2024年7月14日
模块：数论、数字和问题
本期主要讲解上上期数字和问题思考题：
对于给定的, 且不全为 0 时, 对任意的正整数 ,是否存在仅依赖于的正常数 , 满足？如果有，请求出的最佳值.
分析
简化结构
注意到若中同时有若干,则会让后面多一些0，这不影响数字和，于是只需考虑或.
以下，我们先考察的情形.
考虑极端情况
我们希望对恒成立.
即要考察的最小值
我们大胆猜测一种极限情况：
当时，
最小，此时是最佳值吗？
考察?
注意到
证明更一般的命题：
联想类似命题
对于数字和相关命题，我们肯定知道
我们用加法竖式看待加法运算后有：如果没发生进位，则会保留原来的数字和；
而每次发生进位，都会使得的数码和变成，这导致数字和变小！
注：该结论显然可推广到任意进制。
同样视角看待乘法数字和命题！
所谓其实是考虑乘法后的数字和变化
仍然是想象乘法的竖式过程：
先是中某一位和乘，得数的数字和最大也是，一旦某些数位进位了，会变小
再将这些错位相加，即使完全不进位，其数字和刚好也到
将上述过程数学化表达
我们记，其中则
利用熟知结论，有
令上式中有.
于是我们有
得到关键引理后，问题迎刃而解！
严格的过程
存在这样的:
当时，最佳值为;
当时，最佳值为.
先证明引理：
证明：（略，见“将上述过程数学化表达”）
（i）当时:
注意到,记
由引理知
于是
即存在，且最佳值为
(ii)当时:
注意到,记
由引理知
于是
即存在，且最佳值为
两个遗留问题
所有取等情况是怎么样的？
有无上界？
如果觉得文章有价值，恳请您点个赞和在看！
欢迎后台交流！
往期精彩文章：
一、高联问题深度探究
简单又深刻！为什么立方数通常模7或9分析？——21高联B卷P4
观察大趋势，琢磨小细节——例谈离散不等式解题模式(23东南赛高一P7)
时刻观察特点，寻找思维捷径——丝滑分析2023中国女奥P6代数
二、强基自招
三、难题研究
组合零点定理（2）解北大“怀新一题”20230509期“数学家聚会”问题
////// END //////
