线性代数学与练第27讲 ：实对称矩阵的相似对角化

实对称矩阵是指元素为实数且关于矩阵主对角线对称的矩阵，它的转置就等于它本身。作为一类具有特定结构的矩阵，除了具有一般矩阵的性质外，它还具有一些本身特有的重要性质，比如它们的特征值一定都是实数、可对角化以及特征向量可正交化等，正是因为它的一些特殊性质，使得实对称矩阵在数学和应用科学中扮演着至关重要的角色，从而在工程实践与数学理论中都有广泛的应用.

本讲的任务：探索、研究实对称矩阵所特有的一些性质与相关的一些结论.

一、实对称矩阵的特殊性质

实对称矩阵的一个重要特性就是它的特征值一定是实数. 在讨论这个性质前，先介绍一下复矩阵的共轭矩阵的概念与性质.

定义 1 设 ，称 为矩阵 的共轭矩阵，其中 表示 的共轭复数，即 是由 的元素的共轭复数构成的矩阵。

【注】：(1) 若复数 ，则它的共轭复数为 个复数与它的共轭复数在复平面上所对应的点关于实轴对称。如果 为实数，则 .

(2) 根据共轭矩阵和共轭复数的定义，容易得到共軛矩阵有如下性质:

定理1 实对称矩阵的特征值为实数.

【证明】：设 为 的一个特征值， 为 对应于 的一个特征向量，则 。由于 为实对称矩阵，所以有 . 对等式 两边的矩阵取共轭，得

对上式两边取转置，且因 为对称矩阵，得

在上式右边等式两侧同时右乘以 ，得

同样由上式右边等式移项整理得

由 为特征向量可知 ，从而 ，即 ，所以 为实数。

【注】：当特征值 为实数时，齐次线性方程组 是实系数方程组，由 知必有实的基础解系，所以对应的特征向量可以取实向量.

定理 2  实对称矩阵对应于不同特征值的特征向量互相正交.

【证明】：设 为实对称矩阵 的两个不同的特征值， 分别为 对应于 的特征向量，即

由于 是实对称矩阵，故 。对 两端取转置，得

再在右侧等式两端右乘 ，得

对上式第二、第四项构成的等式移项整理得

由于 为两个不同的特征值，故 ，所以 . 即 正交.

定理3 设 为 阶实对称矩阵，则存在正交矩阵 ，使得

【证明】：(数学归纳法) 当 时， ，有正交矩阵 ，使得

假设当 时，结论成立. 当 时，取 的一个特征值 和相应的一个单位特征向量 ，将 扩充为 的一组标准正交基 。令

则 为正交矩阵，且有

记

则 为 阶实对称矩阵， 的 个特征值全是 的特征值. 由假设可知存在正交矩阵 ，使得

令 ，则有

即 为正交矩阵， ，并且有

【证明】：假设方阵 的 个相互正交的特征向量为 ，相应的特征值为 ，令

则 是正交矩阵， 是对角矩阵，且 ，故

即 是实对称矩阵.

例 2 已知 阶实对称矩阵 相似，证明存在正交矩阵 ，使得 。

【证明】：因为 相似，所以 正交相似于同一个对角矩阵 ，即存在正交矩阵 和对角矩阵 ，使得

令 ，则

推论1 设 为 阶实对称矩阵，则 有 个线性无关的特征向量.

推论 2 设 为 阶实对称矩阵，则 的每个特征值的几何重数与代数重数相等. 即若 是 的特征方程的 重根，则

从而对应特征值 恰有 个线性无关的特征向量.

【证明】：由于实对称矩阵 与对角矩阵

相似，从而可知 与

相似. 当 是 的特征方程的 重根时， 这 个特征值中有 个等于 ，有 个不等于 得，从而对角矩阵 的对角元恰有 个等于 0 ，于是

而 ，所以

二、实对称矩阵的相似对角化

当 阶方阵 为实对称矩阵时，求满足关系式

的正交矩阵 的步骤可概括为:

(1) 解特征方程 ，求出 的所有互不相同的特征值为 ，其中特征值 的代数重数为 ,

(2) 对于所有 ，计算出 的所有基础解系，一共得到 个线性无关的特征向量；

(3) 对于特征单根对应的单个向量直接单位化，对于重根对应的向量，即对应方程组的基础解系利用 Gram-Schmidt 正交化方法进行标准正交化，得到包含 个向量的标准正交向量组；

(4) 令得到的标准正交向量组为列向量构成正交矩阵 ，从而有

注意 中对角元的排列次序与 中列向量的排列次序相对应。

例3 已知 ，求正交矩阵 ，使得 为对角矩阵.

