线性代数学与练第26讲 ：矩阵的相似对角化

在上一节的讨论中我们知道，方阵的迹 等于所有特征值的和，也等于反正主对角线元素的和，而方阵的行列式等于所有特征值的和，由此可以看到，特征值在描述矩阵及其行列式的相关结论中有着非常重要的作用. 那么，除此之外，它还对于描述矩阵具有一些怎样的意义和联系呢?

本讲的任务: 首先讨论同型方阵之间的相似关系，然后研究了方阵可相似于对角矩阵的条件，最后给出了求相似变换矩阵的方法.

通过本讲的讨论可以看到，特征值与特征向量虽然对应于线性变换中的一些特定的向量，但是它们对于描述矩阵的特征有着非常重要的作用，研究它们对于简化矩阵计算与分析，揭示矩阵的一些性质与特征，简化实际问题的数学描述都具有十分重要的意义，相关的理论与方法在实践中已经广泛应用于物理学、信息处理、数据分析、图像处理、系统稳定性分析、数值计算和金融学和社会学（人口流动、劳动力转移、种群年龄结构估算等问题中的数据处理与预测) 等领域.

一、相似矩阵

定义1 设 都是 阶矩阵，若有可逆矩阵 ，使得 ，则称矩阵 与矩阵 相似，或 相似于 ，记为 ，其中 称为相似变换矩阵.

矩阵之间的相似具有如下一些性质:

(1) 自反性: ；

(2) 对称性: 若 ，则 ；

(3) 传递性：若 ，则 。

定理1 如果 ，则

(1) ；

(2) ;

(3) ， 即 的特征值相同.

【证明】：(1)(2)显然. 对于(3). 由于 ，即存在有可逆矩阵 ，使得

又 ，于是可得

所以 具有相同的特征多项式，即 的特征值相同.

推论1 若方阵 与对角阵

相似，则 的特征值为 .

【证明】：由

可知 为 的 个特征值，由于 ，所以 的 个特征值为

【注】：对于对角矩阵，其 次方就等于对角矩阵元素的 次方构成的矩阵，比如

如果 ，其中 为对角矩阵，就可得

即若 ，则存在可逆矩阵 ，使得 ，所以

由此可以看到，求方阵 的 次幂，比较简单的办法是求出可逆矩阵 ，使得 .

问题: 什么样的矩阵可与对角矩阵相似？或者说，矩阵 满足什么条件，会存在可逆矩 ，使得 ？如果对角矩阵 和 都存在，又该如何求出它们呢？另外，相似的的对角矩阵具有什么样的特征呢? 即对角线上的元素都是由一些什么样的数构成的呢?

二、方阵相似对角化

定义 2 设 为 阶方阵，若存在可逆矩阵 ，使得

则称 可相似对角化.

由 为可逆矩阵 的 个列向量，可知 且 线性无关，从而 为 的 个线性无关的特征向量. 对角矩阵的主对角线上的数就是相应的特征值.

例1 试判断 是否可以相似对角化，如果可以，求出可逆矩阵 和对角矩阵 .

【解】：由上一讲例题中特征值与特征向量的计算可知，矩阵有特征值为

并且对于特征值 ，全部特征向量为

其中 不全为零.

对于特征值 ，全部特征向量为

直接取

即 和 分别取为

并且计算可得

从而可以验证得 . 即矩阵 可相似对角化.

【注】：取 也满足条件。从特征值对应的特征向量描述形式中可以看到， 由于特征值对应的特征向量不唯一，故可逆矩阵 不唯一。如果构成 矩阵的特征向量的先后次序与其对应的特征值的先后顺序一致，则对角矩阵 是唯一确定的。

定理 2 方阵 可相似对角化（即 与对角矩阵相似）的充要条件是 有 个线性无关的特征向量.

推论 2 如果 阶方阵 有 个相异的特征值，则 可相似对角化.

【注】：当 的特征方程有重根，就不一定有 个线性无关的特征向量，从而不一定能对角化. 如矩阵 不可相似对角化，因为特征值 对应的特征向量 为 ，特征值的几何重数小于代数重数.

推论 3 方阵 可相似对角化的充要条件是 的每个特征值的几何重数与代数重数相等.

三、相似变换矩阵的计算

当 阶方阵 可相似对角化时，求相似变换矩阵 的方法为:

（1）由特征方程 求出 的互不相同的所有特征值 ，其中特征值 的代数重数为 ；

（2）针对每个特征值 ，通过解齐次线性方程组 ，求出矩阵 对应于特征值 的 个线性无关的特征向量（一般直接取为齐次线性方程组的基础解系向量即可），一共得到 个对应于特征值 的线性无关的特征向量

(3) 以特征向量为列向量, 取

则该矩阵即为相似变换矩阵，并且可以得到对角矩阵为

对角矩阵对角线上的每个特征值的个数为特征值的代数重数，其排列的左右次序与列出来的左右次序一致。

例 2 已知 可相似对角化，求出一个相似变换矩阵 ，并求 .

