万众瞩目的新高考全国I卷压轴题他终于来了！！！
跟笔者之前的预测类似，这道题完全就是一道“告诉你思路的”竞赛大题，即其重要想法都在前面两小题给你扎扎实实铺垫了，只要一步小跳跃迁移，而真正的竞赛题往往直接告诉你第三问，需要更多探索与尝试，对学生的观察力、分析力要求更高。
昨天给我的一个学生考前鼓气时，我也特地强调了这点，不知她发挥如何。
题目如下
(2024全国I卷19)设 为正整数, 数列 是公差不为 0 的等差数列. 若从中删去两项 和 后，剩余的 项可被平均分为 组, 且每组的 4 个数都能构成等差数列, 则称数列 是 “ 可分数列”.
(1) 写出所有的 , 使数列 是 可分数列.
(2) 当 时, 证明: 数列 是 可分数列.
(3) 从 中依次任取两个数 和 , 记数列 是一个 可分数列的概率为 . 证明: .
I.分析与解
理解题意
先阅读问题，本题是一道偏组合构造的数列题，核心是求某数列划分成若干等差数列的种数，最终目标(3)是想求在此条件下，划分种数的下界。
以此为导向，我们再来看前两小问的“提示”
形式简化
由于是等差数列，设公差为,故呈等差数列表明
这步是自然的，简化了研究对象：我们只需研究下标即可。
第(1)问——研究最简单情形
答案很容易写出：
最终剩下的1组等差数列在原数列中均是“连续”的四个数，本题称这样的4个数为一个“连续型等差组”
是否可以证明？
答案是可以，这里也看出了出题老师的“善良”：
我们只需说明6个数去掉2个数后必有相邻的数，这是因为6个数之间有5个间隔，而每去一个数至多少2个间隔。那么去掉2个数后，至少还剩1个间隔，这个间隔对应前后的两个数就是相邻的！
而这对相邻的数表明新等差数列的公差也是d！向前向后导出这四个数都得连续。
注：以上证明较难数学化表达，所以出题人很善良，让考生给出即可，主要达到熟悉题目、提示思路的目的，并不准备挖坑。
第(2)问——研究特殊情形
归纳转化
(2)要求证明的情形，事实上我们只需证明的情形，因为随着每次大1，后面多出来4个数本身就组成最简单的“连续型等差组”
当然本题不需要用归纳的写法，直接构造即可。但拥有归纳的想法会使得思考更为自然。
分类讨论的情形
此时剩
分别对所在等差数列进行讨论，过程较繁不予展示，下直接给出：很明显，这三个数列的公差均为（这似乎是巧合？）
(2)的简约化写法
只需给出构造：
(i)时:
第1组; 第2组; 第3组;
(ii)时:
第1组; 第2组; 第3组;
第组
故当去掉时，剩下的数可以平分成组等差数列，得证。
（3）——最后的目标
理解概率
首先共有
而最终需要，换言之需要至少约级别的种数
(1)对(3)的重大提示【情形一：连续型等差组】
实际上，(1)最终剩下的“连续型等差组”是最简单、最基本的情形，我们完全可以使得去掉的两数将下标分割成3块均为4倍长，不妨设长度分别为其中为非负整数，且
【对隔板法不熟悉的学生可以考虑此时分割点的下标必为,】
还差多少？
计算完情形一的种数，我们发现里目标的大约还差一半，这说明还得有种情况！
(2)对(3)的重大提示【情形二】
若直接考虑在(2)的构造，将多出来的“连续型等差组”放在前面和后面，发现种数是级别的数，并不够。
那么我们必须要更深挖(2)！（这是高考题与竞赛题最大的区别，高考题会有“提示”！）
我们很自然地考虑以下辅助命题:
对挖去后的,能否划分成组？
研究低维情形
时，并不是等差数列；
时，划分为,恰好是公差为2的数列
时，即第(2)问，划分为
恰好是公差为3的数列
不会这么简单吧？
难到情形时，就是一些公差为的等差数列？
构造一下，还真是啊。。。毕竟是高考题哇
对于的情形，我们考虑以下个等差数列组即可
情形二的划分构造
辅助命题告诉我们对于时，是可划分的。
那么我们再在前后加上一些“连续型等差组”就有情形二，即两个划去的数为其中将数组分成了三段：
第一段划分成组“连续型等差组”：
第二段,运用辅助命题划分成组:
第三段划分成组“连续型等差组”：
情形二的种数计算
下面我们确定的种数，记,故只需考虑以下不定方程的解
转化为的正整数解，用隔板法有
【对隔板法不熟的同学可对的大小分类枚举：】
核算种数
情形一+情形二的种数共,此时
(3)的最终解答
（i）情形一：,共种
构造见上面分析
（ii）情形二：,共种
构造见上面分析
综合以上两种情形，至少有
证毕！
评注
本题是竞赛题吗？
是竞赛题，也不是竞赛题
是竞赛题？
该问题涉及组合构造与论证，在课内极少涉及构造和证明题，导致大量课内学生在思维层面犯怵！
但却是竞赛组合的基本题型，难一点的小学奥数就会涉及。
不是竞赛题
本题前两小题提示了非常明显的思路，换言之给学生搭了非常多的思维阶梯。
而竞赛题会直接抛出第（3）问，让学生自己探索出来，更加考察分析能力！
本题对高考数学的教学启示
我想这道题无疑对中学课内教学有划时代的意义。
首先，不少专家都在说课内数学太偏“应用”了，缺少“逻辑”，其特点体现在高考课内非常缺少“真正的证明题”，之前即是有也是“计算性的假证明题”。
像本题用到的“构造式证明”，以后可能还会有“反证法”、“数学归纳法”等最基本、常见的证明题可能会越来越多？
但无论如何，新高考一定会越来越重视数学“逻辑”的一面！
其次，高考会更加重视学生的“思维、策略”，而不仅仅是“知识”。本题中的想法完全靠学生通过对特例的研究，联想猜测出答案，最终验证想法，比较考验学生的“洞察力”，而掌握一般数学问题研究分析方法、解题策略的学生无疑可以降低“洞察力的要求”！
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