2024年7月13日
模块：组合构造/多项式差分
2018年江苏预赛压轴题14题是一道涉及幂次和相等的组合题.
(2018江苏预赛14)从这个数中任取个组成合 , 把中的每个数案上红色或蓝色. 求证: 总存在一种染色方法, 使得有 600 个红数及 600 个蓝数满足下列两个条件:
①这 600 个红数的和等于这 600 个蓝数的和;
②这 600 个红数的平方和等于这 600 个蓝数的平方和.
理解该问题的本质后，可推广得到非常一般的结论：
能否找到两组数（每个数互不相同），他们的幂次和均相等？
实际上，该问题也被作为2005中国国家集训队测试题
(2005CTST-P4)设 是正整数. 求证: 可以将集合 分成两个没有公共元素的子集 和 ，使得对任何 都成立.
最后留了一个趣味思考题
（2012国际城市）对任意整数，总能表示为一些不同整数的立方和吗？
江苏预赛题的关键构造分析
由于2050太大，对每个数字进行进行精细分析肯定做不到，故我们希望找到一些“小数组”，他们的和与平方和均相等。
事实上，标准答案给出了两类“小数组”
证明一:
注意到 ,且.
则考察有
后续构造抽屉过程略.
证明二：
注意到, 且 .
则.
且 .
后续构造抽屉过程略.
这两个小结构有没有别的方法“注意到”？
事实上，证明一中的构造有极强的代数意义，搞清楚本质后，可将问题推广！
什么是差分？
高中课内学过微分、积分，却很少听到差分，但其实我们经常使用差分：
比如在数列中，我们经常考察一个数列相邻两项的差
其中就是的差分数列，也写作事实上，若用函数眼光看待后有：
我们可以看到 差分可以近似为“离散数列的导函数”.
多项式的一个差分命题
为解释幂次和相等问题，我们聚焦多项式的差分。
本文主要用到以下命题：
多项式每次差分后最高次下降1,则连续若干次后可得到常数.
例如考虑，则
当然再差分下去会变成0
回到原题
回到原题，我们希望两组数的平方和相等，考虑到可以移项，则可视作一些差分。
反过来说：由上述命题知，我们作若干次差分后可得常数，这意味这可以任意调节得到两个相等得差分结构，移项后即可
构造过程
先取，作一次差分得
再作一次差分，但为得到不重复得数，我们考虑
注意到一个用了连续4个数，故考虑有
两边平移后即有
构造完成！
是否需要检验一次和？
我们当然可以“检验”，发现一次和也是成立的。
但真的需要检验吗？
其实完全不需要！
实际上，考察一次和相当于我们最开始的看作，而最终的结构相当于对作两次差分（第二次步长为2），显然还是会变成常数！
所以理解差分本质后，完全不需要检验.
神级推广
理解差分本质后，我们又会自然地提出以下问题：
能否找到两组数（每个数互不相同），他们的幂次和均相等？
用差分去构造变得如此简单！
只需考虑，对其不断差分，但考虑到不能重复，故每次步长要至少乘2才能错开.
最终构造后再移项使其全正即可！
我在课上提出这个问题后，有同学说2005年国集测试题就有完全一样的题。
(2005CTST-P4)设 是正整数. 求证: 可以将集合 分成两个没有公共元素的子集 和 ，使得对任何 都成立.
这里贴上数之谜上的归纳证法，其实本质还是差分.
一道思考题
再给一道极其趣味的思考题，来自2012年国际城市数学竞赛
对任意整数，总能表示为一些不同整数的立方和吗？
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