Shi H, Song Z, Bai X, et al. A novel digital twin model for dynamical updating and real-time mapping of local defect extension in rolling bearings[J]. Mechanical Systems and Signal Processing, 2023, 193: 110255.
摘要
轴承局部缺陷扩展的研究对轴承健康监测和管理具有重要意义。然而，滚动轴承的局部缺陷尺寸难以实时监测。为了解决这个问题，本文提出了一种新的数字孪生(digital twin, DT)模型，用于滚动轴承局部缺陷扩展的动态更新和实时映射。新的数字孪生模型将机理模型和实时传感器数据相结合，而不是像传统的数字孪生模型那样仅依赖于测量数据。通过这种方式，可以利用新的数字孪生模型直接映射整个生命周期的缺陷尺寸。使用XJTU-SY轴承数据集评估所建立的全新的数字孪生模型,结果表明，该数字孪生模型可以准确地表征滚动轴承全寿命周期内的局部缺陷扩展。
引言
滚动轴承是机械设备中常见的部件，其运行可靠性直接影响机械设备的安全稳定。因此，滚动轴承的健康管理至关重要。在过去的几年里，许多技术均已应用于滚动轴承的运行和维护，如深度学习、信号处理和时频域分析。为了揭示滚动轴承的失效机理，众多学者开发了多种有利于滚动轴承运行和维护的动力学模型。然而，由于滚动轴承建模的理想化条件，上述动力学模型无法完全表征滚动轴承内部零件的运动关系，仿真与测量之间仍然存在一定差异。因此，减小误差是提高滚动轴承健康监测精度的关键。
数字孪生提供了一种可行的方法来联系仿真工作和测量工作。目前，许多研究人员已将数字孪生应用于机械设备的健康监测和管理。值得注意的是，数字孪生对实时性有更高的要求，但很少有研究关注数字孪生的实时映射。此外，也有一些关于滚动轴承数字孪生的研究：Farhat等人使用数字孪生为神经网络生成数据集，用于故障轴承分类。Liu等人基于振动现象构建了轴承数字孪生模型，用于退化过程中的剩余使用寿命预测。然而，这些工作无法准确描述滚动轴承的运动行为和退化过程。由于轴承在全寿命周期内的演变状态和传感器数据很难监测，因此数字孪生模型无法动态更新。
针对上述问题，本文提出了一种全新的滚动轴承局部缺陷扩展动态更新和实时映射的数字孪生模型。本文的主要贡献如下：
(1)基于动态模型的虚拟实体能够很好地描述滚动轴承局部缺陷对动态响应的影响，并根据失效机理量化局部缺陷的大小。
(2)虚拟实体的动态更新是通过所提出的信号近似方法(signal approximation method，SAM)来实现的。该方法可以迭代出全生命周期模拟的缺陷尺寸，更有效地生成具有相似故障特征和物理实体变化发展的模拟振动信号。
(3)为了提高全新数字孪生模型的准确性，利用计算量较少的高保真度缺陷尺寸和高保真度代理模型来校准全生命周期模拟缺陷尺寸。
(4)全新数字孪生模型的实时映射是通过使用BP神经网络(BPNN)实现的，该网络将测量的振动信号与虚拟实体的全生命周期缺陷尺寸连接起来。
基础理论
数字孪生
2003年，格里夫斯教授在密歇根大学的一门产品管理课程中创建了镜像空间模型，标志着数字孪生概念的引入。数字孪生被广泛认为是物理实体的虚拟描述。它使用各种方法来增加物理实体的新容量，例如使用数据来模拟物理实体的行为，以及在实际应用中进行决策迭代优化。如今，数字孪生在智能制造、复杂机电设备运维、机器人等多个领域显示出良好的应用前景。
动力学模型
基于赫兹接触理论的动力学模型可以更准确地反映局部缺陷的扩展过程，其位移激励可以用分割函数表示。所开发的动力学模型基于以下方程：
其中表示系统质量；表示阻尼比；表示刚度；表示激振力。
为了简化动力学模型，本文将缺陷区域简化为深度为、长度为、宽度略大于的长方体。那么滚动轴承中局部缺陷的扩展过程可以分为两种情况：
(1)理论径向位移小于局部缺陷的深度，即≤。此时，滚动元件只接触缺陷的边缘，这种情况通常发生在故障的早期阶段，如图1(a)所示；
(2)理论径向位移大于局部缺陷的深度，即>。此时，滚动元件将落入缺陷并与其底部接触，这种情况通常发生在故障后期，如图1(b)所示。
