1. 试用期内辞职：根据《劳动合同法》第三十七条规定，劳动者在试用期内提前三日通知用人单位，可以解除劳动合同。
2. 非试用期内辞职：同样根据《劳动合同法》第三十七条的规定，劳动者提前三十日以书面形式通知用人单位，可以解除劳动合同。
3. 告知义务：教师辞职需要主动告知学校。在试用期内没有要求，但在非试用期内则要求一定是书面告知，即提交书面的辞职报告。
4. 办理交接手续：教师需要办好辞职和交接手续，包括返还或上交学校的教学设备或资料，相关工作转交给学校接收人。
5. 不得损害学校利益：教师不得因为自己的辞职行为损害学校的利益，如泄露学校的机密，带走学校的老师或学生等。
6. 处理好特殊事项：如专项培训的违约金问题，按协议约定应承担的其他相关费用。
7. 工资支付：根据《工资支付暂行规定》第九条规定，劳动关系双方依法解除或终止劳动合同时，用人单位应在解除或终止劳动合同时一次付清劳动者工资。
8. 赔偿问题：如果教师未办理交接而突然离职给用人单位造成损失的，可以向劳动者追偿。
综上所述，私立高中教师在学期未结束时提出辞职，需要遵循上述流程和法律规定。试用期内提前三日通知，非试用期内提前三十日以书面形式通知用人单位。同时，需要妥善办理交接手续，并确保不损害学校的利益。
