线性代数学与练第21讲:线性方程组相关问题类型及其求解思路与方法

教育   2024-10-29 12:02   湖南  

由于电子文档以外部链接存放具有不稳定性与不可控性,为此,能够分享的封面图片原始高清文件和推文中明确有PDF文档免费分享的电子文档下载请通过考研竞赛交流圈(点击打开)文件美图分类获取。

【说明】文中公式在用手机阅读时如果显示不全,请用在公式上左右滑动显示完整公式。

线性方程组是线性代数的主要研究对象,线性代数课程的内容基本上也是围绕线性方程组的求解而展开的,矩阵和向量为线性方程组的研究提供了有力、有效的工具;反过来也可以看到,线性方程组理论的发展也有助于我们更好地理解、掌握矩阵、向量相关的理论与方法,在一定程度上也促进和拓广了它们的进一步发展。

本讲的主要任务是通过一些典型例题的分析与求解,加深对线性方程组求解、解的结构性质的理解和掌握,同时通过综合性的问题的求解,提高线性方程组、矩阵、向量、行列式之间联系的认识和进一步加深行列式、矩阵和向量相关理论与方法的理解。

一、线性方程组解的判定与行列式

例1 已知线性方程组

有解,其中 为常数. 若

试求 的值(结果中不包括 ).

【解】:【法 1】首先由 可得

. 解得 . 当 时,对非齐次线性方程组的系数增广矩阵施行行的初等变换,有

要方程组有解,则必有 . 代入所求行列式,得

时,则有

则方程组有解,则必有 无解. 故当且仅当 满足题意并求得行列式的值为 8 .

【法 2】记非齐次线性方程组的增广矩阵为

由非齐次线性方程组有解的判定条件

由于 为未知数的数量,从而可知增广矩阵的秩

从而可知 。于是将 按照第 4 列展开,并由 ,得

解得 .

【法3】由于 ,从而可知方程组的系数矩阵的前三行线性无关,再根据 方程组有解,这样第四个方程可由前面三个方程线性表示. 又由于右边系数为 2 ,所以其线性组合表达式应该为

也即有 . 于是由行列式的拆分性质,得

例 2 设有线性方程组

(1) 证明: 若 两两不相等,则此线性方程组无解;

(2) 设 ,且已知 是该方程组的两个解,其中

写出此方程组的通解.

【解】(1) 题中方程组的增广矩阵

它是一个方阵,且它对应的行列式 是一个范德蒙行列式,故由范德蒙行列式的结果,可知行列式

两两不相等可知 ,从而可知矩阵 的秩 . 但方程组是一个关于 3 个变量四个方程的方程组,如果方程组有解,必有

由于 ,所以原方程组不可能有解,即当 两两不相等,则此线性方程组无解.

(2) 时,则原方程组与方程组

同解. 因

所以该方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩

其中 3 是未知数个数. 所以方程组有无穷多个解,且其导出方程组的基础解系包含向量个数为

个. 又 是原非齐次线性方程组的两个解,故由解的结构性质知,

是导出齐次线性方程组的解. 又 ,则 是导出方程组的基础解系,于是由非齐次线性方程组的解的叠加原理,得原非齐次方程组的通解为

其中 为任意常数.

二、带参数方程组解的判定与求解

例 3 为何值时,线性方程组

有唯一解? 无解? 有无穷多组解? 并求出唯一解时的解和有无穷多解时的通解.

【解】:对方程组的增广矩阵作初等行变换化为阶梯形,有

由非齐次线性方程组解存在性的判定,有

(1)当 时, (未知量的个数),此时方程组有唯一解。对上式的阶梯形增广矩阵继续实施行的初等变换化为最简阶梯形,有

故得方程组的唯一解为

(2)当 时,上面第一次增广矩阵行初等变换得到的阶梯形为

如果 ,即 ,则

故方程组无解;而当 ,即 时,

其中 4 是未知量个数,此时方程组有无穷多解. 上面的增广矩阵的阶梯形为

故原方程的同解方程组为

为基本末知数, 为自由未知数,令 ,可得 ,即方程组有特解 . 同解方程组的导出齐次线性方程组为

分别代入上面的导出方程组,得基础解系为

原方程组的通解为

其中 为任意常数.

