1.与高斯第十代传人的偶遇
费马二平方和定理的应用一直没有写，想好好研究下“高斯整数”,一直有一搭没一搭地收集着，没想到前几天在搜到一篇完美匹配的文章（《中等数学》202007）
作者是美国某大学数论博士,IMO香港队的数论教练,高斯第十代传人(就是他导师的9次方是高斯)。
为什么我会了解这么清楚呢？
因为五年前在浙大培训时，偶遇该大神。当时纪春岗教授讲课，然后该大神在课上发言:
"这题不就是xxxNo.xx问题吗？还可以balabala这么做"
还记得当时全场的气氛凝固了，因为这样的大培训课一般是没有这种“激情互动”的；当然，所有人也都知道此人不简单。
晚上吃完饭，正好碰到落单的大神，我就上去攀谈，知道了他的经历，带他逛了西湖、吃了夜宵烤肉和奶茶，给他来点“浙江好客”。
大神也在西湖边的奶茶店里教了我一点点小技巧，给当时教高中竞赛不到1年的我一点小小的“香港震撼”。
而这篇文章就是他给我讲解的核心观点：高斯整数在竞赛中的应用。
而细读该篇论文还不到1页，就给我一个巨大的震撼：
高斯整数视角下，费马二平方和定理的存在性证明极为简单！
笔者之前花了大量篇幅研究了其初等证法！是什么激发“数学王子”高斯写下《算术研究》？——深度探究费马二平方和定理(中1)
小学生就能理解的证明方法！——深度探究费马二平方和定理(中2)
为引入一些全新的概念，故本文先精读论文前一小部分，有点长，都是为了最后那一段秒杀二平方和定理存在性作铺垫！
2.高斯整数一 中的算术
定义 高斯整数定义为.
【例1】 都是高斯整数,而 不是高斯整数, 因为 .
在 的算术与 非常类似.
接下来定义类似的术语.
【笔者注：高斯整数其实就是复平面上的整点。】
定义 对 , 若存在 , 使得 , 则该元素称为单位元.
显然, 是 中的单位元.
问题是: 还有更多吗? 答案是否定的.
【笔者注：如何理解单位元？考虑初等数论下的算术基本定理实际上在把整数在乘法下分拆成“更基本的数”。而1是整数下的乘法单位元，即乘1是不改变整数的，则在整数下分拆成若干数之积时，这些数中的1是没有意义的！此处定义高斯整数下的单位元，也是为了研究高斯整数“乘法下的分拆”！】
定义 若 不能写成 , 而其中 是 中的非单位元，则 为一个高斯素数. 若 是素数且在 中,则称其为有理素数.
【笔者注：类比算术基本定理中，整数分拆成若干素数的乘积。素数其实就是不可再分拆的“基本元素”】
虽然这会容易令人假设 中的素数也是 中的素数, 然而, 事实并非如此.
例如, 是 中的素数, 而不是 中的素数。
事实上,需要证明 不是一个单位元, 但可暂时假设它不是.
定义 的范数定义为
【笔者注：高斯整数模长的平方，后面经常用取模，把复数域下的运算转化为实数域下的运算】
注意对于所有的 , 直接计算易得
在范数的帮助下, 首先判断 中的单位元.
命题 是单位元当且仅当 .
命题1 的证明
假设 是一个单位元. 则存在 , 使得 .
两边取范数得 .
注意到, 均为正整数, 这代表 .
相反地，假设 .
写出 , 得到.
这表明, 是一个单位元(这里, .
推论 中的单位元是 .
推论1 的证明
这等价于求 的整数解，
是所有解.
引理 若 和 是有理素数,则 是 中的素数.
引理1 的证明 反证法.
假设 不是高斯素数. 则, 且 .
现在 , 且 、 都是大于 1 的正整数, 其乘积为有理素数 . 这显然是不可能的.
引理 1 得证.
【注】1.中整除性的所有性质都将推广到【笔者注：照着样子证一遍就好】
2. 由命题2 ,知引理1 的逆命题不成立.
命题 在 中的素数恰属于以下三个类别之一：
(1) ; (2) 有 形式的有理素数, 而 为某些正整数; (3) 使得 是形式为 的有理素数, 而 为某些正整数.【笔者注：(3)不就是在说对于型素数p，是有使得？？？】
命题2 的证明
(i) 显然, ,这表明(1)对.
(ii) 设 为有理素数, 且 .
若 , 而 为某些非单位元, 则
.
由此, .
但两个平方数之和不会模 4 余 3 , 从而, (2) 是对的.
（iii）假设 ,且
.
显然, 这些元素是素数, 只需要证明有 形式的有理素数在 中不是素数.
从欧拉判别法, 知存在 , 使得.
故 .
由于 , 于是, 或 .
若 是 中的素数,则
,这表明, 或 .
但这不是事实, 因为 在 中当且仅当 和 均为整数.
因此, 是对的.
【笔者注：什么？二平方和定理的存在性就这么解决了？神奇！】
3.思考
该“高斯整数”视角下的高等解法能否找到对应的初等解法？？？
这个问题笔者倾向于认为是没有的。。。如有找到，欢迎交流
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