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高阶雅可比矩阵理论，高阶海森矩阵理论及二者在奇点理论中的应用
作 者：樊双赫
指导教师：左怀青
培养院系：数学科学系
学 科：数学
读博感言：感谢老师的辛勤指导！
在代数几何和奇点理论中，很多问题与收敛幂级数相关。雅可比矩阵和海森矩阵是非常经典的工具，但是它们在某一点的取值只能给出一次项系数和二次项系数对应的系数。在研究一般次数的项对应的系数，是比较困难的。本文试图把一般次数项对应的系数研究纳入经典的雅可比矩阵和海森矩阵的框架中，以此为工具对相关的经典问题进行研究。
1.论文提出了高阶海森矩阵，并研究了其合同变换法则；提出了两类高阶雅可比矩阵，研究了这些高阶雅可比矩阵的行列式性质、链式法则和莱布尼茨法则。
2.通过高阶海森矩阵理论构造了不变量，从而给出了不同射影流形间的非射影等价的全新判别法。
3.对高阶雅可比矩阵理论，给出以下三个应用：推广了代数几何中的经典的Tjurina代数和Milnor代数，相比之前的代数增加了高阶偏导数的信息，并保持了接触和右不变量的性质；提供了求整环上形式幂级数环自同构逆的新算法，借此可以求解非线性方程组；给出了有限确定性判断方法，相比以往的成果，这个判断方法在研究含参数的幂级数的有限确定性和参数之间的关系这个问题十分有效。
1.该论文建立了高阶海森矩阵理论并发展了高阶雅可比矩阵理论，使其能广泛应用于奇点理论的各种问题。
2.特别是完全解决了一类经典Calabi-Yau流形的长达二十余年之久的射影等价分类经典问题。
3.完全解决了丘成栋和左怀青等在J. Algebra（2023）提出的一个猜想，并把结论推广到更广泛的情形。
[1] S. Fan, S. S.-T. Yau and H. Zuo, Higher order Jacobian matrix theory and invariants of singularities, preprint.
[2] S. Fan, S. S.-T. Yau and H. Zuo, Higher order Hessian matrix theory and its applications in singularity theory and Calabi-Yau manifolds, preprint.
[3] S. Fan, N. Hussain, S. S.-T. Yau and H. Zuo, New invariants of singularities in terms of higher Nash blow-up local algebras, preprint.
何为优博微展？
优博微展是清华大学应届优秀博士毕业生论文精华的呈现，由清华大学研究生院联合各院系收集并发布，旨在对我校博士研究生的阶段性学术成果和在校时期科研成绩进行简要、集中展示。
作者、图片：樊双赫
组稿、校阅：楚若冰
统筹：研究生院培养办
编辑与设计：研究生院综合办
