向你介绍我是谁
大家好，我是任宁，来自浙江省宁波市奉化区畸山小学，是朱乐平奉化区名师工作室第10组成员，很高兴在“一课研究”微信公众平台与您相遇。
本期内容有哪些
听一听：数学多元外在表征
读一读：《多元图示表征，经历产生过程》
看一看：走马灯数
轻轻松松听听书
——节选自徐名雪《基于多元表征的分数概念教学研究》
坚持阅读8分钟
多元图示表征，经历产生过程
——“真分数和假分数”一课的教学思考
一、教材有什么
人教版修订教材五年级下册《分数的意义和性质》单元的“真分数和假分数”一课是在“分数的意义”、“分数与除法的关系”之后学习的。教材安排了两个例题（图1），分别通过先用涂色部分表示分数，再比较每个分数中分子和分母的大小，得出真分数、假分数的含义。例1是分别在三个同样的圆内用涂色部分表示出三个真分数，这对学过分数意义的学生来说没有难度。例2是要求学生用涂色部分表示出假分数，其中第一小题编者显然是考虑到了学生的水平而降低了难度，提供了2个划分好份数的圆让学生表示出4个1/3，然后第二小题再分别表示3/3、7/4、11/5。西南师大版、苏教版、浙教版的教材编排也都和人教版类似。北师大版略有不同（图2），是通过“把5张饼分给4个人的两种不同分法”引出真分数假分数，但是只出现了带分数1和5个1/4的图片，随即就出示了真分数、假分数的概念。
二、问题在哪里
1. 基于已有经验，缺乏对假分数的认同
笔者对本校和兄弟学校的五下年级尚未学习“分数意义”的298名学生进行了前测，在要求写出“分母是4的分数”时，有215名学生写了“1/4到4/4”，只有29名学生写出了“1/4到10/4”。对大部分学生来说，他们的认识只还停留在用一个图形表示分数，基于经验能够写出4/4这样的假分数，但是像5/4这样的假分数就成了一道跨不过去的坎。对于图3的阴影部分，共有185人用5/8表示，12人用5/4表示，说明绝大多数学生对假分数没有认识基础，经过访谈发现，会正确表示的学生基本上都是已经预习过书本的内容。
学生不认同假分数的存在，一是因为不管是在学习“分数的初步认识”时，还是在学习“分数的意义”时，教材出现的例子都是真分数，一般教师在前期教学中也不会出现假分数的例子；二是因为现行教材采用的分数定义方式是“份数定义”，小学生对于理解“把一个圆平均分成4份如何能得到5份”有一定难度，需要过程。
2.教材只有定义，缺失假分数产生过程
从概念的字面识记来说，真分数和假分数是很容易区分的，“分子比分母小的分数叫做真分数”、“分子比分母大或分子和分母相等的分数叫做假分数”，只需比较分子分母的大小即可。然而，如果只是告诉孩子这两个概念，对于孩子理解真分数和假分数的定义肯定是远远不够的。我们应该让孩子知道假分数的产生过程，假分数的产生有两条途径：一是分数单位叠加运算的结果，是加出来的。从人教版教材的例题来看，是直接提问“4个1/3是几分之几，在右图中涂色表示”（已分好份数的两个圆形），这样的问题缺少了学生进行深度思考的空间，使学生成为了机械的操作工，学生不明白4/3是怎么来的，不明白为什么要用2个圆形来表示。而如果学生没有真正理解假分数的来源以及用2个圆形表示4/3的必要性，这样的操作便是无本之源，失去了其应有的意义。二是两个量倍比表示的需求，是除出来的。人教版教材在教学分数的意义时，大量出现的例题和练习都是用分数来表示部总关系，几乎没有出现两个量之间的关系，这样的内容编排有失偏颇，窄化了学生的视野，一定程度上阻碍了学生对于假分数的理解和认同。
三、可以这么教
笔者认为，本节课的学习要让每个学生经历假分数的产生过程，并通过多元的表征方式，让不同的学生借助各种表征方式之间的联系和沟通，达成对假分数的理解和认同。
1.多元表征，夯实对真分数的理解
在学习“分数的初步认识”的时候，学生就已经学会用不同的图形中的涂色部分来表示真分数，本单元又学习了分数与除法的关系，从整数的认识开始，教材就一直在渗透用数轴上的点来表示数，因此，借助“图形”、“除法算式”、“数轴”三种表征方式来逐步理解假分数的产生，就成为本节课的主要着力点。
【教学片断一】
师：我们已经认识了分数，1÷4的商你能用分数表示吗？
生：1/4。
师：1/4表示什么意思？
生：把单位“1”平均分成4份，这样的1份就是1/4。
师：你能用图形中的阴影部分来表示1/4吗？
生：独立完成草图。（可以是不同的图形）
师：那么你能在数线（也就是数轴的雏形）上找到1/4吗？
生：把0到1平均分成4份，这样的一份就是1/4。
师：我们在数线上就用这个点来表示1/4。
师：我们来看，1/4这个分数，还可以用除法算式、图形、数线等这么多的形式来表示，这些方式表示的都是——1/4。
师：那么如果再增加一个1/4，该是多少了呢？（2/4）你能用其他几种方式进行表示吗？
生：独立完成。
