线性代数学与练第24讲 ：线性空间的基变换与线性变换

在上一讲中，我们切实体会到了线性空间研究对象的广泛性，这样的抽象使得它的应用更加具有普适性，同时也看到了之前研究的向量空间与线性空间联系与区别.

本讲将继续在研究向量空间所得到的相关结论和熟练线性空间相关概念基础上，研究线性空间的基变换和坐标变换，线性变换及其矩阵描述等内容。

一、基变换和坐标变换

由于线性空间的基不唯一，同一向量在不同基下的坐标一般不同；对于问题的讨论，不同基下的描述形式的不同，也会导致问题处理的方式和难易程度有所差别，有时候可能不得不转换成某一个特定的基下的描述形式问题才能得到有效地解决. 因此有必要讨论同一个元素在不同基下的坐标之间的关系。

设 维线性空间 有两组基 与 ，且

则上面的关系可用向量、矩阵形式描述如下

该公式称为基变换公式，并且称 为由基 到基 的过渡矩阵.

【注】：由于两组基都线性无关，所以P 唯一且可逆。 

设向量 在基 下的坐标为

在基 下的坐标为

则由基变换公式，有

由于向量在一个基下的坐标是唯一的，故得

定理1 在线性空间 中，设由基 到基 的过渡矩阵为 ，向量 在基 和 的坐标分别为 ，则有坐标变换公式

则两个基满足基变换公式

（1）求从基 到 的过渡矩阵 ；

（2）求坐标变换公式，并求在基 下的多项式 在基 下的坐标，并写出对应的基向量表达式.

【解】：(1) 设过渡矩阵为 ，则

由 可知

即

(2) 设 是 下的坐标，

是基 下的坐标，则有 .

又 在 下的坐标为 ，且

故得

故

ニ、线性变换的概念

线性空间元素之间的联系可以用映射来表现，而线性变换是线性空间到自身的一种特定映射，也是线性空间中最简单也是最基本的一种变换。

定义2  设 是两个线性空间，若有对应关系 ，使得对 中任意元素 ，都有 中一个确定的元素 与之对应，则称 为 到 的眏射。 为 在 下的像， 为 的原像.

例如，用矩阵 左乘任意三维向量

都可以得到一个二维向量，该过程可以看作是线性空间 到 的映射.

定义3  设 为线性空间 到 的映射，若满足:

(1) 可加性：对任意 ，有

(2) 齐次性：对任意 ，有

则称 为 到 的线性映射.

【注】：可加性和齐次性可以合并为

其中 .

特别地，若 是线性空间 到数域 的一个线性映射，则称 是 上的一个线性函数； 是线性空间 到自身 的一个线性映射，则称 是 上的一个线性变换.  在本讲中我们仅仅讨论线性空间 中的线性变换。

例如，给定方阵 ，若对任意 ， 定义

则 是 上的线性变换.

例2 设 是数域 上的线性空间， 是给定的数， ，定义变换

证明：只有当 时， 才是 上的线性变换.

【证明】：任取 和 ，当 时，有

即 是 上的线性变换. 当 时，

即得证结论.

【注】:变换 称为数乘变换. 当 时，这个特殊的数乘变换称为零变换；当 ，变换称为恒等变换。

例 3 证明 上的求导变换 是线性变换.

【证明】: 在 中任取

和 ，则

因此 在 上是线性变换.

确定了 平面上的一个变换 ，说明该变换的几何意义.

【解】：记 于是

这表示变换 把任一向量按逆时针方向旋转 角.

【注】：该变换称为旋转变换，如果将一个图形的每个顶点都执行以上变换则相当于将图形绕着原点逆时钟旋转 角度.

三、线性变换的基本性质

定理 2  设 是线性空间， 是 上的线性变换，则有

(1) ；

(2) ;

(3) ；

(4) 若 是 中的线性相关向量组，则 也是 中的线性相关向量组.

【注】：当 线性无关时， 不一定线性无关。这是因为映射作为线性空间 到自身的映射不一定为——映射。如果 是 到自身的——映射，则称 为可逆线性变换。

(5) 若 为可逆线性变换，则 线性相关的充要条件是 , 线性相关.

(6) 线性变换 的像集 是一个线性空间，称为线性变换 的像空间.

【证明】: 设 ，则有 ，又由于 ，故有

所以它对 中的线性运算封闭，故它是一个线性空间.

