线性代数学与练第25讲 ：特征值与特征向量的概念、性质与应用举例

由线性空间中线性变换的讨论知道，线性变换 可以将一个向量转换为另一个向量. 在某些情况下，这种变换的会让向量的方向保持不变，而仅其长度发生改变；这种变换也对应着线性变换中的最简单的数乘变换，也就是一个矩阵乘以一个向量相当于一个数乘以一个向量；这种情况下产生的对向量的 "拉伸" 或 "压缩" 程度的度量值就是要讨论的特征值，而这些特定的向量就是要讨论的特征向量.

对特征值与特征向量的研究不仅在线性代数中有着重要的意义，在其他数学学科和现实应用中其应用也非常广泛，比如微分方程组的求解，量子力学中的能量本征值与波函数的表示，工程技术中结构分析中结构体系的本征频率、振型的计算，生物分子相似性比较问题，图像处理中的降维、特征提取、图像分类与识别，网络信息检索与推荐系统、机器学习等，常可归结为特征值与特征向量问题来解决. 特征值和特征向量在数学、物理和工程等多个领域不仅应用广泛，而且还对这些领域的研究进展产生了不少贡献。

本讲的任务：首先给出特征值与特征向量的概念，然后探讨特征值与特征向量的性质和它们的一些简单应用。

一、问题的提出

已知在某控制系统中，其输入 与输出 之间具有如下线性变换关系

在考察输入输出的过程中，对于某些输入 ，其输出 恰好是输入 的 倍；而对其他的一些输入则不存在这种缩放关系.

比如对于 ，其对应的线性系数 在输入

时，由 计算可得

即有 . 那么，对线性系统 中，哪些输入 (向量) 具有这样的特征，输入输出（向量）的变换比值（ ）等于多少，现在在控制论中比一般的不具有这样的特征的输入、输出更感兴趣.

二、特征值与特征问量的概念

定义1 设 是 阶方阵，若存在数 和非零的 维向量 ，使得

则称 为矩阵 的一个特征值， 为 对应于特征值 的一个特征向量.

【解】：分别计算 ，得

因此，根据定义， 是 的特征向量，且对应的特征值为 不是 的特征向量.

例 2 设方阵 满足 ，证明 的特征值为 0 或者 1 .

【证明】：设 为 的一个特征值， 为 对应于特征值 的特征向量，即 。由已知条件 可得

于是有 . 由于特征向量 ，因此

即 或 .

【注】：该例子只说明了 的特征值为 0 或者 1 ，但是 0 和 1 不一定同时都是 的特征值. 可通过下面 3 个方阵进行验证:

第一个是两个 0 ，第二个是两个 1 ，第三个是 0 和 1 .

三、特征值与特征向量的计算

由特征值与特征向量的定义，如果 为 的一个特征值，非零向量 为其对应的特征向量，则有 ，即 。这表明特征向量 是特征值 对应的齐次线性方程组 的非零解，而方程组有非零解当且仅当 ，即 . 因此，矩阵 的特征值即为满足行列式 的 的值.

定义 2 设 为 阶方阵，称由行列式

计算得到的多项式 为 的特征多项式. 其对应的方程

称为特征方程.

【注】: 是一个关于 的 次多项式， 次特征方程 的解都是 的特征值. 在复数域内， 有 个特征值.

由此得出求方阵的特征值与特征向量的计算步骤如下:

(1) 令特征多项式等于 0 ，即求出特征方程 的全部根 ，得方阵 的所有特征值；

(2) 分别求出每个相异的（重根算 1 个）特征值对应的齐次线性方程组

的基础解系 ，则

不全为零) 就是 对应于特征值 的全部特征向量.

例 3 求下列矩阵的特征值与特征向量.

(1) .

(2) .

【解】：（1）求解特征方程. 令特征多项式

得 的特征值为 。

当 时，考虑方程组

对其系数矩阵施行行的初等变换，有

取 为自由未知数，求得方程组的基础解系为

因此 对应于特征值 -2 的全部特征向量为

其中 不全为零.

当 时，考虑方程组 ，对其系数矩阵施行行的初等变换，有

则其基础解系课取为 . 因此 对应于特征值 4 的全部特征向量为

(2) 求解特征方程. 令特征多项式

解得 的特征值为 .

