模拟工程师最后的尊严
模拟电路工程师最引以为傲的两项技能：小信号模型计算和传输函数的零极点分析。但是，自从基于Spice Level1（Schichman-Hodges model）的手算方法被拟合度更高的gm/Id方法代替后，零极点分析成了模拟电路工程师们最后的尊严。
对于波特图的学习大概要追溯到《工程电路分析》这门课程，由于难度不大，模拟电路工程师对于此项技能基本都是满分的存在。但是今天小禾君要告诉你的是，用奈奎斯特稳定判据来分析电路稳定性才是当今的主流。
20世纪30年代初，关于控制和反馈控制的理论研究进入百家齐鸣的局面，而当时还没有出现个人计算机，就连“自动化“这个概念还是几年后才提出。
当时工程师苦解微分方程久已，不可否认当时贯通控制理论和微分求解的大牛确实存在，但对于普通学渣工程师来说，可能根本都不懂微分方程是个啥东东。
Bell实验室同事这么卷的吗？
1930年Bell实验室的亨德里克·韦德·波特发现解微分方程确实麻烦，在观察拉普拉斯算子求得的传输函数时，发明了用幅频特性和相频特性表示的波特图，开环特性以及其接成反馈系统后的闭环稳定特性一目了然，所以波特图一经发明就受到热捧。Bode发明波特图，在这场互卷大战中取得先机。
1932年，同在Bell实验室的哈里·奈奎斯特非要另辟蹊径找到比Bode图还要简便的方法。幸运的是，真让他找到了，那就是我们现在说的奈奎斯特稳定性判据。
历史的选择是两种方法都得到了保留，即便到了今天，号称模拟电路设计圣经的——《Design of Analog CMOS Integrated Circuits》在第二版里也不惜使用大量篇幅来讲解奈奎斯特稳定性分析方法，足以说明该方法的重要性。相比bode图方法，奈奎斯特方法只需检查对应开环系统的奈奎斯特图，不必准确计算闭环或开环系统的零极点就可以使运用（虽然必须已知右半平面每一种类型的极点的数目）。
波特图与奈奎斯特图的异同
通常我们的分析过程是这样的：首先使用器件的s域模型，列好了KCL，KVL，进而求解出输出/输入的表达式，也就是传输函数H(s)。通过分析传输函数的特性我们反推出时域的响应。波特图和奈奎斯特图本质上都是分析传输函数的工具。下面具体看一下二者的区别：
l区别一：自变量取值范围不同
众所周知，H(s)的自变量s=σ+j ω，我们求解传输函数后H(s)，绘制波特图的时候，一般都是只取虚部令s=jω，这是为何呢？
傅里叶变换
拉普拉斯变换
对比下面傅里叶变换和拉普拉斯变换定义式，很明显，s=jw时，拉氏变换就转化成了傅里叶变换。
所以波特图限定了σ=0，而奈奎斯特图让s放飞自我，在整个s平面移动。
l区别二：表述H(s)的方法不同
波特图是拆分成两张实坐标图，分别表述H(s)的幅度和相位。而H(s)则选择“原汤化原食”，s选了复数坐标，那么H(s)还是是用复数坐标来表述。
咦，这么看奈奎斯特啥也没干呀，会不会是在糊弄我？其实奈奎斯特分析方法的精髓就在于“不求甚解”。
”奈”的魔力转圈圈
对于奈奎斯特稍有耳闻的禾粉会知道，其实奈奎斯特就是绕圈圈。在模拟电路中，只有反馈电路才存在不稳定的问题，开环分析Bode图也是为了解决闭环使用时的稳定问题。
下面是个简单反馈的例子，反馈我们设定为一个与时间无关的常数β。
列出传输函数：
其中βH(s)为开环增益，如果分母（1+βH(s)）在右半平面和j轴有任何的为零的点，都会导致转化成时域时，幅度持续增大，也就是不稳定的。那我们把注意力集中在R(s)=1+βH(s)这个式子上，这个表达式需要满足不存在零点。
注意：1+βH(s)的极点和H(s)相同，但是两式的零点并不同。
物理界遇到解释不了的东西，或者作者懒得解释的东西，那就直接搞个定理，请原谅小禾君，这里不厚道的搬出了柯西幅角定理。
柯西幅角定理：若s 的封闭轨迹为顺时针方向，且包围H(s)的P 个极点和Z 个零点，那么H(s)的极坐标轨迹图将以相同的方向绕原点旋转Z-P圈。
这个柯西定理看起来跟我们稳定性还是没啥关系，其实，这个柯西定理的精髓在于反向操作。
我们还是以R(s)=1+βH(s)为例，并假定右半平面不存在极点，这对于大多数电路都是成立的。现在就是求R(s)在右半平面有没有零点？选择右半平面一个超级大的范围，我们画一个闭合曲线。此时，求右半平面是否存在零点的问题，等价于求这个超大闭合区间内是否存在零点。
逆向使用柯西定理的方法如下，如果我们通过估算或者计算机描绘，知道了βH(s)的轨迹图，其围绕-1,0绕了M圈。并且该区域内极点数P=0，很显然Z=M，也就是说如果βH(s)不围绕-1,0绕圈，那么该区域就不会出现零点——电路也就是稳定的。
注：柯西定义为已知Z和P，求M。反向操作的过程为已知M和P，求Z。
注：我们考察1+βH(s)=0与求βH(s)=-1是等价的。
