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线性方程组是线性代数的主要研究对象,线性代数课程的内容基本上也是围绕线性方程组的求解而展开的,矩阵和向量为线性方程组的研究提供了有力、有效的工具;反过来也可以看到,线性方程组理论的发展也有助于我们更好地理解、掌握矩阵、向量相关的理论与方法,在一定程度上也促进和拓广了它们的进一步发展。
本讲的主要任务是通过一些典型例题的分析与求解,加深对线性方程组求解、解的结构性质的理解和掌握,同时通过综合性的问题的求解,提高线性方程组、矩阵、向量、行列式之间联系的认识和进一步加深行列式、矩阵和向量相关理论与方法的理解。
一、线性方程组解的判定与行列式
例1 已知线性方程组
有解,其中 为常数. 若
试求 的值(结果中不包括 ).
【解】:【法 1】首先由 可得
即 . 解得 或 . 当 时,对非齐次线性方程组的系数增广矩阵施行行的初等变换,有
要方程组有解,则必有 . 代入所求行列式,得
当 时,则有
则方程组有解,则必有 无解. 故当且仅当 满足题意并求得行列式的值为 8 .
【法 2】记非齐次线性方程组的增广矩阵为
由非齐次线性方程组有解的判定条件
由于 为未知数的数量,从而可知增广矩阵的秩
从而可知 。于是将 按照第 4 列展开,并由 ,得
解得 .
【法3】由于 ,从而可知方程组的系数矩阵的前三行线性无关,再根据 方程组有解,这样第四个方程可由前面三个方程线性表示. 又由于右边系数为 2 ,所以其线性组合表达式应该为
也即有 . 于是由行列式的拆分性质,得
(1) 证明: 若 两两不相等,则此线性方程组无解;
(2) 设 ,且已知 是该方程组的两个解,其中
写出此方程组的通解.
【解】:(1) 题中方程组的增广矩阵 为
它是一个方阵,且它对应的行列式 是一个范德蒙行列式,故由范德蒙行列式的结果,可知行列式
由 两两不相等可知 ,从而可知矩阵 的秩 . 但方程组是一个关于 3 个变量四个方程的方程组,如果方程组有解,必有
由于 ,所以原方程组不可能有解,即当 两两不相等,则此线性方程组无解.
(2) 当 时,则原方程组与方程组
同解. 因
所以该方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩
其中 3 是未知数个数. 所以方程组有无穷多个解,且其导出方程组的基础解系包含向量个数为
个. 又 是原非齐次线性方程组的两个解,故由解的结构性质知,
是导出齐次线性方程组的解. 又 ,则 是导出方程组的基础解系,于是由非齐次线性方程组的解的叠加原理,得原非齐次方程组的通解为
其中 为任意常数.
二、带参数方程组解的判定与求解
例 3 问 为何值时,线性方程组
有唯一解? 无解? 有无穷多组解? 并求出唯一解时的解和有无穷多解时的通解.
【解】:对方程组的增广矩阵作初等行变换化为阶梯形,有
由非齐次线性方程组解存在性的判定,有
(1)当 时, (未知量的个数),此时方程组有唯一解。对上式的阶梯形增广矩阵继续实施行的初等变换化为最简阶梯形,有
故得方程组的唯一解为
(2)当 时,上面第一次增广矩阵行初等变换得到的阶梯形为
如果 ,即 ,则
故方程组无解;而当 ,即 时,
其中 4 是未知量个数,此时方程组有无穷多解. 上面的增广矩阵的阶梯形为
故原方程的同解方程组为
取 为基本末知数, 为自由未知数,令 ,可得 ,即方程组有特解 . 同解方程组的导出齐次线性方程组为
令 分别代入上面的导出方程组,得基础解系为
原方程组的通解为
其中 为任意常数.
三、向量的线性表示与向量组的线性相关性
例 4 设有向量组
问 取何值时,
(1) 可由 线性表示,且表达式唯一?
(2) 可由 线性表示,且表达式不唯一?
(3) 不能由 线性表示?
【解】:设 可由 线性表示,且可表示为
记 ,即由 为列向量的矩阵,则 是否可由 线性表示转换为考察非齐次线性方程组 ,即
是否有解. 对方程组的增广矩阵施行初等行变换,有
(1) 若 且 ,
方程组有唯一解,即 可由 唯一地线性表示.
(2) 若 ,
方程组有无穷多个解, 可由 线性表示,且表达式不唯一。
(3) 若 ,则方程组的增广矩阵初等变换后的阶梯形矩阵为
故 ,故方程组无解,所以 不能由 线性表示.
例 5 设 是 维实向量,且 线性无关. 己知 是齐次线性方程组
的非零解向量. 试判断向量组 的线性相关性.
【解】:设有一组数 ,使得
因为 是线性方程组
的非零解向量,所以
即 。在 (*) 两端左乘 ,得
将 代入,得 . 由于 为非零解向量,故 ,从而可知 . 代入 式得
由于向量组 线性无关,所以
即 . 因此向量组 线性无关.
四、两个方程组解的关系
例 6 设四元齐次线性方程组 为
又已知某线性齐次方程组 () 的通解为
(1) 求线性方程组 的基础解系.
(2) 问线性方程组()及()是否有非零公共解?若有,求出所有的非零公共解;若没有,说明理由.
【解】:(1)方程组()的系数矩阵为
则 ,方程组有无穷多解,并且可知其基础解系包含的向量个数为
取 为基本末知数, 为自由末知数,分别令 代入方程组,可得其基础解系为
(2) 方程组()和()有非零公共解,将()的通解
代入方程组 得
整理可得 . 即当 时,向量
就是 与 的非零公共解.