对于情况1，位移激励函数可以表示为：
对于情况2，位移激励函数可以表示为:
其中是局部缺陷的起始角位置；是局部缺陷范围的角度；是滚动元件与局部缺陷的底部边缘接触的角度；是第个滚动元件在时间通过的角度。上述参数如图2所示。
高保真度缺陷尺寸计算
当轴承外圈存在局部缺陷时，其振动信号将呈现双脉冲现象。因此，一些学者通过分析滚动轴承的时域信号来计算局部缺陷尺寸。图3(a)显示了预白化后的部分振动信号，这些信号是从XJTU-SY轴承数据集中“轴承1_1”的第100个样本中提取的，图3(b)是局部缺陷的几何模型。当球到达A点时，其振动信号显示出“挤压”过程，随后是局部最小点D。然后，球与缺陷边缘失去接触，振动信号到达局部最大点B。最后，球遇到缺陷的右边缘，振动信号从C点显示出高频响应。
高保真度代理模型
高保真度代理模型最初是为了减少大量复杂的数值计算并降低实验成本而提出的。通常，高保真度代理模型由高保真度样本和低保真度样本组成。其中，高保真度样本精度较高，但在实际工程应用中难以获得，信息完整性较低。相反，低保真度样本具有更高的信息完整性，其精度低于高保真度样本，但它们仍然可以表征系统变化的趋势。因此，高保真度代理模型可以校准低保真度样本的精度。
用于动态更新和实时映射的数字孪生模型
数字孪生模型框架
本文提出的数字孪生模型框架包括物理实体、虚拟实体和双实体。在该框架中，物理实体是真实的滚动轴承，其测量的振动信号可以通过布置加速度传感器来收集。经过降噪、去噪等信号预处理，可以得到去噪后的振动信号。因此，可以通过设置不同的缺陷尺寸来生成相应的模拟振动信号的虚拟实体就是建立的滚动轴承局部缺陷扩展的动态模型。然后，提出SAM来动态更新虚拟实体，以使模拟振动信号与去噪振动信号的近似值最大化。当模拟振动信号与全寿命测量振动信号连续近似时，将迭代出可被视为低保真度样本的全寿命模拟缺陷尺寸。进一步，计算高保真度缺陷尺寸，并利用高保真度代理模型校准全生命周期模拟缺陷尺寸。最后，在双实体中，利用BPNN建立全生命周期测量振动信号与全生命周期缺陷尺寸之间的关系，用于从物理实体到虚拟实体的实时映射。所提出的数字孪生模型的总体框架如图4所示，包括以下内容：
(1)虚拟实体建模
根据滚动轴承的失效机理，建立了局部缺陷扩展的动力学模型，得到了模拟的振动信号。所产生的模拟振动信号具有与测量的振动信号相同的故障特征频率。
(2)动态更新
利用预处理获得去噪声的振动信号，该预处理可以减少噪声并从测量的振动信号中去除异常值。然后利用去噪后的振动信号作为SAM的目标来动态更新虚拟实体。通过SAM，可以获得一组完整生命周期的模拟缺陷尺寸，这些尺寸是连续的和低保真度的。
(3)缺陷尺寸校准
通过分析测量的滚动轴承振动信号来计算高保真度缺陷尺寸。然后，可以通过高保真度缺陷尺寸和高保真度代理模型来校准全生命周期模拟的缺陷尺寸。
(4)实时映射
通过BPNN将测量到的振动信号与虚拟实体的全生命周期缺陷大小连接起来，实现从物理实体到虚拟实体的实时映射。
虚拟实体建模
创建正确的虚拟实体对数字孪生起着重要作用。只有正确地构建了虚拟实体模型，才能准确地表征物理实体。基于赫兹接触理论，荷载-变形关系可通过以下公式计算：
其中是赫兹接触力；是接触变形；是载荷变形系数，对于滚珠轴承，；是总接触刚度。滚动轴承中局部缺陷传播的动力学方程可以建立为：
其中是总质量；是阻尼比；是总接触刚度；和分别是方向和方向上的振动加速度；和是振动速度；和是负载组件；第个滚动元件与滚道之间的接触变形可以表示为：
动态更新
由于运行中的轴承无法拆卸来测量缺陷尺寸，因此无法获得全生命周期滚动轴承的缺陷尺寸，导致难以开发传统的滚动轴承数字孪生模型。为了解决这个问题，提出了SAM，使虚拟实体能够有效地描述物理实体的运动行为。它可以不断迭代虚拟实体的参数，使虚拟实体生成的动态响应接近真实的动态响应。当动态响应非常接近真实动态响应时，虚拟实体的参数可以用来表征物理实体的当前运动参数。
