2024年6月13日
模块：数列+数论
难度：二试P3,4俗到极致就是雅？
前天做了北斗学友的联考模拟，其中第三题看着有点俗，属于知道性质就能做，不知道完全没法做。题目如下：
考虑斐波那契数列: , 对于正整数 , 记 是 模 得到数列的最小正周期。求最小的实数 , 使得对于任何正整数 , 都有 .
但做着做着，发现本题几乎要用到所有常见斐波那契数列的性质，特别是数论性质，这是何等另一个维度的“精巧”？正所谓大俗即大雅！
既然如此，不妨就这题出一个系统的斐波那契数列性质讲稿~这期先系统学一下，下期再详细分拆本题思考逻辑.
I.斐波那契数列的基础性质
先罗列一些一试水平被人熟知的基础命题，证明通常使用通项计算、数学归纳、构造含义等
【定义】若满足，则称为斐波那契数列.若仅满足则称为类斐波那契数列.
【命题I.1】记方程的两根,则
注：该通项使众多命题可用“计算”验证，鉴于思维含量低，故下述命题证明中尽量不提及.
【命题I.2】（1）；（2）；（3）
【命题I.3】
【命题I.4】
注：可用数学归纳/通项计算/构造计数场景算两次证明
【命题I.5】
【命题I.6】
【命题I.7】
II.斐波那契数列的数论性质
【命题II.1】若,则.
证明一 通项计算，略.
证明二 数学归纳法
记,我们希望对有
当,显然成立.
假设成立，下证明对也成立：
在【命题I.4】中令有
由归纳假设，故,证毕.【命题I.1推论】当 为异于4的合数时, 也是一个合数.
证明
由是合数知,其中。
又因为时，,则由命题1有
且 即证.【命题II.2】模呈周期，且周期至多.
证明 抽屉原理
注意到在模下，只要存在使得
则后续模必呈周期。
又因为模下的数对是有限的，故取充分多组数，必有重复。
【命题II.2推论】，在前项斐波那契数中至少找到一个能被整除的数。
证明
因为,则再结合命题II.2
命题II.2相关文章一道题测出你的思维水平！
【命题II.3】
证明
不断使用有
【命题II.4】
证明
不妨设,作一次带余除法后有.
在【命题I.4】中令有
因为【命题II.1】,【命题II.3】
则有.
进而
再仿照欧几里得算法求得.
注：这样的手法也用在证明:
【命题II.5】对,若,则
证明
一方面由知
而另一方面【命题II.5】
此时有三种情形：
（i）情形一：若,显然成立；
（ii）情形二：若,此时有，对无限制,则不成立.
（iii）情形三：若,此时有严格单增,则，知
注：本命题是命题1的逆命题，只对时不成立，这点较蔽，笔者的某本参考书中出现了错误.
【命题II.6】若斐波那契数具有奇数角标, 则它的全部奇因数都具有 的形式【引理1】 若 是奇素数, . 证明: .
【引理1证明】由于 ,,故 ；
由条件知
两边 次方后, 由费马小定理可知
故
证明一
在【引理1】指导下，我们希望将变形为平方和结构.
令【命题I.4】中得
对的奇素数有结合【命题II.3】及【引理1】知
注 也可归纳出通式后，用通项公式验证.
证明二
由及知
故的奇素数有
结合引理知注 本命题的核心与2020高联A卷第2题完全一致.
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俗到极致就是雅？
前天做了北斗学友的联考模拟，其中第三题看着有点俗，属于知道性质就能做，不知道完全没法做。题目如下：
考虑斐波那契数列: , 对于正整数 , 记 是 模 得到数列的最小正周期。求最小的实数 , 使得对于任何正整数 , 都有 .
但做着做着，发现本题几乎要用到所有常见斐波那契数列的性质，特别是数论性质，这是何等另一个维度的“精巧”？正所谓大俗即大雅！
既然如此，不妨就这题出一个系统的斐波那契数列性质讲稿~这期先系统学一下，下期再详细分拆本题思考逻辑.
