前言
什么是高观点解题？
什么又是奥数思维？
今天笔者想通过老少皆知的“鸡兔同笼”问题回答以上问题
鸡兔同笼问题的提出
鸡兔同笼问题，是我国古代著名趣题之一．
大约在1500年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题：
“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”
翻译成白话文：
有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚．求笼中各有几只鸡和兔？
鸡兔同笼的算术解法
鸡兔同笼问题之所以经典在于其方法的多样，但本文聚焦在思考方式，故仅挑选最常见的三种算术方法
方法一 假设法
假设笼子里面全是鸡或全是兔 (即用鸡替换兔或用兔替换鸡)
然后根据脚应有的总数和实际有的总数的变化关系, 得到鸡与兔的只数, 相当于转化为了“盈亏问题”算式分别是:
方法二 金鸡独立法
假如让每只鸡抬起一只脚, 兔抬起两只前脚
这样脚的总数减少了一半, 即还有
这时每只鸡一只脚站立, 每只兔两只脚站立, 笼子里只要有一只兔, 则脚的总数就比头的总数多 1 .而现在脚的总数比头的总数多
这就是兔子的只数,进而可以求出鸡的只数.方法三 连抬两腿法
假如笼中的鸡与兔都有特异功能, 鸡全飞起来, 而兔全用双脚站起来
这时笼中的 35 只鸡兔,脚共少了
实际着地的脚就是 且都是兔子的脚, 因此就有兔从而就有鸡奇技淫巧乎？升高维度看
上述三个方法在课上讲解肯定是妙趣横生的。
但很多读者会心生疑惑：
“难怪说奥数是奇技淫巧，这都是什么稀奇古怪的方法？”
下面我们深挖每种方法的数学本质
方法一 假设法
通过假设后，实际上创设了两种情景，转化为了基本的“盈亏问题”，体现了“转化与划归思想”
（盈亏问题的核心是“差量分析”，这在中学理科中无处不在，不是本文重点，不作细化）
方法二 金鸡独立法
条件从
| 每鸡 | 每兔 | 总量 | |
|---|---|---|---|
| 头 | 1 | 1 | 35 |
| 脚 | 2 | 4 | 94 |
将所有脚数减半，变为
| 每鸡 | 每兔 | 总量 | |
|---|---|---|---|
| 头 | 1 | 1 | 35 |
| 脚 | 1 | 2 | 47 |
这么操作有什么好处？
对于"总脚与总头的差值"这个量而言，鸡的数量不再影响！
换言之，本来一个关于鸡、兔数量的二元问题消除了一个元——鸡数量的影响。
这不就是“消元思想”？
无论你怎么样，都跟我没关系，请在我的世界“消失”！
其实人生也要有“消元思想”，过好自己的生活，扯远了哈哈哈。
方程的视角
实际上，用更抽象、更高观点的列方程看，你会发现该操作的代数本质！
我们设鸡只，兔只，则有条件知
其代数本质就是：
最终达到消去的目的！类似地，我们分析另外方法的代数本质
方法一 假设法
假设全鸡法代数本质
:
消去算出假设全兔法代数本质
:
消去算出方法三 连抬两腿法
每只动物少2脚，变为
| 每鸡 | 每兔 | 总量 | |
|---|---|---|---|
| 头 | 1 | 1 | 35 |
| 脚 | 0 | 2 | 24 |
对于“总脚量”而言，鸡的数量与其没有关系！
代数本质
:
也是消去了
高维思考，降维打击
刚才我们只是思考了对应算术方法的代数本质，下面笔者希望让大家体验到“降维打击”的乐趣！
问题2（不能用方程法解）
男生手里拿2个红气球、5个蓝气球, 女生手里拿3个红气球、4个蓝气球, 共有 100个红气球和166个蓝气球。请问：男生多少人? 女生多少人?
方法一 假设法
好像缺条件？
这题如要用假设法，还缺总人数。
观察到数据的特殊性！
注意到无论男女，手中的气球是
故总人数为
假设法
假设全是男生，则有红球
而每多一个女生，会使红球多，故女生有剩下男生思考：为啥最后和蓝球没关系？
代数本质挖掘(不能用方程法解，但可以用方程法辅助思考！)
如果从方程视角，我们设个男生，个女生，则有
实际上，第一步求总人数相当于:
求得而第二步假设法相当于：
方法二 消元法的启示
到了最考验数学思维的时刻了！
方法一其实需要数据的特殊性，可对于二元一次方程组，我们完全可以用“消元法”求解啊？
比如，我们可以利用消去：
那么这个式子对应的算术解法呢？
请读者思考，这个问题非常有趣！
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算术解法：
5①，相当于把男女生的红球同时扩5倍；
2②，相当于把男女生的蓝球同时扩2倍。
此时条件变为：
| 每男生 | 每女生 | 总量 | |
|---|---|---|---|
| 红球 | 10 | 15 | 500 |
| 蓝球 | 10 | 8 | 336 |
我们考虑"红球比蓝球多的数量"
因为,无论多少男生都不影响这个数据;
每个女生使得红球比蓝球多。
我们再考虑红球总数与蓝球总数的差，得到女生人数：
再随便计算出男生人数即可！
思维总结
一方面，在算术层面看上去完全不同的方法，其实在高观点的方程视角中就是消元思想解方程而已！
另一方面，对于高观点中的方程运算的“具象化”，指导我们得到新的算术方法！
笔者认为
所谓的奥数思维就是在问题相同或更低维度的进行探索与思考的策略。
所谓的高观点解题就是在知识升维抽象后再去解决问题，好处是通常问题的思维量会大大下降.
但降低思维量一定是好事吗？
其实有两大坏处：
无法有效锻炼数学思维 丧失了不少思考的乐趣，特别是在大脑抽象能力不够强的孩童时期，因为乐趣往往来自探索。而乐趣对于数学竞赛乃至数学研究的重要性不言而喻！
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