然而，传感器采集的测量振动信号往往伴随着噪声，其故障特征往往隐藏在其中。如果直接将测量振动信号用作SAM的目标，虚拟实体的动力学参数将出现较大的波动。在这种情况下，虚拟实体不能准确地反映物理实体的行为。测量振动信号的振幅不平滑会增加SAM的难度，不利于虚拟实体的动态更新。此外，在实际操作条件下，测量的振动信号中会有一些异常值，这将导致SAM迭代出错误的模拟缺陷大小。因此，对测得的振动信号进行预处理是至关重要的。奇异值分解和核回归提供了一种简单有效的降噪和去除异常值的方法。因此，本文选择了这两种方法对测量的振动信号进行预处理。
在使用SAM之前，必须确定评估SAM效果的指标。选择计算简单的峰值作为评估近似效果的指标。SAM如图5所示，过程如下：
(1)将去噪后的振动信号离散为若干组，并计算每组的峰值。
(2)设置初始缺陷尺寸和缺陷步长，然后使用Runge-Kutta方法求解当前缺陷尺寸下的动态响应。通过将模拟动态响应的峰值与进行比较，不断更新虚拟实体的全生命周期模拟缺陷尺寸。
(3)将全生命周期模拟缺陷尺寸输入到虚拟实体中，得到全生命周期仿真振动信号。
缺陷尺寸校准
利用SAM对虚拟实体进行动态更新可以获得一组全生命周期模拟缺陷尺寸，这些尺寸与测量的振动信号以相同的趋势增长。然而，实际轴承的局部缺陷并不像建立的动态模型那样有规律地扩展，导致全生命周期模拟的缺陷尺寸与实际缺陷尺寸相比仍有一定差距。因此，有必要获得滚动轴承的实际缺陷尺寸，以校准模拟的缺陷尺寸。获得实际缺陷尺寸最准确的方法是停止运行的滚动轴承，将其拆卸，然后手动测量缺陷尺寸。然而，在全寿命运行条件下重复停机和拆卸可能对滚动轴承造成重大损坏，导致轴承剩余使用寿命显著缩短。因此，人工测量方法是不可行的。
一些学者开发了一种基于振动信号分析的外圈局部缺陷尺寸计算方法，计算结果完全满足正常轴承的健康监测需求。与直接拆卸轴承进行测量相比，利用该计算方法获得高保真度缺陷尺寸的主要优点是：
(1)该计算方法可以计算轴承生命周期中任何点的缺陷尺寸。
(2)可以在满足精度条件的同时，最大限度地保护滚动轴承。
(3)没有拆卸和停机的全生命周期操作过程更自然、更现实。
实时映射
在本文中，使用BPNN将物理实体的运行状态将实时映射到虚拟实体。所使用的BPNN的结构如图6所示。
在信号包含噪声的情况下，均方根值(RMS)可以有效地描述信号的幅度。因此，选择RMS作为测量振动信号的评价指标。实时映射的实现过程如下：
(1)将去噪后的振动信号离散为若干组，并计算每组信号的均方根值。
(2)根据前两节所述方法获得全生命周期模拟缺陷尺寸和校准缺陷尺寸。
(3)使用作为输入训练BPNN，输出为。
(4)BPNN可以直接从传感器收集的实时测量的振动信号输出映射的和。
数字孪生模型评估
动力学模型验证
通过求解动力学方程可以获得轴承的模拟振动信号，结果如图7所示。在图7(a)中，轴承的加速度响应具有明显的周期性影响。利用希尔伯特变换对信号进行解调，每个频带的包络频谱如图7(b)所示。与试验轴承具有相同理论故障特征频率的包络谱中的信号频带主要分布在108Hz及其倍频上。因此，验证了动态模型在虚拟实体中的有效性。
虚拟实体的动态更新
首先，通过对轴承1_1数据集进行降噪和去噪预处理，可以获得全生命周期的去噪振动信号。随后，SAM可以动态更新虚拟实体，以迭代出全生命周期模拟的振动信号和模拟的缺陷尺寸。SAM的效果如图8和9所示。在图8(a)中，红色的模拟振动信号与蓝色的去噪振动信号几乎一致。在图8(b)中，模拟和去噪振动信号的包络谱都表明，主要故障特征频率为108Hz及其倍频。图8(a)和(b)展示了SAM的卓越性能。图9(a)描述了和的比较，图9(b)说明了计算的误差。可以看出，两个振动信号的峰值几乎一致，这进一步证明了SAM的有效性。
图8 轴承1_1中降噪和模拟振动信号的比较:(a)加速度响应(b)包络谱
图9 轴承1_1中峰值和误差的比较:(a)峰值(b)计算误差
模拟缺陷尺寸的校准
首先，需要计算高保真度缺陷尺寸。值得注意的是，只有当滚动轴承的振动信号出现显著的双脉冲现象时，该计算方法才有效。在Bearing 1_1数据集中，模拟缺陷尺寸从第79分钟开始突然变化。通过分析第79分钟的振动信号，可知在该时刻发生了显著的局部缺陷。因此，在本例中，选择在79分钟后为六个样本计算高保真度缺陷尺寸。其次，使用计算的高保真度缺陷大小和高保真度代理模型来校准全生命周期模拟缺陷尺寸。结果如表1所示，全生命周期校准缺陷尺寸与模拟缺陷尺寸的比较如图10所示。
物理实体到虚拟实体的映射
