中国古代分数算法的发展

文摘 2024-09-04 08:55 广东

作者 | 钱宝琮

来源 | 《数学通报》1954 (09)

《管子地员篇》(大约在公元前第四世纪内写成)讨论管乐，说把“宫”音管长“三分而益之以一”便得着“徵”音管的长度。《考工记》(大约是公元前第三世纪内的作品)讲制造车轮有“六分其轮崇，以其一为之牙围”，“参分其牙幸而漆其二”等等说法。中国人在秦朝以前，很早就知道分数的实际应用，是无可怀疑的。在天文，历法的研究中，尤其需要用繁复的分数算法。例如，《周髀算经》(大约是公元后第一世纪内的作品)关于月行速度的计算，有下面的乘除结果:

《三统历法》(公元前104年)计算木星的不均速度有

等算式，已经知道把繁分数化简为单分数了。

分数加减乘除的运算方法在《九章算术》方田章里叙述得相当清楚。《九章算术》是一部汉朝人的算术书，经过魏朝刘徽的重新编辑(263A.D.)而流传的，方田章里讲到的分数算法大概是秦朝以前遗留下来的。

《九章算术》方田章内分数算法先讲“约分”。

“约分术曰：可半者半之；不可半者，副置分母子之数，以少减多，更相减损求其等，以等数约之”。

所谓“等数”就是现在算术教科书里的最大公约数。分子分母如有不容易发现的公约数，古人用“更相减损”法去求它，这个方法和欧几里得的“转辗相除”法，理论上是一致的。

次讲“合分”和“减分”，也就是分数的加减法。

“合分术曰：母互乘子并以为实，母相乘为法，实如法而一，不满法者以法命之”

“减分术曰：母互乘子，以少减多，除为实，母相乘为法，实如法而一”。

所谓“实”就是被除数，也就是分子；所谓“法”是除数，也就是分母，“实如法而一”就是以分母除分子的演算。分数的加减法都用分母的相乘积做公分母，用符号表示起来，略如下式:

又有“课分术”比较几个已给分数的大小，“平分术”求几个已给分数的平均值。利用分母相乘积作公分母，和加减法相同，方田章里的“合分术”和“减分术”只用分母相乘积作公分母，似乎还不知道用最小公分母。但是在本书少广章中有几个计算问题，却有利用最小公分母的演算方法。例如

中国古代算术原本没有应用单分数(unit fraction)的习惯。少广章里所举的几个例子，大概是为学生练习分数加减法而设立的。

在方田章里，分数相乘叫做“乘分”。

“乘法术曰：母相乘为法，子相乘为实，实如法而一”。

例如“田广十八步，七分步之五；从二十三步，十一分步之六；问为田几何”，“答曰一亩，二百步，十一分步之七”，演算步骤如下:

(古代田亩制度，一亩等于二百四十方步，面积单位“方步”，“方尺”的方字常常略去)

分数除法叫做“经分”，依据刘徽的注解，知道古代分数除法是把除数的分子分母颠倒而后与被乘数相乘的。例如:

《九章算术》以后，《孙子算经》(大约第四世纪内的书)，和《张邱建算经》(大约是第六世纪内的书)都讲到分数四则的计算方法，和它们的应用，大致不超过上面叙述的范围。

现在让我们来说明中国古代算数中分数的表示法。中国古代四算筹记数，一切演算都是搬运算筹做出来的。例如，以77除33929。用算筹布置被除数33929和除数77 如图一，得出商数第一位数码4后，从被除数中减去部分乘积77×400，余下3129，如图二。再求得商数的第二位数码4，从中间的3129减去部分乘积77×40，余下49，如图三。因余数49小于77，故即以49 为分子，77为分母，因而得到除法的结果是四百四十，又七十七分之四十九。再查考分子49和分母77 有公约数 7，以7约分子分母，把分数简化如图四。

所以，整数除法，当被除数不能为除数除尽时，我们得到一个带分数，把这个带分数化成假分数，便是除法的还原。

印度数学的绝大部分承袭了中国古代数学的遗产。但是，把中国的筹算法则改成笔算，却是印度人在数学史上的一种伟大成就，第七世纪以后，印度数学里的分数表示法都写分母于分子之下，与中国筹算法相同，分数加减乘除的演算步骤也大致与《九章算术》方田章相同。后来，印度算术传到阿拉伯，阿拉伯人表示分数时添上一条横线于分子分母之间。这种表示法固定下来就是我们算术教科书中分数的记法。

西洋古代数学里的奇零分数，或是用埃及人的单分数表示，或是用巴比伦人的六十分制表示，乘除计算都很困难。近世算术里的分数算法到十五世纪中普遍采用阿拉伯算术后，才有发展。当时的数学家都说，这种算法是从印度传来，实则，印度算术是从中国传过去的。我们不研究中国古代算术决不能明白分数算法的发展历史。

来源好玩的数学

图片包图网

审校黄海燕

编辑新世纪小学数学

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