编者按
本次推文将继续解读近期发表在Naval Research Logistics中的Optimization modeling for pandemic vaccine supply chain management: A review and future research opportunities一文。本次推文主要聚焦疫苗分配场景中有关公平性与可持续发展目标的考虑，以及对相关优化方法的总结与反思。
参考文献：Dey, S., Kurbanzade, A. K., Gel, E. S., Mihaljevic, J., & Mehrotra, S. (2024). Optimization modeling for pandemic vaccine supply chain management: A review and future research opportunities. Naval Research Logistics, 1–41.
1. 公平、可持续与多目标建模
1.1 公平考量
在公共卫生决策中，公平扮演着重要角色。大量论文在COVID-19背景下研究了这一问题。通过将公平纳入目标函数和/或约束条件，可以将其集成到决策模型中。在COVID-19文献中，主要从两个维度来考察公平：基于优先群体或基于地理位置或两者兼而有之。优先群体的公平涉及在不同亚群中公平分配疫苗，同时考虑到风险、年龄、职业和其他人口特征等因素。这种做法确保具有较高脆弱性或重要作用的个人能够公平获得疫苗。基于地理位置的公平旨在确保疫苗在不同地理位置公平分配。决策者考虑人口密度、卫生保健基础设施和疾病流行等因素，以实现疫苗的公平分配。
常用的表征公平的方法有：公平需求满意度与偏离公平覆盖水平等，并使用公平框架（例如，社会福利，纳什，罗尔斯正义）。例如，Tavana等(2021)，Rastegar等(2021)以及Shiri和Ahmadizar(2022)使用(44)和(45)以需求满足的形式对公平进行建模:
Balcik等(2022)利用(46)和(47)基于实际分配与公平量化的偏差，纳入了不同地区和优先群体的公平要求。对于需求的负偏差(式(46)的第一项)，通过使用惩罚项来调整。
1.2 可持续目标
以可持续发展为重点的模型考虑了环境成本和社会效益，目的是最大限度地减少碳排放并遵守碳排放预算。环境成本的量化通常涉及测量卡车使用、库存持有以及废物产生或处置等活动的碳排放量。另一方面，社会成本的评估是通过考虑疫苗接种的等待时间、工作场所的传播风险、尽量减少未满足的需求、缩短交货时间和人员平衡等因素来评估的。同时，社会效益以创造就业机会的形式出现。(48)式给出了一个例子用于减少疫苗运输过程中的碳排放。
1.3 多目标建模
公平、可持续性和经济目标经常发生冲突。一些论文考虑了资源分配中相互冲突的多个目标函数。例如，(48)式的两个目标是相互矛盾的，因为为了防止疫苗短缺，应该运送更多的疫苗，并应该设置更多的设施。在Mohammadi等(2022)的双目标优化模型中，死亡和成本最小化也是相互冲突的。为了处理模型目标间的冲突，许多文献都采用了𝜀−约束的方法，将多目标转化为单目标。
2. 整合流行病学发展动态的建模
流行病学模型有一组微分方程组所表示，通常用于模拟传染病的发展趋势，它为制定疫苗分配政策提供重要依据。下图展示了Bertsimas等(2022)提出的流行病模型的结构，他们将该模型命名为DELPHI-V仓室模型。
2.1 将SIR模型嵌入优化模型中
为将仓室模型嵌入到优化模型中，需要将微分方程组进行离散化。式(57)至(61)代表了一个基于流行病学模型的优化框架，从时间和空间两个角度来分配疫苗。关键决策变量与疫苗供应链管理有关，而与每个地区每个时间段每个仓室的人数有关（见(59)至(61)）。相关约束包括疫苗分发限制，离散形式的微分方程等。
