今天小禾君闲来无事逛某论坛，看到关于零极点的一个求助贴。先看问题：
总结一下这个问题：右半平面极点s域转成时域看是不稳定的，但是从波特图看相位裕度是满足稳定条件的，两种分析来得到的结论是相反的为什么？
书本中对于右边平面的极点分析少之又少，这个 s域分析和时域分析结论截然相反成为了信号与系统领域的“千古悬案“。先不急着回答这个问题，小禾君带你进入零点和极点的世界先瞧上一瞧。
正弦稳态响应
当线性时不变动态电路被角频率为ω的正弦电压源或电流源激励时，随着时间的推移，电路的暂态响应逐渐消失，只剩下角频率为ω的正弦波稳态响应。当电路中全部电压和电流都是角频率为ω的正弦波时，我们称电路处于正弦稳态。
图：线性时不变系统的稳态波形
简单来说，一个线性时不变系统，系统稳定后，输入正弦信号，输出的也是正弦信号，这就是正弦稳态分析的基础。
举个例子：求正弦信号输入下，某个RLC组成的线性时不变系统的输出波形？假设电路中各部分初始状态均为0。
图：线性时不变系统的稳态波形求解
只有RLC组成的电路肯定是线性时不变系统，输入是个正弦激励，求其输出波形，我们先用最正统的万能方式求解——微分方程求解。
1.列出系统的微分方程
2.求出通解，包含齐次解(自由响应)和特解(受迫响应)。
3．采用边界条件，求出通解中的系数。
求解过程看似简单，实际此处省略了一万字。。。。。。这里不用求解也会知道，输出信号的波形开始包络是变化的(幅度不稳定的)，等到一定时间后，信号趋于稳定，输出也呈现出正弦波形态。
图：线性时不变系统的瞬态波形
那么vout开始这段不稳定的状态重要不？答案是——不重要！
图：数字调制和瞬态波形
实际中，建立时间一般不会太长，对于信号，尤其是数字信号的解调来说影响不大。那有不明白的小明就要问啦，现代射频通信动不动就是100M的带宽，那么看信号周期岂不是10ns？建立时间有个1us，那不直接就G了？其实通信中的100M带宽其实是个组合带宽，一个100M下分为多个RU，每个RU又有多个子载波，这样一级一级分下来，子载波带宽也就100K附近，那么整个信号周期持续时间要经过10us。
图：通信带宽、RU、子载波的关系
罗里吧嗦说了这么多，其实就是一个结论——正弦输入下，开始不稳定的那段不太重要，我们主要看稳态后的那里的波形。
无论初始状态如何，有一点是可以肯定的，那就是输出最终会稳定到正弦形态。输入输出信号，仅仅是在幅度和相位上有差异，二者的频率不会有差异。
输入信号：
稳定后的输出信号：
那问题来了，有没有情况下，系统最后稳定不到与输入同频的正弦波呢？
当然有啦，那就是电路中出现了负阻，正电阻消耗能量，负电阻恰恰相反，它产生能量。产生的能量不断叠加到波形上，波形幅度最后趋于无穷大。当然，这只是个理想的数学模型。实际电路中，譬如以振荡器为例(主要原理也是负阻)，它，震荡幅度受限于电源电压和器件的非线性，致使振荡器幅度到达一定程度后不再增加，最后稳定下来。
向量法
既然，我们只关心稳态下的信号的幅度和相位变化，那么除了列微分方程还有什么其它更简便的方法吗？答案那就是“向量法”。
相量法的初衷是：如果输入是正交信号，那么输出的信号还是正交的两个信号。将输入正弦信号(Asinwt)改成一个正交信号coswt+jsinwt，看似画蛇添足了的举动，实际这样化简了计算，尤其是手算或者EDA计算。
图：向量合成
注意：coswt+jsinwt是个正交信号，而coswt+sinwt其实还是个单音信号。
图：向量法求线性时不变系统输出
可以得到线性时不变系统的幅度sqrt(I2+Q2)，相位变化arctan(Q/I)。向量法真正简化电路计算还得依靠器件的向量模型说起，有了向量模型，可以根据KCL，KVL直接列算数方程，最终求解得到的H(jw)的幅度和相位就是该系统对于正弦信号的幅度和相位的改变。这个方法一直苦于没有理论基础，直到伟大的拉普拉斯变换的出现。这里省略1W字的证明过程。
表：器件的s域模型
注：有个有趣的疑问，为什么cos是用I表示，sin是用Q表示？
所以，向量法或者说拉普拉斯算子法求解输出比输入的复数表达式H(s)或者H(jw)和我们用微分方程计算得到的幅度和相位结果完全一致，这就是我们学习传输函数的意义。
传输函数的定义：系统零状态响应的拉氏变换与激励的拉氏变换之比称之为“系统函数”，以H(s)表示。那么问题来了，输入正弦/余弦/锯齿波等不同信号时，H(s)是否是不变呢？答案是肯定的。H(s)的表达式，不会随着输入信号的选取而发生变化。
经验证：传输函数H(s)采用微分方程和拉式变换后得到的结果，居然和采用s域模型输出/输入得到的结果一致。并且这样做的准确性不需要怀疑。
s域和时域的关系
s域只是一个过渡，一切只是为了简化时域的响应分析。所以最终的验证还是要考察时域。下表是一些常用函数的s域与时域的关系。
表：常用s域与时域信号转换
由此我们得到了问题中的第一个结论：只要极点出现在右半平面(RHP)，那么整体信号的幅度(包络)就是不断增大的，这个是课本上白纸黑字写出来的，当然是没有问题的。
以一阶RC为例，其传输函数
很容易计算得极点P1=-1/RC。显然，如果R为负值，那么P1将出现在右半平面。这就是说负阻会产生右半平面的极点。禾粉们可以自己通过Spectre仿真器的PZ仿真来验证。
零极点的由来
有了电路的s域模型，简单的列KCL和KVL公式，就可以求解出最终的传输函数H(s)啦，由于采用了s域模型，剩下的就是简单的加减乘除，没有积分微分的运算，所以，往往我们求解出来的H(s)大多都可以用个通用大分式来表述:
S看成是未知数，所有让分子等于零的点就是零点：zi 所有让分母等于零的点就是极点：pj
这样看起来还是不太直观，幸好有个定理：s域相加的两个信号，可以分别转换到时域再相加。当H(s)不存在多重极点时，我们可以把它展开成部分分式的形式，也就是化成单个的式子，最后时域的波形就是每个逆变换后结果的叠加。h(t)=h1(t)+h2(t)+h3(t)......
