2024年9月13日
模块：代数、极端分析
休假回来，给学生们讲解高联真题，再结合网上的评价，惊讶地发现很多同学被第一道代数题难住。。。
为什么我会惊讶？因为当时作为jk的我不能动笔，脑子里一根数轴再加极端分析很快就把答案“脑杀”出来了。![]()
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看完分析，读者也将真正看懂标答。
（2024高联P1）给定正整数 . 求最大的实数 , 使得存在一个公比为 的实数等比数列 , 满足 对所有正整数 成立. ( 表示实数 到与它最近整数的距离.)
分析与解
数形结合理解
我们只需考虑的小数部分，利用数轴刻画理解![]()
显然取小函数与是一一对应的关系，如下：![]()
题目希望尽量大，其实就是希望尽量接近
最极端的情形：能不能就是？
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可以！但是得为奇数
否则若，则
构造也是好想的，于是奇数情形搞定：
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研究剩下的偶数情形
我们仍希望尽量使接近.
还是极端分析
最极端的有问题！
那再大一点点点点呢？
记，考虑区间,如图
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注：对称性可由解释
考虑该区间每个数乘偶数后的取小：
中间得到；
最小的得到;
最大的得到。
刻画在数轴上：![]()
很明显，太接近,也即太小，会导致"掉"不到中！
计算临界情况
我们已经用极端分析定性知道不能太小的原因！
下面定量计算：
实际上，由数轴可知有
能取到吗？
很明显，这种情况是红绿点恰好碰到的情形，再结合对称性，最后就是在红绿两点之间“反复横跳”
构造只需
怎么证明？
实际上，在极端分析中，我们已经有不能太小的原因，于是只需要反证法！
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相似问题及感悟
近几年高联代数的风格并不追求“神奇的代数变形”，而更注重学生分析问题的能力！实际上，2021年高联第一题代数也需要用极端分析，可供读者检验。
休假回来，给学生们讲解高联真题，再结合网上的评价，惊讶地发现很多同学被第一道代数题难住。。。
为什么我会惊讶？因为当时作为jk的我不能动笔，脑子里一根数轴再加极端分析很快就把答案“脑杀”出来了。
看完分析，读者也将真正看懂标答。
（2024高联P1）给定正整数 . 求最大的实数 , 使得存在一个公比为 的实数等比数列 , 满足 对所有正整数 成立. ( 表示实数 到与它最近整数的距离.)
分析与解
数形结合理解
我们只需考虑的小数部分，利用数轴刻画理解显然取小函数与是一一对应的关系，如下：
题目希望尽量大，其实就是希望尽量接近
最极端的情形：能不能就是？
可以！但是得为奇数
否则若，则
构造也是好想的，于是奇数情形搞定：
研究剩下的偶数情形
我们仍希望尽量使接近.
还是极端分析
最极端的有问题！
那再大一点点点点呢？
记，考虑区间,如图
注：对称性可由解释
考虑该区间每个数乘偶数后的取小：
中间得到；
最小的得到;
最大的得到。
刻画在数轴上：
很明显，太接近,也即太小，会导致"掉"不到中！
计算临界情况
我们已经用极端分析定性知道不能太小的原因！
下面定量计算：
实际上，由数轴可知有
能取到吗？
很明显，这种情况是红绿点恰好碰到的情形，再结合对称性，最后就是在红绿两点之间“反复横跳”
构造只需
怎么证明？
实际上，在极端分析中，我们已经有不能太小的原因，于是只需要反证法！
相似问题及感悟
近几年高联代数的风格并不追求“神奇的代数变形”，而更注重学生分析问题的能力！实际上，2021年高联第一题代数也需要用极端分析，可供读者检验。
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