2.2 基于SIR动态的疫苗推广政策评估
Hu等(2023)提出了一种疫苗分配模型，该模型的动机是在供应短缺的情况下，通过将每个完整疫苗剂量分成两剂，对一部分人口进行部分疫苗接种与对另一部分人口进行完全疫苗接种之间的权衡。他们的工作考虑了一个具有两个接种疫苗仓室的SIR模型，其中包含部分剂量和全剂量的个体。Mak等(2022)利用SEIR模型动态评估了疫苗推广政策，如保留、释放和单剂量优先策略，重点关注有症状病例、住院和死亡的病例。
3. 方法论考量与案例研究
COVID-19疫苗供应链管理的研究多使用商业求解器解决模型。疫情爆发后，学者们将更多现实特征融入模型，并对变量赋予更深的代表意义。本节列举了基于分解的全局优化方法、基于分解的启发式方法、其他启发式方法和元启发式方法、非线性优化方法和多目标优化算法。
3.1 分解和全局优化方法
该方法通过赋定义好的值给最优性差距保证解的质量。Azadi等（2020）使用L-型方法解决两阶段问题；Zhang等（2022）利用基于逻辑的Bender分解选址分配和预约调度决策；王等 (2023) 使用column-and-cut generation算法来解决其两阶段鲁棒优化问题，这种方法避免了传统的 Big-M 方法；Enayati 等（2020) 使用多参数分解技术来解决双线性问题。除了代表每个双线性项的变量之外，此方法还为每个双线性项引入了两组新变量（连续变量和二元变量），这些代表性变量被表示为具有变化参数作为系数的一组连续变量的总和。
3.2 基于分解的启发式方法
尽管该方法无法像全局优化方法那样有效地保证解的质量，但在特定问题和分解类型的情况下，仍能产生较好的解。Lai 等（2021）使用基于 Benders 分解的启发式方法求解两阶段随机模型，通过求解混合整数线性子问题的 LP 松弛，生成最优性切割。一旦达到设定的最优性差距，第二阶段的分数解会向上舍入，获得启发式解的整数部分。Georgiadis 等（2021）将疫苗供应链中制造商到接种中心（VC）的分配视为子问题。他们首先将 VC 分配给邻近中心，然后通过在现有政治边界内对 VC 进行聚类来简化模型，并用聚合参数求解更小的中心-VC 分配问题。通过将二元变量固定为已知值，原本的大规模 MILP 子问题被简化为 LP，显著减少了计算量。
Yang等（2021）提出了一种启发式分解方法，通过分层聚类将主网络分解为可处理 MILP 问题的子网络，并在聚合其他子网络时固定部分枢纽决策，根据节点位置调整决策。Karakaya 和 Balcik（2023）则提出了一种基于优先组的聚合算法，针对优先组的疫苗接种时间表，在每轮迭代中同时处理最高优先组和其他组，通过调整最小覆盖阈值避免因高需求导致的延迟，并提供应对疫苗副作用等意外情况的时间表调整建议。
3.3 其他启发式和元启发式方法
启发式算法是针对特定问题的策略，通常用于寻找可扩展的解决方案，但没有性能保证，有时结果质量较差。相比之下，元启发式算法通常能获得更好的解，但计算量更大。COVID-19疫情期间，地方政府常用的启发式算法是按人口比例平分疫苗。Orgut 等（2023）提出的疫苗分配启发式算法，根据容量需求比从低到高分配疫苗，逐步调整并满足各区域需求。Li 和 Aprahamian（2023）提出的贪婪算法按风险值和接种后死亡率降低值排序接种对象，虽然在单周期内有效，但在多周期下可能远离最优解。Enayati 等（2023）通过深度优先搜索构建可行路径网络，并利用启发式算法减少网络规模，降低计算成本。Zhang 等（2022）提出了一种元启发式方法，通过启发式排序策略解决NP难的调度子问题，从而简化原始MILP模型。
3.4 非线性优化方法