三、向量的线性表示与向量组的线性相关性

例 4 设有向量组

取何值时,

(1)   可由 线性表示,且表达式唯一?

(2)   可由 线性表示,且表达式不唯一?

(3) 不能由 线性表示?

【解】:设 可由 线性表示,且可表示为

,即由 为列向量的矩阵,则 是否可由 线性表示转换为考察非齐次线性方程组 ,即

是否有解. 对方程组的增广矩阵施行初等行变换,有

(1) 若

方程组有唯一解,即 可由 唯一地线性表示.

(2) 若

方程组有无穷多个解, 可由 线性表示,且表达式不唯一。

(3) 若 ,则方程组的增广矩阵初等变换后的阶梯形矩阵为

,故方程组无解,所以 不能由 线性表示.

例 5 维实向量,且 线性无关. 己知 是齐次线性方程组

的非零解向量. 试判断向量组 的线性相关性.

【解】:设有一组数 ,使得

因为 是线性方程组

的非零解向量,所以

。在 (*) 两端左乘 ,得

代入,得 . 由于 为非零解向量,故 ,从而可知 . 代入 式得

由于向量组 线性无关,所以

. 因此向量组 线性无关.

四、两个方程组解的关系

例 6 设四元齐次线性方程组

又已知某线性齐次方程组 () 的通解为

(1) 求线性方程组 的基础解系.

(2) 问线性方程组()及()是否有非零公共解?若有,求出所有的非零公共解;若没有,说明理由.

【解】(1)方程组()的系数矩阵为

,方程组有无穷多解,并且可知其基础解系包含的向量个数为

为基本末知数, 为自由末知数,分别令 代入方程组,可得其基础解系为

(2) 方程组()和()有非零公共解,将()的通解

代入方程组

整理可得 . 即当 时,向量

就是 的非零公共解.

例 7 已知下列非齐次线性方程组(I)和(II),

(1) 求解方程组(),用其导出组的基础解系表示通解;

(2) 当方程组()中的参数 为何值时,方程组()与()同解。

【解】(1)设方程组()的系数矩阵为 ,增广矩阵为 ,对 作初等行变换,有

从上式可知 ,所以方程组有无穷多解,并可得其同解非齐次线性方程组的导出齐次线性方程组为

为基本末知数, 为自由末知数,取 ,得导出组的基础解系为

,代入同解非齐次线性方程组

得其特解为 ,所以由非齐次线性方程组解的叠加原理知原方程的通解为

其中 为任意常数.

(2) 将方程组()的通解表达式

代入()的第一个方程,得

解得 . 代入 的第二个方程,得

解得 . 代入 的第三个方程,得

解得 . 因此,方程组(II) 的参数为 , 此时方程组(I)的全部解都是方程组 (II)的解,此时方程组 (II) 为

对其增广矩阵为 施以初等行变换,有

于是可得方程组(II)的通解为

其中 为任意常数. 比较两个方程组的同解表达式可知方程组 () 与() 同解.

五、基础解系的求解与判定

例 8 为线性方程组 的一个基础解系,

其中 为实常数. 试问 满足什么条件时, 也为 的一个基础解系。

【解】:由于 均为 的线性组合,又 为线性方程组 的一个基础解系,故它们都是 的解,所以由齐次线性方程组解的结构性质知, 都是线性方程组 的解。

下面证明 线性无关. 设

整理得

由于 线性无关,因此其系数全为零,即

该方程组的系数行列式

线性无关,则该方程组只有零解,故方程组的系数行列式不等于零,也即

于是:当 为偶数时, ;当 为奇数, ;即当 满足这样的条件时,必有 ,因此向量组 线性无关. 于是由基础解系的定义知 也为 的一个基础解系。

例 9 是 4 阶矩阵, 的伴随矩阵,若 是方程组 的一个基础解系,则 的基础解系可为(

(A) (B)

(C) (D)

【解】:由 是方程组 的一个基础解系,所以 , 从而可知 ,则 的基础解系包含有 3 个线性无关的向量. 因为

所以 的列向量组 是的 解向量组. 又

从而可知 线性相关. 于是由 可知 必线性无关,所以它们构成 的一个基础解系,所以正确选项应该为【D】。

练习题

1、选择题:

