4.4.5 坐标变换
在聚合物力学分析中，经常需要进行坐标变换。为了说明如何执行这些变换，我们将考虑两个由旋转矩阵 Q 关联的坐标系。
其中，Q 是一个正交张量。现在考虑 Q 的一个分量：
因此，Q 的每个分量由相应单位向量的点积给出。由于任意向量都可以写成，我们可以看到坐标变换意味着向量的变换：
类似地，如将在第 4.12 节中所示，二阶张量的变换如下：
其中 Qij等于基向量 e'i 和 ei 之间的余弦值。
4.4.6 不变量
张量的不变量对于许多聚合物力学本构理论非常重要。二阶张量有三个不变量，与特征值相关，定义如下：
也可以写成
这个方程只有在有满足以下条件时才有非平凡解：
这个关于 λi 的三次多项式称为特征多项式。标量值I1, I2, 和 I3 是张量A的主要不变量，由以下方程给出：
正如将在第5章讨论的那样，变形梯度的不变量被用于制定超弹性本构模型。什么是变形梯度以及如何使用它将是下一节的主题。