Cabezas 等（2021）提出了一种两阶段随机设施选址模型，采用加速对偶上升（ADA）算法。该算法首先使用子梯度法解决拉格朗日对偶问题，然后利用对偶上升法和启发式方法解决半拉格朗日对偶问题。Bertsimas 等（2020, 2022）使用迭代坐标下降法解决基于流行病学动态的双线性模型，一次更新一个变量。Li 和 Aprahamian（2023）也采用了类似的方法，在多个时间段内交替处理分配变量和风险项。Barth 等（2023）利用序列二次规划（SQP）解决了一个离散化的连续时间模型，该模型涉及双线性和时间相关的非线性。上述非线性优化方法通常会收敛到局部解，通过尝试不同的初始条件可以提升解的质量。
3.5 算例研究洞察
文献中既有使用合成数据进行算例分析的研究，也有利用真实数据进行分析的研究。这些研究要么提供了对特定国家疫苗供应链的理论视角，要么基于具体地区进行数据驱动的分析。算例研究还突出了最优分配政策的重要性。敏感性分析通常针对关键参数进行，例如设施数量预算、成本预算、疫苗可用性、供应商/DC/VC 能力、医护人员服务率、最低覆盖阈值、最低服务比率、成本系数以及参数定义的不确定性或模糊性等。
4. 讨论
4.1 大流行疫苗供应链的独特挑战
疫苗供应链管理需要解决几个关键问题。首先，对于需要超低温存储的疫苗，必须进行冷链管理。其次，需制定灵活的分配策略，以应对制造地点有限和疫情模式不可预测的问题。第三，复杂的库存管理考虑到疫苗剂量政策、瓶装规格、瓶存储期限、开瓶存储期限、浪费以及专门医护人员的需求。此外，供应链应在公平与效率之间保持平衡，同时应对疫苗犹豫和优先群体。将疫苗扩展到偏远地区还面临挑战，尽管无人机配送有所帮助，但无法完全解决医护人员短缺的问题。最后，需求纳入分配模型至关重要，需要考虑疫苗偏好和流行病学动态。
4.2 文献中的暂时性趋向
文献显示，疫情初期的模型类似于传统供应链模型，但强调冷链管理。随着疫情进展，真实案例研究增多，模型变得更加现实，考虑了不确定性和流行病学动态。后期研究关注疫苗部署的公平性、效率以及疫苗效力和疫苗犹豫问题，并着重人类行为和疫苗对变异株的表现。尽管进展显著，但仍需解决优先接种策略、疫苗特性、人口流动和医疗可及性等问题。结合流行病学动态和现实行为的疫苗分配模型对公共卫生决策至关重要，优化模型在不同地理区域间资源共享和环境适应方面也具有重要价值。
4.3 模型选择的观点
选址和开设决策模型应纳入实际因素，因为这些战略性决策难以更改，并需高质量解决方案。操作层面应关注提升难以覆盖区域的疫苗覆盖率和增强脆弱供应链。此外，考虑流行病学动态的模型应优化资源分配，并涵盖疫苗可用性、隔离和封锁措施等因素。虽然这类模型可能计算复杂，但仍是理想选择。模型需谨慎开发，确保易于实施，同时避免基于不可靠数据的建议偏离现实。疫苗供应链还受文化和社会因素影响，这些因素难以在模型中量化。选择的解决方案应确保质量和针对性，避免投入过大于收益。
5. 对未来研究方向的总结
流行病疫苗供应链可以分为三个阶段：阶段1代表疫苗开发后的初期，此时疫苗供应与接种需求之间存在显著差距。阶段2期间疫苗供应增加，满足了大部分需求，但仍未能完全覆盖。阶段3定义了疫苗供应与需求匹配甚至超出的状态。目前流行病疫苗部署的相关文献，主要集中在与阶段2相关的问题。在一章节，作者就模型和解决方法的研究方向提出一些结论性意见。
5.1 考虑流行病学动态性的模型
传统上，疫苗分配模型中将易感人群的估计数量视为需求。然而，有多种因素会影响随时间推移易感染人群的规模。因此，决策模型必须有效地结合流行病学动态模型，以估算不同地区在经历疫情的不同阶段时对疫苗的需求量。
尽管已有多篇论文将分区流行病学模型纳入疫苗分配模型中，现有研究仍然存在许多局限性。此外，病毒不断演变的特性对包含流行病学动态的模型的准确性提出了挑战。使用多种预测模型来应对这种不确定性是很有必要的，不过当前研究缺乏一种将这些模型整合到优化算法中的统一方法。此外，在疫情的动态环境中，值得探讨的是，预测和优化是否应在决策框架中顺序执行或并行执行。
