2024年7月15日
模块：数论、存在性问题、多项式差分
利用差分构造幂次和相等问题——从18江苏预赛压轴谈起
上期差分思想构造时 留了一个趣味思考题：
（2012国际城市）对任意整数，总能表示为一些不同整数的立方和吗？
分析与解
简化对象
注意到，故我们可以
将立方和也可视作立方差； 只需构造正整数
研究特例
我们先考察较小的整数，找点感觉
1=1^3是简单的；
但2就复杂了，通过枚举得；
但这种做法不具有普遍性
联想到差分
实际上，当有差分思想后，我们完全可以用一些立方和表示常数：
构造常数
令，作一次差分降次:
为避免重复，下一次差分步长为2：
为避免重复，下一次差分步长为4:
2到底怎么构造？
由于上述构造与无关，换言之我们可以去充分多互不重合的立方和得到无限组48.
一个自然的想法是：我们只需构造,再用加或减若干倍48，即可覆盖所有整数.
下面问题来了：怎么构造2？
等价类中选取合适的代表元
实际上，牟足了劲去构造2是错误的！
我们只需要找到一个模48余2的数即可！而这只需要2个模48余1的数的立方和
类似的，其他剩余类的情况，也如法炮制。
完整解答
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