(7) 使 的所有 构成的集合称为线性变换 的核，记作 或 ，即

它也是一个线性空间.

【证明】：首先， ，且 ，故 非空. 设 ，则

于是有

从而可知 . 所以 对 中的线性运算封闭，所以 是一个线性空间。

容易验证定义在 中的 为一个线性映射，它的像空间是矩阵 的列向量 所生成的向量空间，即

的核 就是齐次线性方程组 的解空间，即

四、线性变换的矩阵表示

从上面的讨论中可以看到，线性变换的运算规则与矩阵的相应运算规则是基本一致的，这个现象并非偶然，其实线性变换与矩阵之间有着密切的联系，它可以用矩阵进行有效地的描述. 比如定义在 中的映射 ，它简单明了地表示出了 中一个线性变换。它的像空间就是矩阵 的列向量 所生成的向量空间，即

线性空间一般包含无穷多个向量，因此分析每一个向量在线性变换下的像并不可行. 而线性空间中的每个向量都可以写成一组基的线性组合，因此可转而研究线性变换在一组基下的表示. 也就是上面的像空间的矩阵列向量的线性组合描述形式.

设 是 维线性空间， 是它的一组基， 是 上的线性变换，则 可由基 线性表示为

记则对于所有的基向量构成的向量可以描述为

定义4  设 是线性空间 的线性变换， 是 的一组基，若有 阶方阵 ，使得

则称该式为线性变换 在基 下的矩阵表示， 称为线性变换 在基 下的矩阵.

【注】：（1）矩阵 的第 列就是 在基 下的坐标，矩阵 由基的像 唯一确定。反过来，由一个矩阵 也可以唯一确定一个线性变换 ，这样线性变换与矩阵之间就建立了一个——对应的关系。

（2）对任意向量 ，设 在基 下的坐标为

则 ，并且有

可见， 的坐标就是矩阵 乘原像 的坐标，即

换句话说，只要掌握了基的像（形成一个矩阵）就掌握了整个空间的像。

例 5 在 中，求线性变换

在基 下的矩阵.

【解】：由题设可知

所以 在基 下的矩阵为

求 在基 下的矩阵表示.

【解】：按照定义有

所以， 在基 下的矩阵为

设 的两组基

分别求 在基 和基 下的矩阵表示.

【解】：设 在基 下的矩阵为 ，由于

即设 在基 下的矩阵表示为 ，由于

由 ，得

由于 可逆，且于是可得

所以

【注】：从该例可以看到，同一个线性变换在不同基下有不同的矩阵形式.

定理3 设 维线性空间 的基 到 的过渡矩阵为 中的线性变换 在两组基下的矩阵分别为 和 ，则 。

【证明】：设 维线性空间 的基 到 的过渡矩阵为 ，则

又设 是 上的线性变换，在两组基下的矩阵分別为 和 ，即

又 ，所以

即有

所以 .

例如上面的例子，线性变换

在基 下的矩阵为

而基 到基下的过渡矩阵为

因此 在基 矩阵 ，也即

【注】: 这也说明矩两个基之间的过渡矩阵阵 与 相似，即如果存在有一个可逆矩阵 ，使得 ，则称矩阵 和 相似.

定义 5  线性变换 的像空间 的维数称为线性变换 的秩.

【注】: 若 为 的矩阵，则 的秩就等于 ；若 的秩为 ，则 的核 的维数为 。

定理4 设 是线性空间 中的线性变换， 是 的一组基， 在这组基下的矩阵分别是 ，则在这组基下，

(1) 的矩阵是 ；

(2) 的矩阵是 ；

(3) 的矩阵是 ；

(4) 是可逆线性变换的充要条件是 为可逆矩阵；

(5) 如果 ，则 .

练习题

1、设 是 维线性空间 的一组基.

(1) 证明: 也是 的一组基.

(2) 求从 到 的过渡矩阵.

2、在线性空间 中，求从基

到基

的过渡矩阵.

3、在 中取两个基

求坐标变换公式.

4、判断下列映射是否构成线性变换，并说明理由.

(1) 在线性空间 定义一个映射 为: 对任意 ,

(2) 在线性空间 中定义一个映射 为：对任意 ，其中 为 中给定的矩阵。

(3) 在线性空间 中空义一个映射 为：对任意 ，其中 为 中给定的向量.

5、证明：线性变换把线性空间中两个等价的向量组变为等价的两个向量组.

6、集合 对于函数的线性运算构成 3 维线性空间. 定义变换