第十六届全国大学生数学竞赛河南赛区决赛试卷
（数学 A 类，2024 年）
考试形式：闭卷 考试时间： 150 分钟 满分：100分
一、填空题（每小题 5 分，共计 25 分）
极限 .
设 为上半球面 与柱面 的交线. 从 轴正向往下看为逆时针方向, 则曲线积分 .
已知函数项级数 关于 在 上一致收敛，则参数 满足的条件是 .
设 是数域 上的 阶对角矩阵， 为其所有互不相同的特征值，并且它的特征多项式为
其中 . 设 为所有与 相乘可交换的矩阵构成的线性空间, 即
则 的维数为.
已知平面 与平面 构成二面角, 且点 在此二面角中, 则此二面角的角平分面方程是.
二、 (10 分) 在空间直角坐标系中, 设 为椭圆柱面 为空间中的平面, 它与 的交集是一个圆，求所有这样的平面 的法向量.
三、(10 分) 设 是两个 阶方阵.
(1) 证明: 若 , 则 , 其中 表示 的秩, 表示 的整数部分：
(2) 举例说明: 对任意的正整数 , 存在 阶方阵 , 使得 , 且 .
四、(10 分) 设 是 上的凹函数，即对任意 和 ，都成立
证明：对任意有限区间 及 ，有
五、(10 分) 设 , 证明:
(1) 对任意整数 都无法用 Eisenstein 判别法证明其在有理数域上不可约;
(2) 在有理数域上不可约.
六、(10 分) 设 在闭区间 上连续, 且在开区间 内取到它的最大值和最小值. 证明: 存在 , 使得
七、（10 分） 设 是 阶复方阵全体构成的线性空间， 上的线性变换 定义为: , 其中 表示 的转置. 证明: 可对角化的充要条件是 可对角化.
八、(15 分) 设 在 上连续, 在 内可导, 且 , . 证明: 对任意 , 存在正整数 , 使得存在两两不同的 ，满足
第十六届全国大学生数学竞赛河南赛区决赛试卷
（数学 B 类，2024 年）
考试形式：闭卷 考试时间： 150 分钟 满分：100分
一、填空题（每小题 5 分，共计 25 分）
表示不超过 的最大整数, 则极限 .
设 为上半球面 与柱面 的交线, 从轴正向往下看为逆时针方向, 则曲线积分 .
将函数 在 上展成余弦级数, 设 是其 Fourier 系数，则数项级数 的和等于.
设 是 阶方阵, 秩为 , 则其伴随矩阵 的非零特征值为 .
设直线 在平面 上的投影为直线 ，则点 到直线 的距离为 .
二、（10分） 确定实数 的值，使平面 与单叶双曲面 相交，其交线分别为椭圆和双曲线。
三、(10 分) 设 是 矩阵， 是 矩阵，并且
求 .
四、(10 分) 计算 ，其中 .
五、（10 分） 设实数列 满足 .
(1) 求二阶矩阵 , 使得 :
(2) 求 ;
(3) 利用（1）、（2）求 的通项公式.
六、(10 分) 设 在闭区间 上连续, 且在开区间 内取到它的最大值和最小值. 证明：存在 ，使得
七、(10 分) 设 分别是复数域上的 阶方阵.
(1) 证明: 无公共特征值的充要条件为矩阵方程 只有零解, 其中 是 阶矩阵;
(2) 设 的特征值全大于 0 , 且 , 证明: .
八、(15 分) 设 是在 上非负单调递增的连续函数, . 证明：
且系数 不能换为更大的数.
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