓扑优化的边界惩罚法及应用
A Boundary Penalization Method for Topology Optimization and Its Application
作 者：刘洋
指导教师：杜建镔
培养院系：航天航空学院
学 科：航空宇航科学与技术
对于各类飞行器的结构而言，其对减重的需求极高，每一克质量都可谓是锱铢必较，如何在保证结构力学性能的同时降低结构的自重，从而提高飞行器飞行速度和飞行距离，是飞行器结构优化设计的重要目标。因此，建立基于数学、物理以及力学的结构优化设计理论，发展高精度和高效的结构优化设计方法，是飞行器结构设计面临的重大需求。
对于基于数学、物理、以及力学的结构拓扑优化理论和方法而言，针对现有理论方法普遍存在的精度低、效率低、易陷入局部最优等关键问题，提出新的优化理论框架：基于常微分方程的边界惩罚法。该方法主要具有以下特点和优势：基于常微分方程的水平集演化实现了坐标解耦，简单高效；正交单维演化拓扑演化能力强，演化完备，对初始解依赖性弱；正交单维演化通用性于任意维度，任意网格，适用于复杂工程问题；代理模型分离几何模型和材料模型，具有更高的可拓展性和可移植性；通过简单的边界惩罚方式，解决了边界不稳定问题；通过压缩水平集函数的正则化，可增强结构拓扑演化能力和计算效率。例如，在运用边界惩罚法求解结构静力拓扑优化问题时，该方法求解并获得了接近理论最优解的结构设计，精度偏差仅为1%左右，优化结果为光滑连续的板壳结构形式，而非具有孔洞的桁架结构形式。
在应用边界惩罚法求解结构导热优化问题时，关于全局最优解的讨论表明，结构稳态导热问题具有全局最优解，优化收敛解与初始解无关，目标函数具有唯一性，其数值特征为：在结构设计域内设计变量未到达上限的区域，结构温度线性变化，温度梯度大小处处相等，方向指向最近的热沉方向。从能量的角度而言，基于全局最优解的该种数值特征是最稳定的，热的传导与路径无关。在获得的全局最优解的结论的基础上，本文进一步讨论了最优导热结构形态。研究表明，在相同条件下，相比于文献中常见的树状解、以及针状解，本文方法求得的发状解目标函数更优，数值特征更接近全局最优解。当进一步加密有限元分析网格，减小惩罚因子，增大体积松弛步数后，本分方法得到的发状解具有更多的纤维状细节，目标函数与全局最优解十分接近，偏差仅在0.3%-0.5%之间，温度分布以及温度梯度分布基本与全局最优解一致。因此，本文研究揭示了结构导热优化问题的最优形态为发状形态。
在方法实际工程应用层面，针对现有力学超材料逆向设计中缺乏对基于曲面的壳系超材料的关注，将提出的边界惩罚法应用于壳系超材料设计，以进一步挖掘和提升壳系超材料的力学性能，并拓展至其他多功能应用场景。本文提出了多层曲面策略，对具有多层曲面的微结构进行优化设计，并对设计结果进行仿真和物理实验验证，研究表明设计的力学超材料具有接近理论极限的结构刚度。接着，本文对提出的多层曲面设计策略进行了进一步拓展：设计具有各向同性的多层曲面超材料；探讨了多层曲面微结构的弹塑性性能，通过低速冲击实验验证了多层曲面微结构的吸能效果；讨论了多层曲面超材料的多调控维度；探讨多层曲面设计在声学问题、静电问题、以及流热耦合问题方面的应用前景。
基于边界惩罚法优化求解所获得的光滑连续板壳结构
基于边界惩罚法优化求解所获得的发状形态为经典场-点导热问题的最优结构形态
基于边界惩罚法优化求解所获得的多层壳系超材料具有接近理论极限的结构刚度
1.提出了常微分方程驱动的边界惩罚法。采用正交单维演化方式解决了基于Hamilton-Jacobi方程演化的传统水平集方法的诸多数值问题，采用边界惩罚方法解决了连续体拓扑优化边界不稳定的问题。基于该方法的结构静力优化、振动优化、以及导热优化问题研究表明该方法具有精度高、效率高、优化结果具有全局最优性等优势。
2.更新了人们关于结构导热优化问题的认知。证明了稳态结构导热优化问题具有全局最优解，揭示了全局最优解的数值特征，即：在结构设计域内设计变量未到达上限的区域，结构温度线性变化，温度梯度大小处处相等，方向指向最近的热沉方向。从能量的角度而言，基于全局最优解的该种数值特征是最稳定的，热的传导与路径无关。
3.填补了壳系超材料拓扑优化的空白。基于提出的边界惩罚拓扑优化方法深入挖掘了壳系超材料的优化设计，提出了多层壳系超材料设计与优化策略，扩展并多元化了设计空间，使得壳系超材料的设计更加灵活，也更具有潜在的优越性能，为力学超材料设计带来了广阔前景。
[1] Yang Liu, Yongzhen Wang, Hongyuan Ren, Zhiqiang Meng, Xueqian Chen, Zuyu Li, Liwei Wang, Wei Chen, Yifan Wang, Jianbin Du. Ultrastiff metamaterials generated through a multilayer strategy and topology optimization. Nature Communications, in press, 2024.
[2] Yang Liu, Liang Chen, Zhen Li, Jianbin Du. On the global optimum for heat conduction. International Journal of Heat and Mass Transfer. Vol. 198, pp. 123381, 2022.
[3] Yang Liu, Cheng Yang, Peng Wei, Pingzhang Zhou, Jianbin Du. An ODE-Driven Level-Set Density Method for Topology Optimization. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, Vol. 387, pp. 114159, 2021.
何为优博微展？
优博微展是清华大学应届优秀博士毕业生论文精华的呈现，由清华大学研究生院联合各院系收集并发布，旨在对我校博士研究生的阶段性学术成果和在校时期科研成绩进行简要、集中展示。
作者、图片：刘洋
组稿、校阅：楚若冰
统筹：研究生院培养办
编辑与设计：研究生院综合办
