4.6 应变、拉伸和旋转
根据极分解定理 [2, 10]，已知任何一般变形都可以唯一地分解为旋转加上拉伸成分，或者拉伸成分加上旋转：
其中：
F 是变形梯度，
R 是旋转张量，它是正交的 (R-1 = RT) 并且保持体积不变 (det R = 1)，
U是右拉伸张量，它是正定和对称的 (U = UT)，
v 是左拉伸张量，它是正定和对称的 (v = VT)。
请注意，如果U = v = I，则F =R 是刚体旋转。同样，如果R =I，则F =U =v 是纯拉伸。根据公式 (4.96)，我们知道右拉伸张量U是对称的，因此可以用谱表示法表示为：
在这个公式中，λi 是主伸长量，Ni 是张量U 的对应特征向量。同样，左伸长张量可以表示为：
需要注意的是，U 和v 具有相同的主伸长量，但主方向（基向量）不同，因为它们在不同的参考系中表达。通过求解方程 (4.96) 中的v，可以将v 的特征向量与U 的特征向量相关联：
因此，U 和v 的特征向量通过以下方式相关联：
变形梯度也可以通过光谱形式表示为F =RU，得到：
这与方程 (4.86) 中呈现的结果相同。由于F的基向量包含了 ill 和 Ni，因此F被称为双点张量。旋转张量R可以写成：
因此
根据极分解，F可以定义出许多其他重要且有用的张量：
C=FTF 是右Cauchy-Green张量。由于F =R U，我们得到
C =UTRTR U =U2。因此，C 也可以写成：
b=F FT 是左Cauchy-Green张量。根据公式(4.96)，张量b 也可以写成：
也可以写成
示例：如何计算张量的极分解
计算张量F =R U 的极分解的最简单方法之一是利用C =FTF =U2 这一关系。这使得U 可以通过来确定。进行平方根运算的一种方法是通过计算U2 的特征值和特征向量，将U2 写成其谱表示形式：
张量 U 可以通过以下步骤计算：
一旦U确定后，就可以通过下式计算旋转张量R：
和v
例子：确定拉伸和旋转情况下的变形梯度
考虑一个变形过程，该过程分两步进行：首先，材料沿着一方向拉伸两倍，然后绕着法方向旋转45°，如下面的图所示。
步骤1：拉伸
初始配置
设材料的伸长率为：
假定右伸长张量
旋转后分量可表示为：
旋转张量即为：
在这种情况下，θ=45°，即可计算的变形梯度F=RU：
示例：针对拉伸和旋转情况形变梯度的数值计算
极分解可以通过高级数学软件或语言直接计算，例如 Matlab [13]、Mathematica [14] 和 Python [15] 都是合适的工具。本书中的许多示例都是基于 Python 以及 NumPy 和 SciPy。这些工具非常成熟、强大且免费，是进行数值计算的绝佳选择。在本示例中，我们将从方程 (4.116) 中的变形梯度开始，然后计算U 和R 张量。下面是进行该计算的 Python 代码。
根据定义，材料点的应变不应受到刚体旋转的影响。这意味着应变张量不能直接依赖于变形梯度F，因为F也取决于旋转。相反，应变张量必须依赖于右或左伸长张量。如果使用右伸长张量（U）定义应变，那么应变将表示在参考配置中；如果使用左伸长张量（v），则应变将表示在当前配置中。参考配置中的应变张量通常可以表示为U的函数：
这个张量依赖性可以通过谱表示法来表达：
其中f (λi)是主伸长的标量函数。因此，E将与U共轴(具有相同的基向量)，但具有不同的特征值。函数f(λi)需要满足三个条件才能使E成为有效的应变张量：
在未变形状态下，应变必须为零，因此f(1) = 0。
在小变形情况下，应变应等于经典应变（定义见4.2节），因此f'(1) = 1。
应变必须随施加的变形单调增加，即f(λ)必须随着λ的增加而单调增加。
以下是在参考配置中常用的应变度量，这些应变也被称为拉格朗日应变。
Green-Lagrange，对应的公式为：
也可写作
Hencky应变（也称为真应变或对数应变），对应的公式为
f (λi) = Inλi ：
Biot比奥应变，对应的公式为：f (λi) = λi − 1
Almansi 阿尔曼西应变，对应的公式为：f (λi) = 1/2(1 − λi−2 )：
也可以在当前（空间）配置中表示应变：
其光谱表示形式为：
以下是在当前配置中常用的应变度量，这些应变也被称为欧拉应变。
nominal名义应变，对应于
𝜀 亨克应变（也称为真应变或对数应变），对应于 𝜖 Almansi 阿尔曼西应变，对应的公式为：f (λi) = 1/2(1 − λi−2 )：
注意：大多数有限元程序，例如 Abaqus 和 ANSYS，可以创建欧拉名义（工程）应变和欧拉对数（真）应变的云图。这些应变通常分别简单地称为“工程应变”和“真应变”。