当 时，考虑方程组 ，对其系数矩阵施行行的初等变换，有

求得方程组的基础解系为 . 因此 对应于特征值 -2 的全部特征向量为

当 时, 考虑方程组 ，对其系数矩阵施行行的初等变换，有

求得方程组的基础解系为 . 因此 对应于特征值 4 的全部特征向是为 ，其中 .

定义 3  设 阶矩阵 的特征多项式为

其中 ，则 称为特征值 的代数重数，而 的特征子空间 的维数（即对应的齐次线性方程组的基础解系包含的非零向量个数）称为 的几何重数.

定义 4 设 是 阶方阵 对应于特征值 的所有特征向量以及零向量所组成的集合，即

则 构成子空间，并把它称之为矩阵的特征值 对应的特征子空间.

【证明】：由于 不可逆，因此 的秩小于 ，方程组 存在非零解，不妨记为 ，由 值数字 0 为 的一个特征值， 的非零解都是 对应于特征值 0 的特征向量.

四、特征值与特征向量的性质

性质  设 为方阵 的特征值， 为 对应于特征值 的特征向量，则

(1) 对数 为方阵 的特征值， 为 对应于特征值 的特征向量.

(2) 对正整数 为方阵 的特征值， 为 对应于特征值 的特征向量.

(3) 对矩阵多项式

为方阵 的特征值， 为 对应于特征值 的特征问量.

(4) 若 可逆，则 是 的特征值.

(5) 对数 也是 对应于特征值 的特征向量.

(6) 若 都是 对应于特征值 的特征向量，则

时， 也是 对应于特征值 的特征向量.

【证明】：(1) 由已知 ，得 为方阵 的特征值， 为 对应于特征值 的特征向量.

(2) 由于 ，因此 为方阵 的特征值， 为 对应于特征值 的特征向量.

(3) 由于

因此 为方阵 的特征值， 为 对应于特征值 的特征向量。

(4) 当 可逆时，由 ，有 ，因 ，知 ，故 ，所以 是 的特征值.

(5) 由 为 对应于特征值 的特征向量，故有

即 也是 对应于特征值 的特征向量.

(6) 由 都是 对应于特征值 的特征向量，可得

所以 也是 对应于特征值 的特征向量.

(1) .

(2) .

【证明】：(1) 由条件知方程 的 个解为 ，从而有

令 ，得

所以 。

(2) 由行列式的定义可知 中的单项式 来自

中的展开项

从而 前的系数为 . 比较(1)中的 的系数，由于都是表示同一个特征多项式，所以 的系数相等，即

所以 .

【解】：因为 是矩阵 的一个特征值，所以

故 .

【法 1】设矩阵 的其余特征值是 ，则

即 . 解得 或 ，即矩阵 的其余特征值为 4 和 6 。

【法 2】直接解特征方程，有

解得 . 即矩阵 的其余特征值为 4 和 6 .

【注】：整系数多项式的整数根一定是常数项的整数因子. 利用这个结论，可以确定某些矩阵是否有整数特征值.

定义 5 设方阵 的 个特征值为 ，称 为 的迹，记为 ，即

推论 方阵 可逆的充分必要条件是它的特征值都不等于零.

【解】: 由题设可知 ，故 可逆，于是 ，所以

则 . 这里虽然 不是矩阵多项式，但也具有矩阵多项式的特性，从而可得 的特征值为

定理 2 设方阵 的全部相异特征值为 ，相应的代数重数为 ，则

【证明】：下面证明

对其它特征值 同理可证结论成立. 设

为 的基础解系. 由 通过扩充方式可以得到向量空间 的一组基

于是对 ，有 ；对 ，有 ，从而存在一组数 , 使得

从而有

记，

则 。由

可知 的特征值相同. 由

可知 的特征值 的代数重数大于等于 . 从而可得 的特征值 的代数重数 满足关系式 。

【证明】：假设 是 的特征向量，则存在 ，使得

由题设可知 ，代入上式得

移项整理得

由于 ，故 线性无关，从而可知

即 ，与题设 矛盾. 所以假设不成立，即 不是 的特征向量.

定理 4  设 为方阵 的相异特征值， 为 对应于 的线性无关的特征向量 ，则向量组

线性无关.

【证明】: 设 ，下证

令 ，于是有

先证 。

反证法. 设 中不等于 0 的有 ，从而有

由

为 对应于 的特征向量以及 ，可得 也是 对应于 的特征向量，同理可得 分别为 对应于 的特征向量，从而得出相异特征值 对应的特征向量 满足