(1) 齐次线性方程组 仅有零解的充要条件是( )。

(A) 的列向量组线性无关

(B) 的行向量组线性无关

(C) 的列向量组线性相关

(D) 的行向量组线性相关

(2) 非齐次线性方程组 有解的充要条件是()。

(A) 的列向量组线性无关

(B) 的列向量组线性相关

(C) 可由 的列向量组线性表示

(D) 以上都不对

(3) 非齐次线性方程组 中末知量个数为 ,方程个数为 ,系数矩阵 的秩为 ,则

(A) 时,方程组 有解

(B) 时,方程组 有唯一解

(C) 时,方程组 有唯一解

(D) 时,方程组 有无穷解

(4) 阶矩阵 的伴随矩阵 ,若 是非齐次线性方程组 的互不相等的解,则对应的齐次线性方程组 的基础解系(

(A) 不存在

(B) 仅含一个非零解向量

(C) 含有两个线性无关的解向量

(D) 含有三个线性无关的解向量

(5) 为四阶矩阵, 的伴随矩阵,若线性方程组 的基础解系中只有 2 个向量,则 的秩是( )

(A) 0 (B) 1(C) 2(D) 3

(6) 均为 阶矩阵, 为单位矩阵,如果方程组 同解,则()

(A) 方程组 只有零解

(B) 方程组 只有零解

(C) 方程组 同解

(D) 方程组 同解

2、

试求线性方程组 的解.

3、已知三阶矩阵 的第一行是 不全为零,矩阵

,求线性方程组 的通解.

4、设向量组

试问:当 满足什么条件时,

(1)   可由 线性表出,且表示唯一?

(2)   不可由 线性表出?

(3) 可由 线性表出,但表示不唯一? 并求出一般表达式.

5、 矩阵, 矩阵,其中 阶单位矩阵,若 证明 的列向量组线性无关.

6、 是齐次线性方程组 的一个基础解系,证明

也是该方程组的一个基础解系。

7、设四元齐次方程组

且已知另一四元齐次线性方程组 的一个基础解系为

(1) 求方程组 的一个基础解系;

(2) 当 为何值时,方程组 有非零公共解? 在有非零公共解时,求出全部非零公共解.

8、已知齐次线性方程组

同解,求 的值.

9、 元线性方程组 ,其中

(1)证明行列式

(2)当 为何值时,该方程组有惟一解,并求 .

(3)当 为何值时,该方程组有无穷多解,并求其通解。

10、 为非零常数,试讨论 为何值时,齐次线性方程组

只有零解、有无穷多组解? 在有无穷多解时,求全部解,并用基础解系表示全部解.


相关阅读

1. 第十五届全国初赛(非数学A、B类)试题思路分析及课程学习、备赛,考研复习参考建议

2. 第十五届全国大学生数学竞赛决赛《非数学类》试题及详细参考解答与参考资源

3.  高等数学、数学分析、线性代数竞赛、考研、课程学习,有这一套就够了

4.  全国大学生数学竞赛初赛非数学历届真题解析在线课堂

5.  基于高等数学题练习,今年的这套数学分析考研题拿了135分

6.  关于全国大学生数学竞赛,你想知道的都在这里了
7. 《高等数学》上下册完整课件、知识点、题型、方法总结及典型例题与练习
8. 关于举办第十六届全国大学生数学竞赛通知

相关推荐

公众号推文内容分类及详细推文内容导航,可以点击公众号底部菜单中的“全部推文分类导航”选项,问题交流讨论请到添加配套QQ群

课件源文件、最新推文PDF文档下载,全国赛初赛历届真题解析教学视频/高等数学解题思路、方法探索与“解题套路”,查阅配套在线课堂的历届竞赛真题解析课程及各专题解析课程,具体介绍请在公众号会话框回复“在线课堂”获取课程链接,或点击本文左下角“阅读原文”直达课程或获取相关电子文档!

微信公众号:考研竞赛数学(ID: xwmath)大学数学公共基础课程分享交流平台!支持咱号请点赞分享!

↓↓↓阅读原文查看更多相关内容

考研竞赛数学
因为专业,所以精彩!一个免费的大学学习、生活,经验、经历、资源分享平台
 最新文章