2024年7月8日
难度：二试P2
2024年中等数学增刊1的模拟六上二试是如下的一个数字和问题,该问题的构造本质与2015的P4运用kummer定理后得到的问题本质完全相同。本期主要聚焦才反例构造时的两种思路，下期聚焦最佳系数问题.
设表示正整数的各位数码之和.问：是否存在正常数，使得对任意正整数，满足?
分析与解
无论是否存在，该问题的本质即求的最小值：
若求得,说明不存在.
若求得,说明存在.
本题我们先往方向构造
思路一：固定，逐渐调大
不变的一种场景是最前面的数可向前平移若干位，这要求存在有
注意到,则取,则有为构造中首位的8向前移220位，我们先构造一个首位为8的2024倍数，只需取
注意到
下面我们将8向前平移位，显然
而
类似的，每次中的首位8向前移220位时，的前220位上为多出的数码和。
取充分大次前移后，
其中
注一 的最小值为22,,但不影响构造本质.
注二 该方法可推广到一般的,只要存在非2、5的素因子，即可.
思路二：有限,无限
为构造，其实只需要分子有限，分母无限大即可。
联想到关键结构：
由于恰好构成2024的一个完全剩余系，则有且仅有一个满足。
显然此时是有限的，最大到
下证明可无穷大
事实上，我们只需写出的十进制表达，由可知，是混循环小数:
易知
所以只需要位循环节有非9的位置给1加，让不进位就好。
这肯定是对的，否则循环节都是9，导出矛盾！
最佳系数问题
事实上，上述两种思路都需要包含非2,5的素因子，于是我们会自然思考以下问题：
当 , 且不全为 0 时, 对任意的正整数 ,存在仅依赖于 的正常数 , 满足
而经过探索，对于给定的，我们可以完美求得!这是下期的内容！
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