论文链接：
https://doi.org/10.1016/j.engstruct.2024.117754
本期介绍
传统易损性分析方法通常需要引入线性相关近似或对数正态经验假定，使得由于假设过于简化而导致较大的分析误差。本研究提出了一种基于copula（连接函数）的云图法（cloud analysis）易损性分析，使得对关键参数的联合概率密度函数—尤其是地震强度测度（intensity measure, IM）和工程需求参数（engineering demand parameter, EDP）—的建模更加灵活和高效。该方法将联合概率密度函数分解为边缘概率密度函数和连接密度函数的乘积，然后分别对数据进行拟合，实现了给定强度测度条件下的工程需求参数分布计算，从而便于构建抗震易损性曲线。对预应力混凝土安全壳结构的应用验证了该方法的工程适用性。这一新方法不仅突出了基于copula在不同动力作用场景下评估结构性能的灵活性，还为基于性能的地震工程和安全评估提供了新的途径。
研究背景
Research Background
01
抗震易损性评估是地震工程领域中一项重要的研究内容，这需要通过定量分析结构在不同强度地震动作用下的失效概率，来评估结构的抗震性能。传统的抗震易损性评估方法（如增量动力分析、多条带分析以及传统云图法）通常依赖于统计矩的经验分布拟合与假设（Pang & Wang 2021, Cao et al. 2023c）。这些假设通常包括：
(1) 线性相关假设：认为强度测度和工程需求参数的对数具有线性条件期望关系；
(2) 条件分布假设：认为任意强度测度和工程需求参数条件分布均服从对数正态分布；
(3) 条件方差假设：认为任意强度测度下工程需求参数对数的条件方差均为常数。
这些假定的建立依赖于经验观测，认为输入的地震强度测度和输出的工程需求参数之间存在简单的线性关系。然而，实际工程结构具有复杂的非线性和随机性特征，这使得强度测度和工程需求参数之间的关系往往呈现出非线性的概率相依性。因此，传统方法可能会因为假设过于简化而导致较大的分析误差。
图1 传统易损性分析的概率需求模型
最近发展了一些全概率非参数化方法应用与地震易损性分析的尝试，例如基于核密度估计（Cao et al. 2023a）、概率密度演化理论（Cao et al. 2023b, Feng et al. 2023）、以及最新发展的解耦多变量概率密度演化方法（Lyu et al. 2024b）等。这些方法旨在避免任何经验假设，而是只基于随机地震动输入下精细化结构代表性动力分析数据给出易损性曲线。针对不同的实际工程结构，这些非参数化方法可以有效地给出更高精度的易损性分析结果，但在把握强度测度和工程需求参数的全局概率相依性方面不够灵活。在此基础上，本研究引入copula理论，发展了一类参数化全概率易损性分析方法。
方法概述
Method Overview
02
易损性函数即为强度测度条件下工程需求参数超越某一既定损伤状态的条件失效概率，它可以表达为强度测度条件下工程需求参数的条件概率密度函数在失效域内的积分，而其中的条件概率密度函数可以表示为强度测度和工程需求参数的联合概率密度函数除以强度测度的边缘概率密度函数。于是，易损性函数计算的关键即转化为了强度测度和工程需求参数的联合概率密度函数的计算。
根据copula理论，强度测度和工程需求参数的联合概率密度函数可以表示为其各自的边缘概率密度函数和其连接密度函数的乘积。于是，最终易损性函数可以表达为：
其中计算易损性函数所需的强度测度和工程需求参数的边缘概率分布与copula，可以根据结构在随机地震动作用下的代表性动力分析数据进行拟合，在几类备选概率分布族和copula族下通过极大似然估计拟合最优分布参数，根据拟合优度检验进行筛选，再通过Akaike信息准则选取最佳的概率分布与copula组合。具体的数值实现流程如图所示：
图2 数值实现流程
具体数值实现步骤包括：
(1) 根据具体的工程地震场地特征与随机地震动模型，生成随机地震动的若干代表性时程数据，并提取其强度测度值。
(2) 将地震动代表性时程作为结构输入，对实际工程结构进行精细化有限元建模与地震动作用下的代表性非线性有限元动力分析，获得结构响应的代表性时程数据，并提取其工程需求参数值。
(3) 在若干备选概率分布族下，采用极大似然估计确定强度测度与工程需求参数各自的边缘概率分布的最优参数，并进行假设检验，同时通常Akaike信息准则选择最佳的边缘概率分布形式。
(4) 在若干备选copula族下，采用极大似然估计确定强度测度与工程需求参数的copula的最优参数，并进行拟合优度检验，同时通常Akaike信息准则选择最佳的copula形式。
(5) 将边缘概率密度函数与连接密度函数的拟合结果代入易损性函数计算公式，在失效域内做数值积分给出易损性分析结果。
数值结果
Numerical Results
03
工程案例：核电站预应力混凝土安全壳结构
图3 预应力混凝土安全壳缩尺模型的几何尺寸
图4 预应力混凝土安全壳建模理论
图5 缩尺模型的地震波过程
图6 预应力混凝土安全壳的前十阶模态
图7 随机参数与地震的代表性输入生成
图8 代表性动力分析的强度测度与工程需求参数
图9 不同copula模型下强度测度与工程需求参数的联合概率密度函数
图10 强度测度与工程需求参数的不同copula的Akaike信息准则
图11 基于推覆法的顶点位移极限状态确定
图12 基于copula云图法的抗震易损性曲线
研究结论
Conclusion
04
本研究提出了一种基于copula的云图法，用于工程结构的抗震易损性评估，并将其应用于预应力混凝土安全壳结构。研究得出的主要结论如下：
(1) copula理论为建立抗震易损性分析中两个关键概率相依参数（地震强度测度和工程需求参数）的联合概率分布模型提供了方便灵活的框架。该联合分布模型是参数化的，可以利用结构抗震分析的代表性数据进行估计。随后，通过在失效域内积分给定强度测度条件下的工程需求参数的条件分布，可以容易地获得抗震易损性曲线。
