线性代数学与练第23讲 ： 线性空间相关的基本概念

线性空间是二维、三维几何空间及 维向量空间的进一步推广。向量空间对于向量集合的研究在代数处理上提供了一种非常有效的手段，但是，现实中很多研究对象的表示并不只限于向量，线性空间就是为了解决实际问题而引入的将线性代数知识从理论走向实际应用的重要桥梁。线性空间是在不考虑集合的对象，抽去它们的具体内容来研究规定了加法与数乘的集合的公共性质，因此，线性空间具有高度的抽象性和应用的广泛性，也使得对向量的研究具有更广泛的意义.

本讲在对集合的对象和相应的线性运算进行拓展的基础上，首先给出了线性空间的定义与性质，然后拓展研究了线性空间的基、维数、坐标，并借助典型问题进一步拓展了内积和标准正交基的概念. 学习与研究本讲内容的过程中要注意深入理解各个基本概念及其相互之间的联系, 养成从定义出发进行严格推理和拓广应用的思维习惯.

一、线性空间的定义与性质

定义1 设 是一非空集合， 是一个数域。如果在集合 的元素之间定义了一个加法 " + " 的运算，在数域 和集合 的元素之间定义了一个数乘运算，如果对于任意 ，都有 ，并且加法与数乘运算满足如下八条运算规则:对 ，有

(1) 交换律: ；

(2) 结合律: ；

(3) 存在零元 0 ：对一切 ，有 ；

(4) 存在负元：即对任意 ，存在 ；

(5) 存在 ，使得 ；

(6) 数乘结合律: ；

(7) 第一分配律： ；

(8) 第二分配律: ，

则称 关于上述运算构成数域 上的线性空间(或者具有更一般意义的向量空间). 上述满足八条运算律的两种运算（加法、乘法）统称为线性运算，凡定义了线性运算的集合就称为线性空间。线性空间 中的元素称为向量. 为实（复）数域时，称 为实（复）线性空间.  在没特殊说明的情况下，线性代数中讨论的一般都是实线性空间.

【注】：(1) 线性空间的向量不一定是有序数组了，可以是数、向量、矩阵、多项式、函数等，但一般都简称为向量. 这也是这里讨论线性空间（向量空间）与前面讨论的向量空间的主要区别。

例如，向量空间 是线性空间. 集合

它的元素是 阶实矩阵，它关于通常意义下的矩阵加法和数乘构成实数域 上的线性空间，称为实矩阵空间。

同样，次数不超过正整数 的关于 的一切多项式构成的集合

它的元素是多项式，它关于通常意义下的多项式加法和数乘构成实数域 上的线性空间，称为多项式空间。

数域 它的元素是数，它按照数的加法与乘法也构成数域 上的线性空间；所以实数域 ，复数域 按照数的加法与乘法都构成相应数域上的线性空间.

(2) 线性空间的抽象性不仅体现在元素上，其中的加法与数乘未必就是我们所熟悉的向量、矩阵、函数、多项式等的加法与数乘运算，之所以这样称呼，是因为所规定的这两种运算满足通常的加法与数乘运算所具有的运算规律. 在同一个非空集合和数域上按不同的规则来定义这两种运算，所构成的线性空间是不同的.

例 1 判断 定义如下加法 和数乘 运算是否构成实线性空间?

【解】：要验证或者判断一个非空集合是否为线性空间，除了需要检验其元素对所定义的乘法与数乘时封闭的之外，还需要逐一验证这两种运算是哦否满足八条运算规律；而要否定一个非空集合是线性空间，只要说明两个封闭性及八条运算律中有一个不成立即可.

由加法 和数乘 运算的定义直接可以看到， 两种运算是封闭的，并且关于加法 满足交换律和结合律。下面验证：对任何 及 ，满足线性空间的其余六条运算规律:

零元素为 的负元素为

因此 按照加法 和数乘 运算构成实线性空间.

(3) 线性空间定义中涉及到数域，当取不同的数域时，线性空间的定义形式上并不会发生改变，但该线性空间中的一些性质，如后面要讨论的线性相关性、维数等，一般可能会发生变化。

根据线性空间的定义，线性空间具有如下简单性质:

性质1 线性空间中，零元素是唯一的；给定元素 ，它的负元是唯一的，一般记为 .

【证明】：设 也是零元，则

故零元唯一。若 都是 的负元，则

于是

所以线性空间中一个元素的零元是唯一的.

