线性代数学与练第29讲 ：二次型的标准形与规范形

上一讲给出了二次型的基本概念和一些基本的性质，并且探讨了基于正交变换的方法将一般二次型简化为标准形的思路与步骤. 在给出的实例中可以看到，使用的方法不同，二次型转换成的标准形结构不一定相同. 除了正交变换方法可考虑之外，简化、转换二次型为标准形还有一些其他的方法，这一讲将继续探讨这些方法.

本讲的任务: 继续探讨二次型转换为标准形的配方法与合同变换法，然后研究二次型的另外一种形式——规范形，并就规范形的一些性质进行研究，并对常见的一些二次型问题进行详细的分析与探讨。

一、配方法

配方法也是化二次型为标准形的问题中常用的一种方法，它是通过凑项、配方的方式，将二次型转换为几个表达式的平方的结构，然后通过换元转换为标准形的过程. 比如二次型

令 ，可以将原二次型转换为关于变量 的标准形.

配方法不需要写二次型的矩阵，也不需要执行矩阵操作. 它是通过将二次型中不是平方项的各项，通过凑项、配平方的方式，最终将二次型的全部项配成项数不多于变量个数的，变量的线性表达式的平方项的和或差的结构，然后再通过换元，也即非退化线性代换，将二次型化为标准形的方法. 对于二次型

在使用配方法化二次型为标准形时，视情况可以分为两种不同的情形来考察: 

情形 1: 当二次型中含有平方项时，即 中至少有一个非零，比如有 项，则先把含有该 的所有乘积项集中，进行凑项配方；然后重复该步骤，直到把全部项配成平方项为止；最后利用非退化线性替换将二次型化为标准形。

例 1 用配方法化二次型

为标准形，并写出所用的变换矩阵.

【解】：根据表达式中的结构，先考虑 和包含的交叉项 配方，于是有

由于还包含有平方项 ，再结合余项 ，再次凑项配方，得

这样也就将原二次项转换为了三项的平方的结构. 于是令

则原二次型转换为

由上面的换元公式可得

写成矩阵变换形式即为

即所用的变换矩阵为

即对二次型的矩阵 ，有

【思考与练习】：该二次型是否适合使用正交变换法将其简化为标准形？

情形 2：如果二次型中不含有平方项，即所有的 全部为零，但是存在 不为零，则可以先做可逆的线性变换

化为含有 的二次型，再对 按第情形 1 配方。

例 2 用配方法化下列二次型为标准形，并写出变换矩阵。

【解】：二次型中不含平方项，但有 项，故作非退化线性变换

将其代入原二次型，得

再按照情形1对其进行配方，有

再令 ，也即

则原二次型转换为标准形

以上换元变换过程写成矩阵形式，有

于是可得

故变换矩阵取为

即在变换 作用下，二次型转换为标准形

二、合同变换法

从配方法的过程可以看到，将二次型的一般型简化为标准形的过程，其实就是一个通过有限次的可逆线性替换，将二次型中的所有元逐渐配方的过程. 将这个过程通过矩阵形式表示出来就是对二次型矩阵的初等变换过程，也就是将二次型的矩阵通过有限次的初等行、列变换，将二次型矩阵化为与其合同的对角矩阵的过程。

假设可逆矩阵 化实对称矩阵 为对角矩阵，即 为一个对角矩阵，把 写为初等矩阵的乘积 ，则

表示对 进行一次初等列变换的同时进行一次相应的初等行变换，称这样的变换为对称矩阵的合同变换或行列对称初等变换。

对 进行一系列合同变换可把 化为对角矩阵，该方法称为合同变换法或行列对称初等变换法. 其具体步骤可以概括如下:

(1) 写出二次型 的矩阵 ，并构建 与 组成的 矩阵 ；

(2) 对 施行初等行变换和相同的初等列变换，化成与 合同形式上简单的矩阵，直至将 化成对角矩阵；但是对 只进行其中的列变换，最终 变换得到的对角矩阵，即二次型标准形的系数，而 变换得到的就是合同变换矩阵 。

(3) 写出(2)过程中所进行的一系列可逆线性变换 化原二次型为

化为标准形.

【解】：二次型的矩阵为

把 和单位矩阵 上下放置，如下作合同变换（注意对 行列变换的一致性和对 仅只有列变换，其实对 的行变换不影响 ，实际变换过程中对于 不影响）。

所以 与 合同，即

所以相应的标准形就为

并且有

【注】：(1) 合同变换矩阵 也可以如下计算得到: 把上面初等列变换对应的初等矩阵乘到一起，得

不难看出，如果需要给出非退化线性变换，则将 和 放在一起计算更高效。

(2) 通过前面的例子可以看到，将二次型转换为标准形的合同变换不同，得到的二次型的标准形是不同的.  因此二次型的标准形是不唯一的. 一个自然的问题就是：是否可以加些限制条件，以使二次型的标准形是唯一的呢?

