4.9.1 质量守恒
本节介绍了质量守恒原理及其在连续介质力学中的应用。讨论基于一个简单的事实：物体的质量由其各部分的质量总和决定。如前所述，我们关注的是一个不与周围环境交换物质的物体。令
当在参考构型下表达时，可以写成：
其中Ω
图 4.9 示意图显示了时间
用于描述有限域的平衡定律，可以转化为在每个物质点上都有效的场方程。首先，我们关注方程(4.157)，该方程表达了参考构型中质量随时间变化的速率。在这个方程中，域Ω0不随时间变化，因此我们可以将时间导数运算符移到积分号内部：
这个方程对于Ω0的任意子域也必须有效，因此为了使方程始终成立，积分必须恒等于零。因此，
这是参考构型中质量浓度的场方程。类似地，可以从方程(4.156)推导出当前（空间）构型中的质量守恒方程。在这种情况下，体积分是随时间变化的Ωc。因此，我们不能直接将时间导数运算符移到积分号内部。为了简化方程，我们首先进行变量替换，将积分转换回参考构型。具体而言，根据方程(4.9)和(4.79)，我们选择变量替换，得到
，积分域从Ωc转换为Ω0：
我们现在可以将时间导数运算符移到积分号内部：
由于这个方程对于Ω0的任意子域也必须有效，因此积分项必须恒等于零，从而得到有用的方程：
质量守恒的场方程在当前构型下可以通过应用分部积分法则从方程(4.161)中获得：
通过应用反向变量替换，，这个方程可以转换回当前构型：
从方程(4.135)我们知道，由此得到质量守恒的场方程为：
从方程(4.158)和(4.161)我们还得到一个有趣的结果：
总结起来，平衡方程表达了体积中包含的物理量的时间导数，用于描述其通过边界的通量以及广延量的内源。在这种情况下，常见的固体，我们限制了对封闭系统的关注，质量无法通过边界传递，因此质量通量为零。而在研究流体时，使用开放系统则更为方便，在这种系统中，物质可以通过区域的边界进出。
