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竞赛试题
第十六届全国大学生数学竞赛初赛试卷
(数学 类, 2024 年)
一、(本题 15 分) 设双叶双曲面 . 记以 为顶点且与 的上半叶 相切的所有切线构成的锥面为 .
(1) 求锥面 的方程;
(2) 求 所在平面 的方程.
二、(本题 15 分) 设 ,
求 和 .
三、(本题 20 分) 设
为实数域 上的 不可逆方阵. 若 的伴随知阵 为
求 。
四、（本题 15 分） 熟知实数域 上的一元多项式集合 在多项式加法和数乘下构成 上的一个线性空间. 设 且次数为 , 这里规定零多项式的次数为 , 已知
证明: 为空间 中线性相关的向量组.
五、(本题 15 分) 讨论以下级数的收敛性:
其中 表示 的整数部分.
六、（本题20分）(1) 设 为取值于 的整数列。令
证明: 对任何 , 极限 存在且与 无关.
(2) 若题 (1) 中的 改为 , 结论如何?
第十六届全国大学生数学竞赛初赛试卷
(数学 B 类, 2024 年)
一、(本题 15 分) 已知单叶双曲面
求 上经过 点的两条不同族的直母线方程; 求 上相互垂直的直母线交点的轨迹.
二、(本题 15 分) 设 ,
求 和.
三、(本题 20 分) 设
为实数域 上的 不可逆方阵. 若 的伴随知阵 为
求 。
四、（本题 15 分） 设 为实数域 上没有零点的实连续函数. 若 , 证明: 对任意 , 均有矩阵
为可逆矩阵.
五、(本题 15 分) 对于 , 记
令 依次为 中所有元素之和。计算极限 和 ,并说明理由, 其中 为自然数集.
六、(本题 20 分) 设 是常数. 又设 和 为正数列且满足 , ,
(1) 证明 收敛并求极限.
(2) 证明: .
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