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（1）听：任务群支持的主题式学习：内涵、价值与实践
（2）读：如何让学生数学推理思维可视化——以一道“图形的面积与周长”题目为例
（3）看：名人名言
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注：【插入音频】
——节选自《小学数学教与学》2023年第8期《任务群支持的主题式学习：内涵、价值与实践》，作者：江苏省南京市鼓楼区教师发展中心 杨杰军；江苏省南京市金陵汇文学校 周菲。
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如何让学生数学推理思维可视化——以一道“图形的面积与周长”题目为例
笔者在一次省级学业评价中，看到如下的“图形面积与周长”解答题：有一天，妈妈带着双胞胎儿子玩乐高。哥哥和弟弟分别摆了两个图形。
（1）哥哥认为自己搭的图形的面积比弟弟大，但是弟弟认为他的大。你觉得呢?请说说你的理由。
（2）以上两个图形，有人认为它们的周长是一样长的，你同意他的说法吗？为什么？
此题一改传统的周长、面积计算题，从问题解决的角度不仅考察了学生的双基水平，还考察了学生的空间观念、推理能力等数学素养。
笔者应用本题对本校的学生进行问卷调查，结果如表1。
从表1可知，学生能准确判断并分析面积与周长的能力的较弱。对面积和周长认识都比较深刻，且能有效应用于本情境人数为72人，不到总人数的50%。其中面积概念较周长概念掌握要好，能准确分析面积而不能准确分析周长的人数（43人）远大于能准确分析周长而不能准确分析面积的人数（6人）。两者都不能准确分析的共30人，接近总人数的20%。特别地，有一部分平时知识基础还比较好的同学，在本次实际应用中，显得茫然无措，能力不足。
【试题分析】
为了更加全面地了解学生在图形周长与面积这个知识点上的思维水平，笔者根据SOLO分类评价理论进行了层次分析。
一、引入SOLO评价，编制分级细目
SOLO分类评价，是针对学生解决某一个具体问题时的表现，通过分析学习结果在思维结构上的复杂程度，反映学生从“量变”到“质变”的过程，它为学习质量评价提供了重要的理论依据。我们将之引入本研究中，对本题中学生的推理表现进行分级编码，如下表2。
二、基于层次分析，反思提升教学
（一）依据细目，使学生表现类别化
依据SOLO评价的五种水平层次划分与描述，笔者对三年级学生解决此题的思维层次做了进一步统计，见下表3。
从上表3中，我们可以发现多点结构水平人数最多，约占总人数的38.4%，其余水平以多点结构为轴，向两侧呈正态分布逐步降低。学生在水平4与5的人数不多，主要原因是：①学生对周长与面积的概念混淆；②图形较为复杂后，学生凭直观，无法正确找到周长具体之哪些线段长度之和；③学生无法比较有条理地表达自己的想法；④面对情境问题，有些学生无法理解题意，也就无法生成有效的推理策略。
（二）归纳典型答案，使推理内涵显性化
在整体分析的基础上，笔者选取不同水平的典型答案，对学生的错误进行深入归因。
1.前结构水平：这部分学生主要表现为不理解题意，不会作答或者作答分析错误。其中有2人，直接写着“不会”，还有2人没有答题。从一个侧面说明他们没有积极投入到解题中。有的学生虽有尝试的意图，但没有找到相关联的知识逻辑，无法推理得到结论，只能胡乱作答。
2.单点结构水平：这部分学生实质上是通过单一信息在做推理，他的判断可能是正确的，理由却不充分或者不明确。如图1所示，在比较面积时，只是简单说哥哥与弟弟用的图形相同，未说明图形种类与各类图形的数量相同。在比较周长时，只是陈述谁的周长长，没有给出具体理由。
图1 单点结构水平典例