下一步是利用BPNN将物理实体映射到虚拟实体。仍以Bearing1_1数据集为例，每组样本取第10000到20000个数据点。训练集由大约80%(94个)的样本组成，而验证集由大约20%(29个)的样本构成。图11(a)显示了拟合的效果，图11(b)显示了拟合算法的效果。如图15所示，BPNN能够有效地将测量振动信号的RMS映射到缺陷尺寸。
模拟振动信号和映射缺陷尺寸的评估
图12显示了模拟振动信号和去噪振动信号之间的比较结果，图12(a)描述了峰值，而图12(b)说明了计算误差。从图12(b)可以看出，MAE为0.1673，MSE为0.2036，RMSE为0.4512。模拟的振动信号与去噪后的振动信号匹配良好，峰值误差较小，可以证明新数字孪生模型的有效性。
接下来，利用计算的高保真度缺陷尺寸来评估映射的校准缺陷尺寸的精度。计算100分钟后6组样本的，并计算和两者之间的确定系数。结果为0.911，表明新数字孪生模型映射的缺陷尺寸和高保真度缺陷尺寸具有相同的增长趋势和较小的数值差异，如图13所示。
与传统数字孪生模型的比较
为了更好地证明新的数字孪生模型的优越性，与传统的数字孪生模型进行比较。传统数字孪生模型峰值如图14(a)所示，计算的误差如图14(b)所示。可以看出，MAE为1.7739，MSE为4.3844，RMSE为2.0939。与图12(b)相比，我们可以看到，全新的数字孪生模型的误差比传统的小得多，表明本文中的新数字孪生模型更好。
讨论与未来工作
本文提出了一种新的滚动轴承健康管理数字孪生模型。在这项工作中，我们用XJTU-SY轴承数据集评估了新的数字孪生模型。结果表明，模拟振动信号与去噪振动信号一致。并计算了峰值的误差：MAE为0.1673，MSE为0.2036，RMSE为0.4512。
良好的预测结果和较小的误差表明，新的数字孪生模型可以更有效地获得振动信号。我们还利用数字孪生模型映射的校准缺陷尺寸与计算的高保真度缺陷尺寸进行了比较，它们之间的为0.911。结果表明，它们具有相同的扩展趋势，误差较小。如结果所示，虚拟实体与物理实体具有相似的故障特征和变化发展，表明可以准确地描述滚动轴承局部缺陷扩展的全生命周期过程。此外，我们还将新的数字孪生模型与传统的数字孪生模型进行了比较。传统数字孪生模型的误差分别为：MAE为1.7739、MSE为4.3844、RMSE为2.0939。比较结果表明，新的数字孪生模型的误差较小，表明本文提出的数字孪生模型是更好的。
然而，这种新颖的数字孪生模型仍有一些局限性。首先，该模型仅基于滚动轴承外圈的局部缺陷，不适用于其他部件(内圈、滚动元件、保持架)的故障。其次，我们在理想的情况下讨论滚动轴承的局部缺陷扩展，这意味着只有外圈发生故障，并且缺陷被视为具有恒定深度、宽度和扩展长度的立方体。此外，建模需要滚动轴承的全生命周期振动信号，在实际运行条件下可能难以获得。这是因为轴承外圈并非只有一个局部缺陷。在实际运行条件下，滚动轴承往往会出现多种类型、位置和程度的混合故障，轴承的健康运行时间远长于其故障时间。因此，在建立更完整的滚动轴承数字孪生模型方面仍然存在一些挑战。
在未来的工作中，应首先考虑不同失效位置(内圈、滚动元件、保持架)的扩展。然后，应通过数字孪生模型识别和估计多种失效类型(磨损、点蚀、剥落)的扩展。最后也是最重要的挑战是使用数字孪生模型来预测轴承的剩余使用寿命。
结论
为了更好地管理滚动轴承的健康状况，本文提出了一种全新的数字孪生模型，用于滚动轴承局部缺陷扩展的动态更新和实时映射。首先，建立了滚动轴承局部缺陷扩展的动力学模型，用于生成模拟振动信号。其次，提出SAM来动态更新数字孪生模型的虚拟实体，并获得全生命周期模拟的缺陷大小。然后，利用计算的高保真度缺陷尺寸和高保真度代理模型来校准全生命周期模拟缺陷尺寸。进一步，利用BPNN建立物理实体和虚拟实体之间的映射关系。最后，应用XJTU-SY轴承数据集对新型数字孪生模型的有效性进行了评估。结果表明，模拟和测量的振动信号峰值之间的MSE为0.204，映射的缺陷尺寸和高保真度缺陷尺寸之间的为0.911，这说明了全新数字孪生模型的有效性。
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