(2) 不同的copula模型在拟合抗震易损性曲线时会产生显著不同的结果。在实际应用中，可以考虑多个备选的copula模型进行联合分布建模，并通过Akaike信息准则等拟合优度检验方法确定最佳拟合的copula参数化模型。
(3) 本文提供了一个全面的抗震易损性评估框架，涵盖了从结构随机参数和随机地震动的抽样、有限元缩尺模型建模到进行非线性动力分析的全过程。最终应用基于copula的参数化云图法来评估预应力混凝土安全壳结构的抗震易损性。评估结果展示了使用基于copula的云图法进行抗震易损性评估的灵活性和优势。
本文提出的基于copula的参数化云图法可以进一步应用于评估各类随机动力作用下不同工程结构的易损性，并为基于性能的地震工程实践中的安全评估和设计提供指导。此外，本文提出的方法仅涉及强度测度和工程需求参数两个变量的条件copula构造。对于涉及多个变量（两个以上）的易损性评估问题，如多损伤状态、向量型强度测度以及主余震易损性评估（Lyu et al. 2024a），可以通过多元copula或vine copula（蔓式连接函数）方法进行进一步的扩展和应用。
论文引用格式：
Lyu MZ, Fei ZJ, Feng DC, 2024. Copula-based cloud analysis for seismic fragility and its application to nuclear power plant structures [J]. Engineering Structures, 305: 117754.
DOI: 10.1016/j.engstruct.2024.117754
论文作者：
律梦泽 Meng-Ze Lyu
同济大学博士后
合作导师：陈建兵教授
邮箱：lyumz@tongji.edu.cn
主页：https://www.researchgate.net/profile/Meng-Ze-Lyu
其他作者：
1.费资鉴 Zi-Jian Fei
东南大学土木工程学院工程硕士生
导师：冯德成教授
2. 冯德成 De-Cheng Feng，通讯作者
东南大学土木工程学院教授
教育部青年长江学者
部分参考文献
[1] Cao XY, Feng DC, Beer M, 2023a. A KDE-based non-parametric cloud approach for efficient seismic fragility estimation of structures under non-stationary excitation [J]. Mechanical Systems & Signal Processing, 205: 110873.
[2] Cao XY, Feng DC, Beer M, 2023b. Consistent seismic hazard and fragility analysis considering combined capacity-demand uncertainties via probability density evolution method [J]. Structural Safety, 103: 102330.
[3] Cao XY, Feng DC, Li Y, 2023c. Assessment of various seismic fragility analysis approaches for structures excited by non-stationary stochastic ground motions [J]. Mechanical Systems & Signal Processing, 186: 109838.
[4] Feng DC, Cao XY, Wang D, Wu G, 2023. A PDEM-based non-parametric seismic fragility assessment method for RC structures under non-stationary ground motions [J]. Journal of Building Engineering, 63: 105465.
[5] Lyu MZ, Fei ZJ, Feng DC, 2024a. Vine-copula-based multi-dimensional fragility analysis of nuclear power plant under sequential earthquakes [J]. Structural Safety, 110: 102494.
[6] Lyu MZ, Feng DC, Cao XY, Beer M, 2024b. A full-probabilistic cloud analysis for structural seismic fragility via decoupled M-PDEM [J]. Earthquake Engineering & Structural Dynamics, 53 (5): 1863-1881.
[7] Pang YT, Wang XW, 2021. Cloud-IDA-MSA conversion of fragility curves for efficient and high-fidelity resilience assessment [J]. Journal of Structural Engineering, 147 (5): 04021049.
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