此时，肯定有不少禾粉怀疑这个方法的准确性，1+βH(s)不为零那就一定是稳定的吗？是否存在例外情况呢？很遗憾，这定理说的就是个充要条件。所以，无需怀疑该方法的准确性和全面性。
实践课：举个栗子
为了不至于那么唐突的下定论，也为了让禾粉更容易接受，我们还是举几个典型的例子，来说明一下奈奎斯特方法的准确性。
l左半平面单级点系统
单级点的传输函数如下，为了简化分析，我们后面所有的分析都默认反馈系数β=1。
由波特图可知，如果极点位于左半平面，相位裕度始终>90°，所以单级点(左半平面)系统是无条件稳定的。
下面用奈奎斯特稳定性分析方法，看看能不能得到一致的结果。
先在s平面给自变量s=σ+j ω选一个轨迹，这里我们选择如下的四个典型的点，A(0,0j)、B(0,+∞j)、C(+∞,0j)、D(0,-∞j)
观察传输函数H(s)，四个点分别映射到H(s)后结果依次为：（A,0j）、(0,0-j)、(0,0j)、(0,0+j)
注：这里的0-代表-jω轴靠近原点的位置，同理0+代表+jω轴靠近原点的位置。
从H(s)的轨迹上可以得知， H(s)永远不会到达-1,0，所以1+βH(s)不存在右半平面的极点，所以得到了与波特图分析一致的结果：系统是稳定的。
l三级点系统
双极点的系统我们暂且不去分析了，直接一步到位，来看看三极点系统的奈奎斯特轨迹图。
还是先在s平面给自变量s=σ+j ω选一个轨迹，如下图选择A、B、C、D四个典型点A(0,0j)、B(0,+∞j)、C(+∞,0j)、D(0,-∞j)。
同理，观察H(s)，求得映射到H(s)的对应的四个点为：（A,0j）、(0,0+j)、(0,0j)、(0,0-j)，如果嫌估算麻烦的禾粉，也可以借助计算机或者Bode图来分析这里奈奎斯特轨迹曲线旋转的路径。
从H(s)的轨迹上可以得知， H(s)是有一定情况包含-1,0的，具体是否是稳定的得根据极点位置计算一下M的位置。细心的你一定会发现M点的位置H(s)相移达到了-180°，然后判定此时H(s)的值和1(也就是0dB)的关系。就可以知道(-1,0j)这个点有没有被H(s)包围啦。
嘿嘿，听到-180°和0dB是不是有点熟悉？对的，这还是波特图那套东西。
虽然这里得到的结果再一次和Bode图完美一致，显然这并不是巧合，更不是简单的重复。
l右半平面单极点系统
在“一文搞懂——电路中的零点和极点” 这篇文章中，我们阐述了使用波特图不适合分析右半平面存在极点的系统。此时的幅度和相位并不能说明其闭环后的稳定。既然Bode图无能为力，我们试一试用奈奎斯特稳定性来分析一下这个例子。
老规矩，还是先在s平面给自变量s=σ+j ω选一个轨迹，如下图选择A、B、C、D四个典型点A(0,0j)、B(0,+∞j)、C(+∞,0j)、D(0,-∞j)。
H(s)映射后分别为：（A,0j）、(0,0+j)、(0,0j)、(0,0-j)，巧了，它也是类似于三级点系统的轨迹图，显示实际的轨迹看起来形状类似，但是具体轨迹二者是千差万别的。奈何，我们这里并不关心实际的轨迹图。
图中H(s)轨迹围绕(-1，0j)这个点,绕了M圈（M为0或者1），最终零点数可以用公式Z=M+P≥1计算。所以1+βH(s)必然存在右半平面的零点，系统必然不稳定。
哎呀，不对呀，这TM不就是个循环证明吗？小禾君也只能说这波证明真是太秀了！
上面看似“听君一席话，胜似一席话”的论证过程说明了奈奎斯特轨迹可以用来分析右半平面存在极点的稳定性，这恰恰是波特图无法应用的领域。
总结
奈奎斯特相比bode图，提出之际最大的优势就是它不需要准确计算每一个零极点，而且1+βH(s)的极点直接套用H(s)的极点，这些优点在当年没有计算机的时代颇为受益。但对于今天强大的工作站来讲，这点计算量简直是不值一提。有人会觉得奈奎斯特方法已经过时了，不可否认，如果单从模拟电路仿真来看，确实奈奎斯特方法不如Bode图更易用一些，可能它更适合老工程师用来“炫技“。
奈奎斯特方法的魅力在于，它适用于无理函数定义的系统，包括时滞系统。相比于波特图，奈奎斯特方法能够处理具有右半平面极点的传递函数。因此，奈奎斯特方法在分析更为复杂的电路或者存在右半平面极点的系统时表现出色。如果电路中出现了不稳定的问题，不妨试着用奈奎斯特方法分析一下稳定性！
更多关于芯片和半导体的原创知识可以关注本公众号，每日更新！建议收藏点赞。
※参考文献：
《自动控制原理》胡寿松
《自动控制原理》李红星
《西北工业大学自控教案》卢京潮
《Design of Analog CMOS Integrated Circuits》Razavi
《Analysis and Design of Analog Integrated Circuits》Paul Gray
