I.2024浙江预赛压轴简述
真题重现
(2024浙江P15)设 均为整系数多项式, 且 。若对无穷多个素数 存在有理根, 证明: 必存在有理根。
考情简评
连续两年涉及无穷的数论多项式把浙江学子按在地上摩擦，去年的分析详见
全绍兴仅6名学生满分！2023年浙江省赛压轴题深度分析（1）
从绍兴层面看，今年最后一题比去年更惨，仅有1人满分，拿分的也不超过10人。
笔者认为原因有二:
数论多项式不常出现在高联二试导致很多同学对其不够重视、训练不足； 大部分高中生缺乏对“无穷”、“有界”概念的深入理解。
偏高等的标答
这里笔者放上标答
说实话，非数学系毕业生阅读起来极为困难，因为前三行要用到《数学分析》中的一个小定理：
无穷有界数列必有收敛子列.
当然该定理在《数学分析》中十分初级，可对高中生来说肯定是有次元壁的。。。
个人认为后续的证明思路在高中也是不自然的，需要一定数分训练
另外的解法
事实上，本题作为2012IMO预选题A4,IMO官方有三种解答:
其中解答二被收录在"数之谜"，最开始要用到并不被高中生熟知的多项式定理——高斯引理：
若整系数多项式 的系数的最大公因数为 1 ，我们就称 为本原多项式。
高斯引理: 两个本原多项式的乘积依旧是本原多项式
剩下的解法1非常初等，解法3写法有极限，但想法也非常初等，这里笔者给出详细思路分析
II.初等解法思路分析
容易说明有界
若 , 则 有理根 ,得证.
设
对 , 必有 由 知 有界.
整系数多项式有理根定理，获取数论性质
首项为 , 末项为
令 . 则 有
分类讨论分子与分母的有界性
由知不同对应的不同，而有界，这要求不能有上界。
先想到直接被限制上界的情形一是自然。
①情形一：存在无穷多个素数 使得 .
对这些 ,有 ,从而再由 有界,知 取值有限.
由抽屉原理知存在 为素数, 有
故 有有理根.
此处也可用导出矛盾
②情形二：存在无穷多素数 使得 ,设
此时虽然无界，但由有知有界，则“分母被限制在的有限倍。
而下面自然考察分子更细致的限制条件。
对这些无穷多的,有
由
两边通分后模分析，可知
否则，若,两边同乘模p有
我们取充分大的使,结合导出矛盾！
代入，
模 得 结合有，并记
我们试图说明有上界,来说明也被的一次式控制
模 得 结合 有
故
由 知 有界,故 有界.
整数对有界(分别结合控制了分子和分母)，可用抽屉原理将无穷"聚焦"在某整数对
故 ,及无穷多素数 ,使得
考虑所有这样的 ,有 .
下用说明 ,有两种思路
思路一 无穷零点多项式恒为零
核心想法是将零点式看作关于的多项式！
代入有
考虑,
由题知有无穷多零点，故,即
为求出零点，但又避免,作换元
令有
令有,有有理根.
思路二 极限+反证法
假设显然有 ，则
由有界知有界，则
这与 矛盾! 故有有理根.
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