性质2 设 是 中的零元， ，则对任意 ，

(1) .

(2) 若有 ，则有 或 ；当 ，则

二、线性子空间

定义 2  设 是数域 上的线性空间， 是 的一个非空子集，如果 关于 的加法和数乘运算也构成数域 上的线性空间，则称 是 的线性子空间，简称子空间.

例如，

与 关于向量的加法和数乘都是线性空间，此时可称 是 的线性子空间.

【注】：对于线性空间 ，仅含零元素的集合 以及 本身都是 的子空间，称为平凡子空间；其他的子空间称为非平凡子空间。

定理 设 是数域 上的线性空间， 是 的一个非空子集， 是 的线性子空间的充要条件是对于任意 ，满足

【证明】： 非空，且

【证明】: 因 ，故 . 又 ，因此 ，故满足线性空间的定义，所以 不是 的子空间.

例 4 设 ， 记

则 是 的子空间.

【证明】：任取 ，即

则由向量的加法与数乘运算，得

所以 是 的子空间.

【注】：一般地，设 是线性空间， ，则

是 的子空间，称为由 生成的子空间. 比如 阶矩阵的列（行）向量组生成矩阵的列（行）空间。它们都是 的子空间。

例 5 设 是线性空间， 是 的两个子空间，证明 是 的子空间:

(1) 子空间的交:

(2) 子空间的和:

【证明】：(1) 显然 非空. 设 ，则

由于 是 的子空间，故

因此 .

(2) 显然 非空. 设

其中 ，由于 是 的子空间，所以有

同理 ，即 是 的子空间.

【注】：两个子空间的并一般不能构成子空间.  例如平面上两坐标轴的并就不是子空间.

定义3 设 是 的一个子空间，如果对于任意的 ，对于定义的内积 运算，都有 ，就称 与 正交, 记作 。并把 中所有与 正交的全部向量所构成的集合

称为 的正交补，记作 。

【注】：正交补也是 的一个子空间.

例如， 的解空间是由与 的行向量都正交的全部向量构成的，因此解空间是 的行空间的正交补。这是 解空间的一个基本性质。

定义 4 设 是 的两个子空间，如果对于定义的内积 运算，任给 ， ，都有 ，就称 与 正交，记作 。

三、线性空间的基、维数与坐标

对于向量空间中的线性组合、线性相关、线性无关、极大无关组、基等概念，只要涉及到加法与数乘运算的概念可以直接推广到线性空间里面来. 如果线性空间取为向量空间，或者说我们的研究对象是 维向量空间 ，则线性空间的所有的这些概念就是向量空间的概念，所以在描述形式上它们是一致的。

例如，对于实矩阵空间 ，取

则当且仅当 ，有

故 线性无关. 对任意 ，有

即 可由 线性表示.

例 6 证明：函数组 是线性无关的，其中 是互不相同的实数，线性空间定义为：连续函数全体按函数的加法和数与函数的乘法是 上线性空间.

【证明】：设有 ，对等式两端依次求导 次，得关于未知量 的线性方程组

该齐次线性方程组的系数构成的行列式为

各列提出一个指数函数公因式 ，得

结果中的行列式为范德蒙行列式，由于 是互不相同的实数，故行列式不等于零，又指数函数大于 0 ，所以 ，也即齐次线性方程组只有零解，故函数组 线性无关.

定义 5 设 是线性空间，如果存在 ，使得

(1) 线性无关;

(2) 对任意 能表示成 的线性组合，

则称 为 的基， 为 的维数（或者称 是 维线性空间），记为 。

【注】线性空间的维数可以是无穷维的.

定义6 设 是 维线性空间， 是 的一组基，那么对任意 能唯一地表示成

称线性表示的系数构成的向量 为 在基 下的坐标。

例 7 实矩阵空间 中，试证明

是 的一组基，并求 在该基下的坐标.

【解】: 设 ，即

解得 ，故 线性无关. 又对任意

有

故 是 的一组基，并且其维数 . 由于

所以它在这组基下的坐标为 .

【注】：(1) 类似可以证明

是 的另一组基， 在这组基下的坐标为 .

