2024年9月8日
又是一年高联时，谁家欢喜谁家愁？
笔者详细分析一下我做P4的思路，整体下来要优化的点比较多，但思路都是很顺很常规的，没什么奇思妙想。这题在考场上很容易想复杂，毕竟放在了4，我相信如果放在2或3，做出本题的学生会更多。
题目如下
(2024高联A卷P4)设 为正整数, 是一些正整数构成的一个集合,具有下述性质:
(1) 对任意非负整数 ，有 ；
(2) 若正整数 , 则 的每个正约数均属于 ;
(3) 若 , 且 互素, 则 ;
(4) 若 ，则 。
证明: 与 互素的所有正整数均属于 .
分析与解
理解规则
本题的所谓性质实际是集合S生成元素的规则：
（1）说明可产生的幂次，暂时无深刻解读；
（2）说明生成某数的方式之一是先生成他的倍数.
（3）说明生成元素可以分拆成生成不同的素数团“”思考。（这里我一开始的想法是逐个生成“”，但需注意并没有直接的方式生成）
（4）显然是核心变形式，要不断利用该式子生成新元素
确定生成最小单元
最终要生成的是与B互素的全体正整数，看着很可怕，但根据（3）,我们只需逐个生成素数团“”
在此目标下，已经有;
再考察与的关系：
若,则可利用(1)(2)快速生成：
故我们只需聚焦的情形！
想法一 遍历模余数？
由容易想到构造或
去遍历模余数,
这实际上要求是模的原根，可能可以做，或者用某种神奇的逻辑说明某些数必有原根。
稍微想想，我马上根据“考试感觉”排掉了：一方面太复杂了，另一方面高联大纲里没有原根！！！
想法二 如果能有？
那不是可用的步长跑遍模完系？【关键念头】
可关键怎么“去掉中的”???
很简单哇，我多乘一些,就可以利用欧拉定理令
好像没有非常直接的生成规则？
为使用，我们需要让中
其中.下考虑的两部分：
与互质的部分，可以先用分拆出来，再加上去；
与不互质的部分，可以有足够大的直接生成！
是的 本题已经分析完毕，非常自然吧？
完整证明
先证明一个引理：若,则对有.
【引理证明】记,其中
由知;
由知,再由有
由及即得,最后用得,引理证毕。
接下来，我们来生成，其中是与互质的任意素数，而是任意正整数.
情形一：
由生成，而由及即有
情形二：
由取，使用引理，令，以如下方式构造数列：
由及欧拉定理有因为,所以前项恰好模完系，其中必有倍数，再使用生成
对于任意满足，考虑标准分解式
显然,由上知
再使用有
证毕。
写在最后
本题看着分析很简单很水，每步也都很常规，但真正做出的人估计也不多，毕竟很多人看见4就颤抖，再加上前面三题的消耗，很多时候想都不敢想下去，真考和模拟心态差太多了。
数学竞赛是偶然性较强的比赛，每年联赛完后都有个别超常发挥和超失常发挥的选手。这是由考试类型决定的客观规律：数学竞赛，特别是二试，有时一个念头的差别，可能就是50分，即使再强的选手也难说自己什么题都能100%搞定，除非你的实力级别已经完全碾压那个比赛；而因这种客观规律，很容易影响考生的心态，一顺百顺，一崩百崩都有。
可这也是数学竞赛最美妙的地方！每次拿到题，你不知道它的玄机在哪里，然后一步步探索、失败、解开、兴奋。。。
这似乎更像脱离体制健全的象牙塔，面对真实世界的常态，正所谓“谋事在人，成事在天。”
所以，那些哭泣的男孩，请享受这场用尽全力却又酣畅淋漓的失败，这是老天在告诉你：没有什么结果是想追求，然后拼尽全力就一定能追求的。
正如最近爆火的《黑神话悟空》制作人冯骥所说：
“踏上取经路比抵达灵山更重要。”
比起结果，过程也许更重要
祝你找到即使最终不幸失败，也愿燃烧自己的事业，到那时，所谓的“外部评价式的成功”只是Bonus.
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