师：通过看图我们可以发现，2/4里面有几个1/4呢？
师：再增加一个1/4就可以得到——3/4，再增加呢，可以得到——4/4。你会用这些方式表示这两个分数吗？
生：依次完成。
从1/4到4/4，通过教师的精心引导，学生在一次次的模仿、吸纳中熟练了多元表征的方式。至此，学生已经能用多种不同的方式对分数进行表征，并沟通了分数、除法、图示、数轴四者之间的关系，为下一步的继续学习奠定了很好的基础。
2.追本溯源，放大假分数的产生过程
教材中，一般都是直接出示两个图形让学生表示假分数。以人教版为例，就是出示两个平均分成4份的圆形，让学生表示出5个1/4。这相当于已经给了学生明确的暗示，要用两个单位“1”表示5/4。而认识到5/4需要用两个图形来表示，正是学生的思维难点，是需要学生去经历的思考过程。并且教材是要求学生表示出5个1/4，而不是5/4，这样的提示，也显然降低了学生的思维水平和思考难度，不利于学生对假分数含义的真正理解。因此，笔者认为应该借助之前学习的多元表征方式，借助不同表征方式之间的联系，达成对假分数含义的理解。
【教学片断二】
师：按照刚才的顺序，如果再增加一个1/4，应该是几分之几了？
生：5/4。
师：现在你能用几种方式来表示5/4了呢？
生：5/4=5÷4。
师：那你能用图形和数线表示5/4吗？
生：（面露难色，无从下手。）
师：为什么不会画？
生：一个圆里面最多只有4个1/4，所以我只能画出4/4。
师：哦，大家都是这么想的吗？（生：是——）那么，我们不妨从分数单位开始思考，5/4里面有几个1/4呢？
生：5个。
师：刚才大家说了，在一个圆里面我们最多只能画4个1/4，那么第5个1/4应该怎么画呢？
生：（若有所悟，茅塞顿开）赶忙低下头作图，画出了自己对5个1/4的理解。（主要方法如图6所示）
图6
师：第一幅图，我们能找出5个1/4吗？（不行）所以它不是5/4.第二幅图和第三幅图都能够找出5个1/4，表示的都是5/4，1个圆形加上1/4个圆形，也可以看做1。
师：如果我们把5÷4看做“5个饼平均分给4个人，每人可以分到几个饼？”每人可以先分到1个，又分到1/4个，所以加起来也是1个。
师：我们也可以从数线入手想一想（见图7），刚刚我们表示了1/4到4/4，那么你认为5/4应该是在哪个位置呢？你是怎么想的？
图7
生：因为4/4刚好是在1的位置，那么我想5/4应该是在1后面的一格。
师：也可以看做是1再加上1/4.那么这个1/4是从哪里得到的呢？
生：是把1到2这一段平均分成四份，其中的一份。
师：那么可以怎样用圆形来表示呢？
生：也就是先用1个圆表示，再画另外一个圆，表示出1/4就可以了。
在有些课堂里，学生的已有经验比较丰富，或者学生对相关知识有过接触，确实有学生能够在独立尝试的过程中用正确的图示表示出5/4。但是对于笔者所在的乡镇学校而言，学生的基础不是那么优异，基于这种常态的学情而言，我们势必要另辟蹊径，才能让学生真正理解假分数的含义。其一是借助分数单位的累加，因为前期学生已经学习了分数单位，并且借助1/4到4/4的图示，学生能很清楚地发现2/4和3/4和4/4分别由几个1/4组成，那么自然而然地能够说出5/4里面有5个1/4，在一个圆最多只能表示4个1/4的情况下，逼迫学生再创造一个圆，来表示第5个1/4，从而突破这个瓶颈。其二是借助数轴（小学阶段一般称作数线），数轴是从小学一年级开始就伴随着学生的认数过程的，整数、小数、分数概不例外。在表示1/4到4/4的过程中，学生已经明确了分数与数轴上点的一一对应关系，依照规律，学生自然能够想到5/4是在4/4之后的一格位置上，并直观地认识到5/4就相当于“1+1/4”，对用图示表示5/4起到了很好的引导作用。借助其他表征方式来引导学生达成对假分数的理解，降低了学生的思维难度，这就是笔者主张多元表征的意图所在。
在本节课中，如果仅限于让学生“知道”知识，那么花上5-10分钟记记背背就可以解决了，非常“省时高效”。如果我们要让学生“经历知识的产生过程”，从知识的本源出发让学生深度理解，借助多元化的表征方式来完成对假分数概念的全方位建构，那么肯定是“费时”的。我们在课堂中需要更多地让学生经历这种“费时”的曲折的甚至是艰难的学习过程，以期达成对数学知识的深度理解，而不是投机取巧、“省时省力”，使学生对数学知识犹如蜻蜓点水，浅尝辄止。
数学小知识
142857，又称“走马灯数”，是世界上最著名的几个数之一。这个神秘的数，最早发现于埃及的金字塔内。
为什么说这个数是走马灯数呢？这是因为，它2~6倍，都恰好是这六个数字的重新排列：285714,428571,571428,714285,857142……并且是按次序排列的哦，是不是很像“走马灯”呢？这样的“走马灯”性质实在是让人啧啧称奇。
审核：邓星华、周青燕