5.2 其他考虑因素
疫苗供应链的建模仍有很多探索空间。目前疫苗接种并不能在不同风险类别的各个亚群体中统一降低感染和死亡风险，且基于需求或覆盖率的公平性指标不够充分。作者建议在探讨疫苗推广策略时，要考虑接触率、感染高峰、距离、区域收入等多种因素。
目前基于离散情景的两阶段随机规划无法解决大流行期间的多个感染高峰的情况。多阶段随机规划可以更准确地捕捉流行病学动态，但计算负担更重。随着时间的推移。挑战在于设计有效的替代方案，并严格评估其性能。
最后，进一步发展模型验证方法对于评估疫苗供应链网络对感染动态快速变化的适应性至关重要。定义在初始疫苗阶段中分配有限疫苗供应的标准，需要系统性分析，同时考虑到医疗可及性、健康的社会决定因素、人类行为、流动性和非药物干预措施的遵守情况等。
5.3 解决方法
大多数研究直接采用了类似文献中的解决方法，但遗憾的是，这阻碍了配备实用功能的综合模型的发展。为了解决这一空白，OR/MS社区需要创新有效的解决策略，利用问题结构中的内在特性，分解技术和与模型简化技术同步的有效不等式，并利用组合启发式算法来解决具有大型网络结构的现实问题。
6. 其他文献参考
作者回顾了一些非数学优化模型的论文，这些论文采用仿真方法来支持疫苗管理中的决策，使用描述性统计、观察或其他相关方法来识别和概念化关键步骤。通常，这些研究通过使用仿真模型测试不同的情景，并通过观察所识别的KPI趋势，为公共卫生当局提供管理意见。
仿真模型主要探讨了以下几个方面：
优先排序：许多文章分析了由于疫苗在早期阶段的短缺而对各亚群体进行优先排序接种疫苗的问题。最常见的KPI是在不同的优先排序方案下，如按年龄组、职业或感染风险/免疫力，研究的感染人数、住院人数和死亡率。这类仿真模型为COVID-19疫苗部署提供了宝贵见解：如优先为老年人接种以最大限度减少死亡，优先为年轻和工作人群接种以减少传播。 管理多种疫苗：Kim等（2021）的研究表明如果一种初始有效性较低的疫苗能够快速被广泛接种，那么它的效果将与一种初始有效性较高但分发速度较慢的疫苗相同。Shim（2021）的研究表明，在疫苗供应稀缺的情况下，为减少死亡率，应将有效性较低的COVID-19疫苗给年轻人，而将有效性较高的疫苗给老年人。 疫苗库存管理：疫苗瓶的大小、剂量和目标接种人群是影响疫苗库存管理的主要因素。Assi等（2011, 2012）构建了一个离散事件模拟模型，将每种疫苗及其存储位置、冰柜和运输设备建模为一个实体，以研究疫苗瓶大小、接种周期时长和目标接种人群对供应链瓶颈的影响。
除此，其他探讨方向还包括：
疫苗犹豫：疫苗犹豫是疫苗接种的主要障碍之一，通常通过调查来量化。Bogart等（2021）在感染HIV的非裔美国人中进行了一项关于COVID-19疫苗犹豫的问卷调查，发现超过一半的参与者持有至少一种COVID-19治疗或疫苗接种的犹豫立场。Silva等（2021）在一所大学校园内进行了比较问卷调查，以量化大学生对COVID-19及流感疫苗的犹豫。结果显示，如果疫苗被证明既安全又有效，大学生通常愿意接种疫苗。Sallam（2021）回顾了疫苗犹豫的调查，并为每个国家得出了疫苗犹豫的百分比。Troiano和Nardi（2021）进行了一项叙述性综述，以探寻COVID-19背景下疫苗犹豫的潜在因素，如年龄、性别、种族、信仰、教育、工作状况。最后，Hegde等（2023）提出了一个具有两种不同操作模式的框架，第一种模式下检验系统接种疫苗的能力，第二种模式下评估疫苗犹豫对通过率的影响。 废物管理：大规模的COVID-19疫苗接种大幅增加了医疗废物。典型的废物包括疫苗瓶、针头、注射器和塑料疫苗接种设备。Hasija等（2022）分类了疫苗废物的类型，并提供了废物管理和处理的指南。
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