《Mechanics of Solid Polymers》4.11本构方程

文摘   2024-12-06 08:41   江苏  
4.11 本构方程
      本构方程(有时也称为材料模型或本构模型)是描述材料行为的关系式,例如,对于给定应变、热传递或温度梯度的应力响应。本构方程是区分不同材料响应的关键。本章前面介绍的所有内容对所有材料都适用。接下来,我们将讨论如何利用连续介质力学框架来推导材料的本构方程。        
       本节将介绍所有本构方程需要满足的一些普遍关系。本书后续章节将演示如何利用这些结果开发特定的材料模型,如聚合物等。可以开发和使用不同类别的本构模型。最简单的弹性模型基于仅依赖于施加变形的应力函数:
在这个方程中,我们表示柯西应力σ̂(F)是变形梯度的函数。注意,这个和其他本构模型同样可以用其他应力度量表示,例如:
       为简单起见,我们在接下来的讨论中主要关注柯西应力及其导数。
作为本构方程的第二个例子,考虑一种更常见的聚合物材料,其特征是具有速率依赖响应(即,具有轻微历史记忆的材料)。对于这种材料,应力可能不仅依赖于当前变形状态(F),还依赖于变形速率():

       一般来说,为了描述一种受到热力和机械载荷的材料的响应,需要指定应力(σ)、内能(e)、热流(q)和熵(η)如何依赖于施加的场。为了完全了解材料的状态,需要在每一点知道以下场变量:

• 速度 v
• 应力张量 σ
• 质量密度 ρ
• 单位当前体积的内能 ec
• 温度 θ
• 热流矢量 q
• 熵 η

总的来说,利用σ的对称性,共有16个未知场变量需要确定。需要以下方程来求解这些场变量:

控制场方程方程数量
质量守恒1
线性动量守恒3
角动量守恒0(已使用)
热力学第一定律1
热力学第二定律0(仅为不等式)
总计5个方程

由于只有5个控制场方程而有16个未知场变量,因此需要更多的方程。缺失的方程是本构方程,它们将提供以下关系:


本构方程方程数量
应力 σ(·)6
内能 ec(·)1
单位体积热流 q(·)3
单位体积熵 ηc(·)1
总计11个方程

       综上所述,将本构方程与场方程结合,我们得到16个控制方程来求解16个未知场变量。

       如前所述,有许多不同类型的本构方程可用于描述固体材料的行为。其中一种最基本的方法是将材料建模为热弹性的,并指定依赖于变形梯度(F)、温度(θc)和温度梯度(grad θc)的本构方程。这种情况将在下一节中详细讨论。

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