【解】：(1) 求特征值. 解特征方程

得 的特征值为 。

(2) 求特征向量，即特征值对应的齐次线性方程组的基础解系.

当 时，对方程组 的系数矩阵施行行的初等变换，有

得 对应于特征值 的线性无关的特征向量为

当 时，对方程组 的系数矩阵施行行的初等变换，有

得 对应于特征值 -1 的 2 个线性无关的特征向量可取为

(3)单位正交化特征向量. 对 直接 单 位 化 得

由于 不正交，故由正交化方法，取

单位化得

于是取正交矩阵 ，即

得

求 .

【解】: 设 对应于 的特征向量为 ，则其另外两个特征向量正交，得

由上述方程组可求得 对应于特征值 的线性无关的特征向量为 . 令

则有

于是

【注】：已知 阶实对称矩阵 的特征值 以及对应特征向量 时，求矩阵 通常的两种思路:

(思路一) (1) 将 进行标准正交化得到标准正交向量组 ;

(2) 令 ，于是 为正交矩阵且有

（3）由下式可以求得矩阵 :

(思路二)（1）令 ，于是 为可逆矩阵且有

（2）由下式可以可以求得 :

【解】: 据题意， 对应于 的特征向量为

于是根据特征值和特征向量的定义，有

即

由此解得 . 故

于是解矩阵 的特征方程

得 的特征值为 .

由 ，即

可取对应于 的特征向量为

由，即

可取对应于 的特征向量为

由于 为实对称矩阵， 为对应于不同特征值的特征向量，所以 相互 正交，单位化后得

令

则 ，即 即为所求矩阵.

例 6 设三阶实对称矩阵 的各行元素之和均为 ，向量

是线性方程组 的两个解。

(1) 求 的特征值与特征向量;

(2) 求正交矩阵 和对角矩阵 ，使得 。

(3) 求 及 ，其中 为三阶单位矩阵。

【解】：(1) 因为

所以由特征值与特征向量的定义可得 的特征值 ，对应的特征向量为

因为 3 阶矩阵 的各行元素之和均为 3 ，即

所以 是 的特征值，对应的特征向量为 （ 不为零）。

(2) 对 进行正交化：取

再对向量进行单位化，得

作正交矩阵 和对角矩阵 ，则有 .

(3) 因为 ，所以

令

则 ，于是可得

于是可得

练习题

1、选择题:

(1) 设 为对称矩阵 对应于特征值 的特征向量， 为可逆矩阵，则矩阵 对应于特征值 的特征向量为（）.

(A) (B)

(C) (D)

(2) 设 为 3 阶矩阵，

则 的特征值为 的充分必要条件是（ ）

(A) 存在可逆矩阵 ，使得

(B) 存在可逆矩阵 ，使得

(C) 存在正交矩阵 ，使得

(D) 存在可逆矩阵 ，使得

(3) 矩阵 与 相似的充分必要条件为( )

(A) (B) 为任意常数

(C) (D) 为任意常数

2、求正交矩阵将下列实对称矩阵相似对角化.

(1) . (2)

3、已知三阶实对称矩阵 的特征值为 为 对应于特征值 的特征向量，求 .

4、已知 5 阶实对称矩阵 满足 ，且 的秩为 3，求与 相似的对角矩阵.

5、已知 阶实对称矩阵 满足 ，证明： 。

6、已知 阶实对称矩阵 满足 ，证明存在正交矩阵 ，使得

(1) 验证 是矩阵 的特征向量，并求 的全部特征值与特征向量；

(2) 求矩阵 .

8、设三阶实对称矩阵 的各行元素之和均为 6 ，向量

为齐次线性方程组 的解.

(1) 求 的特征值与特征向量;

(2) 求正交矩阵 和对角矩阵 ，使得 ；

(3) 求 .

9、设实对称矩阵

求可逆矩阵 ，使 为对角形矩阵，并计算行列式 的值.