(2) 用 表示第 行第 列元素为 1 ，其余元素全为 0 的 矩阵，则

是 的基，故 是 维线性空间。

(3) 类似可以证明实对称方阵空间

中，

线性无关，且对任意

有 ，因此 为线性空间的一组基，且 在这组基下坐标为 。如果用 表示第 行第 列元素为 1 ，其余元素全为 0 的 矩阵，则线性空间

的一组基为

空间的维数为

（4）次数小于等于 3 的实系数多项式构成的线性空间

的一组基为 . 从而可知

在这组基下的坐标为 。同样，

也是 的一组基，由于

所以 在基 下的坐标为 .

从坐标的定义和上面的例子可以看到，线性空间 与有序组 之间存在 ——对应的关系，因此，可以用这组有序数来表示相应线性空间中的向量 . 这样，线性空间 可以表示为

即 是基 生成的线性空间。

于是，在线性空间 中取定一个基 以后，则 中的向量 与 中 维有序数组构成的向量空间的向量 之间就有一个——对应的关系，且这个对应关系具有下述性质:

设 ，则

(1) ；

(2) .

也就是说，这个对应关系保持线性组合的对应， 中的线性运算可以转换为 中的运算. 比如取线性空间

的一组基为 。从而其中的元素

则直接由向量的线性运算法则，有

对于 与 的这种关系，我们称它们有相同的结构.

定义 7 一般地，设 与 是两个线性空间，如果在它们的向量之间有——对应关系，且这个对应关系保持线性组合的对应，那么就说线性空间 与 同构.

显然，任何 维线性空间都与 同构，即维数相等的线性空间都同构，从而可知线性空间的结构完全被它的维数所决定。值得注意的是， 中凡是只涉及线性运算的性质就都可适用于 ，对于其他运算，在 就不一定适用，比如 中的内积概念在 中就不一定有意义. 因此不同的线性空间一般会有与之相适应的内积定义.

四、内积

前面基于向量的内积（数量积、点积）定义了向量空间对应的欧式空间. 在将研究对象扩展到更广泛的范围以后，在线性空间中对于内积的定义也可以根据需要给出不同的形式，但是作为一种内积运算，要求满足的规则还是一样的，即正定性、对称性与线性性。

定义 8  对于数域 上的线性空间 ，如果对任意 和 ，定义有满足如下条件且运算结果为一个数的运算 :

(1) 当且仅当 ；

(2) ;

(3) ;

(4) ，

则称该运算 称为线性空间 的一个内积.

【注】：(1) 定义了内积的实线性空间简称为欧式空间. 定义了内积的线性空间是 维欧式空间的推广。内积定义不同对应不同欧式空间。

（2）对于内积都有长度（范数）的定义，即 ，也有柯西不等式

证明：(1) 是线性空间 上的一个内积；

(2) .

【证明】：(1) 要证明 是内积就是要验证它满足内积定义中的四条运算律. ，由定积分的运算性质，可得

(i)

当且仅当 时等号成立.

(ii) :

(iii)

(iv) .

所以题设中定义的运算 是线性空间一个内积.

(2) 由于 是内积，故由柯西不等式，有

五、标准正交基

定义 9 设 是 维线性空间， 是 的一组基，如果基向量对于其上定义的内积 满足:

(1) ；

(2) ，

则称 为相应欧式空间（定义了内积的线性空间 的一组标准(规范)正交基.

例如，对于三角级数

三角函数系 对于内积

构成了一个正交基，它的任意两个不同函数的内积都为零，即对于任意 ，计算可得

但是

所以 是一组正交基，但是不是规范正交基. 如果给它们添加适当的系数，改写为

则该集合构成一组规范正交基。

【注】：基于线性空间中定义的内积，利用施密特正交化方法也可以将一般的基转化为标准正交基.

练习题

1、判断以下集合对于所给定的线性运算是否构成 上的线性空间.

(1)  ，按矩阵加法和数乘.

(2) 为实函数 ，按通常的函数加法和数乘.

(3) ，按通常的函数加法和数乘.

2、证明全体 阶上三角矩阵的集合对于矩阵的加法和数乘运算构成线性空间，并写出空间的一组基。

3、证明集合

对于矩阵的加法和数乘运算构成线性空间，并写出空间的一组基.

4、在 4 维线性空间 中，证明:

是 的一组基，并求矩阵 在这组基下的坐标。

5、证明 是线性空间 的一组基，并求 在这组基下的坐标。

6、在线性空间 中，定义 的内积如下:

将 化为 的标准正交基.