本文目录
I.新高考数学“大地震”:新高考背景简述 II.19题的一种命题方式——一般化：以武汉四调为例 III.原创命题：2024少创班填空压轴的一般化
I.新高考数学“大地震”
第19题的争议与共识
自1月的九省联考之后，新高考数学卷结构发生大地震，其中最后一道19题到底长啥样，没人敢断言。
从难度上看，各种高三复习报告，有的专家说会很难，有的专家说虚晃一枪，各执一次；
从知识点方向上看，更不确定，是偏竞赛的？还是偏高等的？
但大多数人形成的共识应该是：
用数学化的语言刻画一个新概念或新场景或新思想， 让学生在前半题学习、领悟， 最终解决后半题更一般、更复杂的问题。
因为“现学现卖”绝对是最有效选拔学生的方式。
作何应对
那么问题来了：
教师、学生如何应对新高考变化？
我也询问了很多专家，几乎一致的回答是——
加强探究式学习
我相信这也是教育部专家们希望看到的结果。
有的读者可能会说，不一直说“探究”吗？
但笔者认为，各种教学观念的宣贯在高考真题卷的影响下都是微乎其微的，只有真的考“探究题”，教学才可能“真探究”。
何为探究？
顾名思义，就是“探索”+“研究”。
当你解完一个问题后，如何探究？
这里谈谈笔者的认识
问题的多角度理解 问题的多层次挖掘 问题的一般化、特殊化 问题的推广 相似问题的挖掘 。。。
当然不可能每个问题都挖得这么透，而是要有这种意识，教师在日常授课中帮助学生养成思维习惯，让学生不光有“消化问题的胃”，更要有“寻找问题的脑”。
其实这也是笔者认为竞赛生在19题必定占优势的原因，绝不是简单的知识点层面，而是更“数学”的思维习惯！
II.19题的一种命题方式——一般化
以武汉四调概率压轴为例
上个月的武汉四调19题得到了广泛的好评，唯一的遗憾是本题用的算两次思想是竞赛一试中概率热点问题，所以竞赛生在理解上有重大优势。
（笔者认为：命题专家想要绕过竞赛去创新是极难的，因为数学竞赛本身定位就是用初等工具但其余思想方法均不限制的考试，导致其知识、思想、方法几乎完全包含高考，除了极个别高考研究得“走火入魔”的板块。。。）
武汉四调19
如何命制该题？
该问题的命制思路其实很简单：
找到一道相对课内有新思想的竞赛题 能否解决一般化问题？ 可以！还挺初等？
搞定！
实际上，本问题的母题如下：
【连取1球】取到红球的概率为，取到红球停止，求抽取次数的期望
【求法一】 定义法+错位相减
故
【求法二】 期望算两次 要么一步搞定，要么多走一步，于是
【连取2球】取到红球的概率为，取到红球停止，求抽取次数的期望
【求法一 期望定义】先求连续2次取到红球停止，求第次停止的概率
这表明该方法是三阶线性递推，计算肯定是困难的，除非一些特殊的.
而算两次仍然奏效！
【求法二 期望算两次】要么连续两次成功，要么第一次失败(浪费一次)，要么第一次成功第二次失败(浪费两次)，于是有
将该母题一般化，得到【连取球】问题，即武汉四调压轴问题！
该问题可用期望算两次解决！
于是，只需在前面介绍母题并给出简单情形，给学生提示一下思路即可！
问题的两层次解
武汉四调的题还好在有两个层次的解法，“想得越多，算得越少”！
类比得到常规思路
类比 的求法, 我们分析如下:
第一次试验失败, 对连续 次成功毫无帮助, 可以认为后续的期望仍为 , 即总的试验次数为
前 次试验成功, 第 次失败 , 对连续 次成功毫无帮助, 可以认为后续的期望仍为 , 即总的试验次数为 ;
前 次试验都成功, 试验停止, 此时试验次数为 .
于是得到 的表达式
两边同乘 得
利用错位相减法求得
更深刻的理解（标答）
期待在 次试验后:
首次出现连续 次成功, 若下一次试验成功, 则试验停止, 此时试验次数为 ; 若下一次试验失败, 相当于重新试验, 后续期望仍是 , 此时总的试验次数为
即
所以 .
知 ,代入得: .
【笔者注：该解法需要学生对期望、期望算两次有更深刻的理解！】
III.笔者原创命题
事实上，这种“一般化”的思考方式、命题思路非常值得养成为思维习惯。
笔者根据上月中科大少创班的一道考题用该方法命制了一个问题。
2024中科大少创初赛填空压轴
甲乙两人进行比赛, 每局比赛获胜的概率相同, 均为甲获胜概率 , 乙获胜概率 , 现规定两人持续比赛,直到有一方比对方获胜局数多两局时获得一场比赛的胜利, 则甲获胜的概率是
本题我们使用条件概率及概率算两次思想解决：
设甲获胜的概率是 , 在先胜一局的条件下获胜的概率是 , 在先负一局的条件下获胜的概率是 ,
则根据题意有
我们将问题一般化：若规定多赢n场获胜，则甲获胜的概率是？
。
。
。
。
。
。
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。
。
。
类似上题，我们设当甲比乙多赢场前提下最终甲获胜的概率是,则由条件概率及算两次知
记,则
故有
于是
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