2024年5月16日
模块：代数
难度：二试P1
一道入口很宽又不俗气的柯西训练题，本文介绍三种证明。
已知 为实数, 证明:
视角一：从特殊到一般
当时
显然成立.
当时
柯西即证.
当时
与上两种情况类似，只需证
我们希望
发现确实恒等！故直接柯西即可。一般化得到证明一
视角二 齐次化
齐次化去根号
容易观察到本题中或是齐次的，换言之，可以随时扩倍、缩倍。
而本题结构中最复杂的就是根号，我们只需使得便可去掉根号
为保持对称性有
下面的放缩水到渠成，得到证明二
视角三：拉格朗日恒等式
形式促使联想
希望证
左式中的放进根号后有,结合右式中的,联想到拉格朗日恒等式
凑配右边
右边的用一步柯西即可，还余下
为了统一左右形式，我们改写为结构，得
一步柯西得到证明三
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