【解】：解矩阵 的特征方程

得 的特征值为 .

当 时，对应的齐次线性方程组为 ，对其系数矩阵作行的初等变换，有

由于特征值 1 的代数重数为 2 ，又矩阵可以相似对角化，故它的几何重数，也即基础解系的维数应该等于 2 ，从而可知 ，故 。于是得 对应于特征值 1 的两个线性无关的特征向量，即基础解系为

当 时，由方程组 可求出 对应于特征值 -1 的一个特征向量为 . 于是相似变换矩阵 可以取为 ，使得

由上式可得 ，故

易得 ，故得

求 .

【解】：由题设可知 可相似对角化，且相似变换矩阵和对应的对角矩阵可取为

并满足 ， 从而有 。由初等变换法易得

并由 ，得

(1) 证明 为可逆矩阵；

(2) 若 ，求 ，并判断 是否相似于对角矩阵。

【解】：(1)【法 1】 是非零向量且不是 的特征向量，则 ，即 线性无关。所以 ，矩阵 可逆.

【法 2】设 ，则若 ，则由 可知 ；若 ，则 ，所以 是 的属于特征值 特征向量，与已知矛盾。所以 ，即 线性无关. 所以 ，矩阵 可逆.

(2) 设 ，则 ， 即

所以 ，即 。由

得 . 因为 ，所有 可以相似对角化，则 可以相似对角化为

四、方阵相似对角化应用举例

在人员流动问题的简单模型中，假设某国某年初的农业人员和非农业人员的数量分别为 ，在从事农业工作的人员中每年有四分之一改为从事非农业工作，在从事非农业工作的人员中每年有六分之一改为从事农业工作，另设人口总数不变. 那么多年之后的劳动力从业情况 如何呢?

由上述已知条件可写出第二年初的人员数量与第一年初的人员数量的关系式

类似，第 年初的人员数量与第 年初的人员数量存在关系式

于是有 .

求出 的 2 个特征值为 以及对应的特征向量分别为

令 ，于是有

从而有

【注】：（1）当 时，

即从长远来看，在目前的流动频率下，农业人员与非农业人员之间存在一个稳定的数量分布状态 .

(2) 上述稳定的数量分布状态 取决于状态转移方阵 对应于两个特征值 中模最大的那个特征值 1 的特征向量 。

这个现象可从理论上进行一般分析：设 阶方阵 可相似对角化，其特征值为

对应的线性无关的特征向量为 .由 线性无关，可知 能成为 的一组基，从而对任意的初始向量

存在唯一的系数 ，使得

对于由关系式 产生的向量序列 ，有

从而当 时，

因此 .

练习题

1、选择题:

(1) 下列矩阵中不能相似于对角矩阵的是（）

(A) (B)

(C) (D)

(2) 下列四个条件中， 3 阶矩阵 可对角化的一个充分但不必要条件为()

(A) 有 3 个不相等的特征值

(B) 有 3 个线性无关的特征向量

(C) 有 3 个两两线性无关的特征向量

(D) 的属于不同特征值的特征向量正交

(3) 设 为 3 阶方阵， 为属于特征值 1 的线性无关的特征向量， 为 的属于特征值 -1 的特征向量，则满足

的可逆矩阵 可为（）

(A)

(B)

(C)

(D)

(4) 已知 阶方阵 与 相似，则下列命题错误的是（）.

(A) 与 相似

(B) 与 相似

(C) 与 相似

(D) 与 相似

2、设矩阵 满足: 对任意 均有

(1) 求矩阵 .

(2) 求可逆矩阵 与对角矩阵 ，使得 .

3、已知三阶方阵 的特征值为 与 相似，求 .

4、设 都是 阶方阵，且 可逆. 证明 与 相似.

5、已知方阵 ，证明 可相似对角化当且仅当 。

6、已知三阶方阵 的特征值为 ，对应的特征向量依次为

(1) 求 .

(2) 求 .

7、已知方阵 可相似对角化，且 为 的二重特征值. 求可逆矩阵 ，使得 为对角矩阵。

8、设 为 阶方阵，交换 的第 行与第 行得到 ，再交换 的第 列与第 列得到 . 证明 与 相似，并写出相似变换矩阵.

9、设矩阵

，求 的特征值与特征向量，其中 为 的伴随矩阵， 为 3 阶单位矩阵.

10、某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的人数统计，然后将 熟练工支援其他生产部门，其缺额由招收新的非熟练工补齐. 新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有 成为熟练工。设第 年一月份统计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为 和 , 记为向量 :

(1) 求 与 的关系式并写成矩阵形式:

(2) 验证 是 的两个线性无关的特征向量，并求出相应的特征值；

(3) 当 时，求 .