注：怎么求部分分式的系数Kj呢，我们可以直接将部分分式通分，再和H(s)进行系数对比，就可以得到所有的Kj值了。
波特图
观察H(s)的公式你会发现，如果令s=jw，H(jw)就变成了频率的函数，分析H(jw)的频率响应就会用到波特图（Bode plot）。
波特图是一种用于描述线性时不变系统频率响应的图形。它通常由两个图形组成：振幅响应图和相位响应图。振幅响应图表示系统在不同频率下输入和输出信号的幅度比值，而相位响应图则表示系统在不同频率下输入和输出信号的相位差。
波特图的作用主要有两个方面：
分析系统的频率响应特性。通过观察波特图的形状和特征，可以了解系统对不同频率的输入信号的响应情况，包括增益和相位变化等。这对于设计和优化系统的性能非常重要。
用于系统设计和调整。波特图可以帮助工程师在设计和调整系统时选择合适的滤波器、放大器或其他组件，以满足系统的性能要求。通过调整组件的参数，可以改变系统的频率响应，从而达到所需的性能指标。
总之，波特图是一种非常重要的工具，可以帮助工程师更好地理解和分析系统的频率响应特性，从而实现系统的优化和调整。
波特图由两组图组成，一个是看H(s)的幅度随频率的变化，称为幅频特性曲线，另外一个是H(s)的相位随频率的变化，称为相频特性曲线。
图：幅频特性曲线
图：相频特性曲线
继续观察H(jw)的公式你会发现，当频率很低时，H(jw)直接化简为系数K。频率继续往高频滑动，来到第一个极点的位置p1（一般称为主极点），此时该子式编程1-j，相位直接由0°下降了45°。如果w足够大，那么相位变成了-90°。所以单个左半平面的极点会引入-90°的相位变化。在p1的位置，幅度直接由1变成了sqrt(2）也就是3dB。如果w足够大，那么可以近似为1/w，每增加10倍的w，幅度就下降了20dB。同理可以求得右半平面极点，以及零点对于幅度和相位的影响。
表 ：零极点对于H(s)幅度和相位的影响
波特图和稳定性的关系
我们分析幅频特性和相频特性，主要因为在正弦稳态系统下，H(s)的幅度正好是正弦信号放大的倍数。H(s)的相位，正好是输入输出两个正弦信号的相位差。
如果仅仅只是看一个系统对于信号放大了多少倍，相移了多少，我们大可不必这么大费周章。
如果放大器被连接成反馈形式（譬如下面的LDO就是最常见的反馈形式），问题就变得不简单了。
图：由运放构成的LDO电路
整个系统必须是个负反馈，这样才能稳定，很好理解，如果正反馈会让幅度不断增大，产生不稳定。
图：反馈系统
放大器一般是反向放大器，相移是180°，通过波特图来看，随着频率的增加，增益会下降，相位也会变化，假设相位变化了180°，会出现原本的负反馈变成了正反馈的情况，那么如果此时增益还大于1，那就妥妥的变成了正反馈，这就是我们用波特图分析系统稳定性的原理。
当然我们还可以换个说法，就是增益下降到单位1(0dB)时，此时的相位是不是足够(一般要求>60°)维持负反馈，这时的相位值称为——相位裕度。保证足够的相位裕度使我们不至于产生正反馈。当然瞬态的响应比这里分析的复杂，具体可以查阅电路与系统类书籍中关于衰减系数，过冲，振铃等定义。
图：波特图表示的相位裕度
还是以单极点为例，假设有个左半平面(LHP)的单极点，位于1MHz处。
图：左半平面单级点幅频特性曲线
图：左半平面单级点相频特性曲线
还是同样的电路，如果电阻R变成-R。那么左半平面的极点就变成右半平面的极点了。
对于这个传输函数，如果也看一下它的幅度和相位呢？
图：右半平面单级点幅频特性曲线
图：右半平面单级点相频特性曲线
注意，相位-180°和+180°是等价的。所以，此时看相位裕度也是满足负反馈的。但是此时我们直接用波特图来分析右半平面极点的稳定性，忘记了看该方法的适用性。
结论
波特图的出发点是看系统的幅度和相位随频率的变化来预测时域中正弦稳态下输入输出的幅度和相位关系。那其前提就是系统可以采用正弦稳态分析，输出是稳定的信号。要不然哪里有相位？哪里有幅度之说？而右半平面的极点，本身输出幅度和相位都是不稳定的，如果强行拿H(s)的幅度和相位来表示输出“正弦稳态”下的幅度和相位的做法本身就是错误的。
对于不稳定的系统，H(s)的幅度和相位无法预测输出信号的最终幅度和相位。此时看到的H(s)所谓的相位裕度也是毫无意义的，右半平面极点会导致系统的不稳定。