三、规范型与唯一性

对于二次型 的标准形，对它的项经过适当排序，可将标准形改写为

显然， 是矩阵 的秩. 再作非退化线性变换

则可把标准形化为

这样的非零系数仅为 的标准形就是二次型的规范形. 

定理 (惯性定理) 任何一个实二次型可经非退化线性变换化为规范形，且规范形是唯一的.

【证明】：只需证第二部分. 设 元实二次型 有如下两个规范形

假设 ，不妨设 . 设有非退化线性变换 ，使得 ，其中

考虑以 为变元的线性方程组

该方程组有 个未知数， 个方程，而 ，因此它一定有非零解. 将该非零解代入原二次型即推出矛盾. 从而 的规范形唯一.

定义 设实二次型 的规范形为

则正平方项的个数 称为它的正惯性指数，负平方项的个数 称为它的负惯性指数，它们的差 称为二次型的符号差.

【注】：二次型的秩、正惯性指数、负惯性指数和符号差都是二次型在非退化线性变换下的不变量. 需注意的是，上面讨论的实对称矩阵的规范形，对于复对称矩阵，由于 ，故复二次型的规范形为

其中 为二次型的秩.

例 4 求二次型 的规范形.

【解】：求二次型的规范形最简单的办法是直接求其矩阵的特征值. 二次型对应得矩阵为

其特征方程为

无法直接得到其解. 但是矩阵 是实对称矩阵，所以矩阵的特征值都是实数，设矩阵 的 3 个特征值分别为 ，则可知

由于求规范形只需要知道特征值的正负号个数就行。分析上面的两个式子易知，矩阵 的 3 个特征值 中其中 1 个正的，另外两个负的，因此二次型的规范形为

事实上，求二次型的规范形也就是求它的正负惯性指数. 由于 ，故三个非零；如果三个为正，或者三个为负，则三个和为零矛盾；如果两个为正，一个为负，则与行列式矛盾，故只能是1正2负。

例 5 设实二次型其中 是参数.

(1) 求 的解;

(2) 求 的规范形.

【解】：(1) 因为 ，要等式成立，三个平方项都等于 0 ，即求解方程组

用第一个方程加上第二个方程，可得

当 时，方程有无穷多个解，如令

所以方程组的解为

当 时， ，从而 ，也有 ，即方程组只有零解.

(2) 当 时，由上面计算得到的结果，直接令

即 矩阵形式为

由于 ，故变换为非退化线性变换，故得规范形为

当 时，不能再使用以上变换，因为 ，不是非退化线性变换，故需要重新改写二次型来考察其惯性系数。

【法 1】将 代入二次型，展开二次型表达式，有

对应的矩阵为

解对应的特征方程

得特征值为 ，所以规范二次型就为 .

【法 2】配方法. 当 时，

令

则变换的矩阵形式为

即 中 ，变换为非退化线性变换，故不改变二次型的秩、正惯性指数、负惯性指数和符号差，所以规范二次型就为 。

练习题

1、 选择题.

(1) 设 是三阶实对称矩阵， 是三阶单位矩阵，若 ，且 ，则二次型 的规范形为（ ）

(A) (B)

(C) (D)

(2) 二次型 的规范型为()

(A) (B)

(C) (D)

2、用配方法化下列二次型为标准形，并写出非退化线性变换.

(1) .

(2) .

3、用合同变换法化下列二次型为标准形。

(1) .

(2) .

(3) .

4、求出二次型的标准形及相应的非退化线性变换.

5、二次型 经过可逆线性变换 变换为 .

(1) 求 的值;

(2) 求可逆矩阵 .

6、求下列实二次型的规范形.

(1) .

(2) .

7、设二次型 的负惯性指数是 ，试求 的取值范围.

8、设二次型

(1) 求二次型 的矩阵的所有特征值;

(2) 若二次型 的规范形为 ，求 的值.

9、设 为 阶实对称矩阵，秩 是 中元素 的代数余子式 ， 二次型

(1) 记 ，把 写成矩阵形式，并证明二次型 的矩阵为 ；

(2) 二次型 与 的规范形是否相同? 说明理由.

10、已知二次型 ，

（1）求可逆变换 将 化成 ；

（2）是否存在正交变换 将 化成 ?