例 7 已知下列非齐次线性方程组(I)和(II),
(1) 求解方程组(),用其导出组的基础解系表示通解;
(2) 当方程组()中的参数 为何值时,方程组()与()同解。
【解】:(1)设方程组()的系数矩阵为 ,增广矩阵为 ,对 作初等行变换,有
从上式可知 ,所以方程组有无穷多解,并可得其同解非齐次线性方程组的导出齐次线性方程组为
取 为基本末知数, 为自由末知数,取 ,得导出组的基础解系为
取 ,代入同解非齐次线性方程组
得其特解为 ,所以由非齐次线性方程组解的叠加原理知原方程的通解为
其中 为任意常数.
(2) 将方程组()的通解表达式
代入()的第一个方程,得
解得 . 代入 的第二个方程,得
解得 . 代入 的第三个方程,得
解得 . 因此,方程组(II) 的参数为 , 此时方程组(I)的全部解都是方程组 (II)的解,此时方程组 (II) 为
对其增广矩阵为 施以初等行变换,有
于是可得方程组(II)的通解为
其中 为任意常数. 比较两个方程组的同解表达式可知方程组 () 与() 同解.
五、基础解系的求解与判定
例 8 设 为线性方程组 的一个基础解系,
其中 为实常数. 试问 满足什么条件时, 也为 的一个基础解系。
【解】:由于 均为 的线性组合,又 为线性方程组 的一个基础解系,故它们都是 的解,所以由齐次线性方程组解的结构性质知, 都是线性方程组 的解。
下面证明 线性无关. 设
则
整理得
由于 线性无关,因此其系数全为零,即
该方程组的系数行列式
要 线性无关,则该方程组只有零解,故方程组的系数行列式不等于零,也即
于是:当 为偶数时, ;当 为奇数, ;即当 满足这样的条件时,必有 ,因此向量组 线性无关. 于是由基础解系的定义知 也为 的一个基础解系。
例 9 设 是 4 阶矩阵, 为 的伴随矩阵,若 是方程组 的一个基础解系,则 的基础解系可为()
(A) (B)
(C) (D)
【解】:由 是方程组 的一个基础解系,所以 , 从而可知 ,则 的基础解系包含有 3 个线性无关的向量. 因为
所以 的列向量组 是的 解向量组. 又
从而可知 线性相关. 于是由 可知 必线性无关,所以它们构成 的一个基础解系,所以正确选项应该为【D】。
练习题
1、选择题:
(1) 齐次线性方程组 仅有零解的充要条件是( )。
(A) 的列向量组线性无关
(B) 的行向量组线性无关
(C) 的列向量组线性相关
(D) 的行向量组线性相关
(2) 非齐次线性方程组 有解的充要条件是()。
(A) 的列向量组线性无关
(B) 的列向量组线性相关
(C) 可由 的列向量组线性表示
(D) 以上都不对
(3) 非齐次线性方程组 中末知量个数为 ,方程个数为 ,系数矩阵 的秩为 ,则 。
(A) 时,方程组 有解
(B) 时,方程组 有唯一解
(C) 时,方程组 有唯一解
(D) 时,方程组 有无穷解
(4) 设 阶矩阵 的伴随矩阵 ,若 是非齐次线性方程组 的互不相等的解,则对应的齐次线性方程组 的基础解系()
(A) 不存在
(B) 仅含一个非零解向量
(C) 含有两个线性无关的解向量
(D) 含有三个线性无关的解向量
(5) 设 为四阶矩阵, 为 的伴随矩阵,若线性方程组 的基础解系中只有 2 个向量,则 的秩是( )
(A) 0 (B) 1(C) 2(D) 3
(6) 设 均为 阶矩阵, 为单位矩阵,如果方程组 和 同解,则()
(A) 方程组 只有零解
(B) 方程组 只有零解
(C) 方程组 与 同解
(D) 方程组 与 同解
2、设 ,
试求线性方程组 的解.
3、已知三阶矩阵 的第一行是 不全为零,矩阵
且 ,求线性方程组 的通解.
4、设向量组
试问:当 满足什么条件时,
(1) 可由 线性表出,且表示唯一?
(2) 不可由 线性表出?
(3) 可由 线性表出,但表示不唯一? 并求出一般表达式.
5、设 是 矩阵, 是 矩阵,其中 是 阶单位矩阵,若 证明 的列向量组线性无关.
6、设 是齐次线性方程组 的一个基础解系,证明
也是该方程组的一个基础解系。
7、设四元齐次方程组
且已知另一四元齐次线性方程组 的一个基础解系为
(1) 求方程组 的一个基础解系;
(2) 当 为何值时,方程组 与 有非零公共解? 在有非零公共解时,求出全部非零公共解.
8、已知齐次线性方程组
同解,求 的值.
9、设 元线性方程组 ,其中
(1)证明行列式 ;
(2)当 为何值时,该方程组有惟一解,并求 .
(3)当 为何值时,该方程组有无穷多解,并求其通解。
10、设 为非零常数,试讨论 为何值时,齐次线性方程组
只有零解、有无穷多组解? 在有无穷多解时,求全部解,并用基础解系表示全部解.
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3. 高等数学、数学分析、线性代数竞赛、考研、课程学习,有这一套就够了
5. 基于高等数学题练习,今年的这套数学分析考研题拿了135分
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