I.斐波那契数列的基础性质
先罗列一些一试水平被人熟知的基础命题，证明通常使用通项计算、数学归纳、构造含义等
【定义】若满足，则称为斐波那契数列.若仅满足则称为类斐波那契数列.
【命题I.1】记方程的两根,则
注：该通项使众多命题可用“计算”验证，鉴于思维含量低，故下述命题证明中尽量不提及.
【命题I.2】（1）；（2）；（3）
【命题I.3】
【命题I.4】
注：可用数学归纳/通项计算/构造计数场景算两次证明
【命题I.5】
【命题I.6】
【命题I.7】
II.斐波那契数列的数论性质
【命题II.1】若,则.
证明一 通项计算，略.
证明二 数学归纳法
记,我们希望对有
当,显然成立.
假设成立，下证明对也成立：
在【命题I.4】中令有
由归纳假设，故,证毕.【命题I.1推论】当 为异于4的合数时, 也是一个合数.
证明
由是合数知,其中。
又因为时，,则由命题1有
【命题II.2】模呈周期，且周期至多.
证明 抽屉原理
注意到在模下，只要存在使得
则后续模必呈周期。
又因为模下的数对是有限的，故取充分多组数，必有重复。
【命题II.2推论】，在前项斐波那契数中至少找到一个能被整除的数。
证明
因为,则再结合命题II.2
命题II.2相关文章一道题测出你的思维水平！
【命题II.3】
证明
不断使用有
【命题II.4】
证明
不妨设,作一次带余除法后有.
在【命题I.4】中令有
因为【命题II.1】,【命题II.3】
则有.
进而
再仿照欧几里得算法求得.
注：这样的手法也用在证明:
【命题II.5】对,若,则
证明
一方面由知
而另一方面【命题II.5】
此时有三种情形：
（i）情形一：若,显然成立；
（ii）情形二：若,此时有，对无限制,则不成立.
（iii）情形三：若,此时有严格单增,则，知
注：本命题是命题1的逆命题，只对时不成立，这点较蔽，笔者的某本参考书中出现了错误.
【命题II.6】若斐波那契数具有奇数角标, 则它的全部奇因数都具有 的形式
【引理1】 若 是奇素数, . 证明: .
【引理1证明】由于 ,,故 ；
由条件知
两边 次方后, 由费马小定理可知
故
证明一
在【引理1】指导下，我们希望将变形为平方和结构.
令【命题I.4】中得
对的奇素数有结合【命题II.3】及【引理1】知
注 也可归纳出通式后，用通项公式验证.
证明二
由及知
故的奇素数有
结合引理知注 本命题的核心与2020高联A卷第2题完全一致.
【引理2】若 是形如 的质数,则 被 整除,即是二次剩余;若 是形如 的质数,则 被 整除，即是二次非剩余.
注：该引理是二次互反律的特例，证明详见全网最易懂的二次互反律证明！
【命题II.7】若 是形式为 的质数, 则 被 整除.
证明
由命题I.1知
其中用二项式定理打开有
而,故有
【命题II.8】若 是形式为 的质数,则 被 整除.
证明
同命题II.7前半部分，先得
【命题II.9】对奇素数，有.
证明
利用下式后同前两命题的证明思路
【命题II.10】
证明 数学归纳法
对归纳.
当时，显然成立.
假设时成立，下证明时也成立.
由【命题I.4】知
而由【命题II.1】知
则,证毕.
【命题II.11】
证明思路类似命题II.10
【命题II.12】设为不同奇素数满足，则及.
证明 （类似升幂定理证明）
在【命题II.11】中取有
则.
故
下只需证明,已有
展开第项中的一次项为
求和后有
由知
故,结合得证.
【命题II.13】若,则;若,则,
证明思路类似命题II.12
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