3.多点结构水平：处在这一水平的人数最多，大约占总人数的38.4%。主要有以下两种情形：①有一些零散、独立的文字分析；②没有文字分析，仅借助图像做笼统推理，量化错误。这部分学生已经开始有意识地运用概念作判断，具备一定的记忆容量和注意广度，但遗憾的是，这一水平的学生还不能将周长与面积作细致的量化分析。如图2所示，学生在头脑中已经建立了周长的概念表象，知道是图形的周长是指哪里，但数数计算时出错。
4.关联结构水平：处于这一水平层次的学生有26人，约占总人数的17.2%。这类关联性的作答进一步将多个线索联系起来，能用归纳的方式解释多点结构中的零散信息，运用已有的知识、经验，将相关知识联结成一个结构，用以解决问题。关联结构水平中，有6人采用了图形平移的策略解决问题，如下图3所示。学生通过平移图形，发现双胞胎哥哥与弟弟搭的图形所用的积木种类与各数量时一样，进而得出结论。
图3 关联结构水平典例一
处于关联结构水平中，另有5名学生通过分解积木图形，根据面积的概念给出判断和理由。如图4所示。
图4 关联结构水平典例二
5. 扩展抽象水平：达到这一思维水平的学生，不仅能准确判断面积与周长，而且能清晰、完整地表达推理的过程。学生从周长与面积的概念出发，发现哥哥与弟弟搭的积木所用种类与各数量一样，所以面积一样；进而指出两个图形的周长所指，通过数边线的数量，得出周长的大小，表达得有理有据。这类学生的思维过程清晰、完整、简洁、合乎逻辑，对所有相关线索和它们之间的关系建构起一个抽象的原理结构，并逐一证实其中假设的正确性。有个别学生还能超越现有的线索和素材，将关联的知识概括上升到一个更高的抽象水平。学生不仅能清晰表达面积相等的原因，还能发现周长在重叠情形下的变化特点：每重叠一次，减少两条边，因此只要看重叠的边数就能判断周长的大小。
（三）量化评价结果，使推理水平可视化
按1，10，100，1000，10000各代表一个等级，分别乘以各个题目的通过率，计算学生思维水平的加权得分。学生思维水平加权得分通过以下公式计算——
(P点通过率×1)+(U点通过率×10)+(M点通过率×100)+(R点通过率×1000)+(E点通过率×10000)。
根据该计算方法，统计出了四个班级的答题思维水平情况（见表3）。
从上面表中，可以发现四个班的思维水平均在6000以上，属于中等以上水平。在后续的访谈中，我们发现推理思维水平得分较高（此次测试中大于7500）的学生在分析解答题过程中能够全面思考问题，3班思维水平得分较高的15位学生，能够根据第一小题的结论来对第二题进行说理梳理，且能有序表达推理过程。
（四）追踪可视结果，使提升措施差异化
借助SOLO分类评价分析学生作答过程，对错误结果进行分类追踪。处于前结构水平的学生，教师应引导他们向着多点结构水平发展，如在“图形的周长与面积”解答题中，重视理解周长、面积的概念，从中找到线索、获取信息，实现量变。已经处于多点结构的学生，教师应引导学生将信息零散知识联结成有结构的体系，向着关联结构水平推进。关联结构水平的学生则应努力上升到抽象扩展水平，教师可引导学生充分借助图、文字等有理有据地正确分析面积与周长。
【反思总结】
学生是在不断地变化和成长的，本案例借助SOLO分类评价理论，编码分析学生答题的思维水平，确定学生的思维等级，在等级分析的基础上，赋分量化，使学生个体知识水平与推理能力水平差异可视化。对学生推理能力的评价，不仅包括对解答结果的考量，更致力于理解、挖掘学生在解答过程中态度、能力等方面的进步和进展。设计针对性的学习目标，滚动诊断，不断促进学生的动态发展。这可以看作是从“对学习的评价”到“为了学习的评价”的有益尝试。
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名人名言
读书是在他人思想的帮助下，建立起自己的思想。
——巴金
本期审核：程鹏
