线性代数学与练第22讲：欧氏空间与向量组的正交性

在向量空间中学习了基、维数，并通过基引入了坐标来描述向量，除了这些描述向量空间的特征量，对于高维的向量空间在实际中的应用还远远不够. 在研究二维、三维向量时，对于其中的向量，咱们还着重研究了长度、夹角、内积等几何性质与运算，这些概念也可以直接从二维、三维推广到一般的高维向量空间。

在引入长度、夹角、内积等几何与代数特性理论方法以后，使得向量空间在几何学、物理学、工程学以及计算机科学等领域都得到了广泛的应用。例如，在物理学中，使得一些量更容易测算与描述；在计算机视觉和机器人科学中，可以用来描述机器人的姿态、位置和运动轨迹等，从而实现机器人的精确控制和定位；在信息检索领域中信息相似程度的度量；在建筑设计和机械制造等领域中，被广泛应用于空间的建模和仿真等.

本讲首先通过内积来定义 维向量的长度和夹角以及向量的正交性，然后介绍一类特殊的矩阵——正交矩阵，最后研究如何从向量空间中线性无关的向量组构建与之等价的标准正交向量组方法，也就是 Gram-Schmidt 正交化方法.

一、内积与欧氏空间

定义 1 设 维向量

令

称 为向量 的内积，并把定义了内积的向量空间 称为欧几里得空间，简称欧氏空间（Euclidean Space）。

【注】在不同的教材中内积记号可能不能，有的可能用圆括号，如 ，也有的用方括号 ，咱们这里使用了尖括号 ，或 。

内积具有下面的性质（其中 为 维列向量， 为实数）：

(1) 正定性: 当且仅当 ；

(2) 对称性: ;

(3) 线性性: .

【注】具有以上性质的运算即可作为一种内积运算，内积定义不同对应不同欧氏空间.

定义 2 设 维向量 ，令

称 为 的长度（或范数）。

长度为 1 的向量称为单位向量. 当 时， 为单位向量，称 为 的单位化.

定理1（Schwarz 不等式） 。

【证明】: 给定 ，若 或 结论显然成立. 设 ，由

由于对于任意 上面关于 变量的二次函数 ，故有

即 。

【注】：对于二维、三维向量而言，常数就是向量的模，而内积就是通常的点积、数量积的坐标描述形式.

向量的长度具有下面的性质:

（1）非负性：当 时， 的充要条件时 ；

(2) 齐次性: ，其中 为常数；

(3) 三角不等式: 。

【注】：（1）和（2）利用定义即可获得. 对于（3），可得

定义 3  当 时，称

为向量 的夹角，当 时，称 与 正交，记为 。

规定：零向量与任何向是都正交.

【注】：容易看到，这里定义的向量的内积、长度和夹角具有与中学中所学的二维、三维向量的数量积（内积、点积）、长度与夹角一样的涵义与基本属性。

例1 在 中求一单位向量，使其与 都正交.

【解】: 设所求为 ，由所求向量与三个向量正交，即向量 与三向量的内积等于 0 ，且由 为单位向量，得

对齐次线性方程组系数矩阵作初等行变换，有

取 为自由未知量，则可得齐次方程组的基础解系为

故方程组的通解为

其中 为任意常实数. 又因所求为单位向量，则有

解得 . 因此所求向量为

【证明】：设 都是列向量，则由题设可知

记 ，则上式等价于

即 是齐次线性方程组 的解向量。又 线性无关，故 ，于是可知 的基础解系由 个解向量组成，所以 的秩 . 又 ，所以 ，即向量组 包含的向量的个数大于它的向量组的秩，所以向量组 线性相关.

二、正交向量组

在几何空间中，一般情况下使用直角坐标系相比使用其它坐标系更加简便、直观，与坐标系对应的有两个或三个基向量，也就是互相垂直（正交）的向量. 在欧氏空间中，与此类似的是正交基，也就是一组两两正交的非零向量。

定义4  设 都为非零向量，如果 两两正交，即

则称 为正交向量组。

进一步，如果则称 为标准正交向量组，也称为规范正交向量组.

定理2（正交向量组的性质）设 为 中的正交向量组，则

(1) (勾股定理)

(2) 线性无关.

【证明】：依据内积性质和向量组的正交性，有

于是由内积的线性性，得

（2）设有数 使得 ，则任取 ，两边与 作内积，则由内积的性质和 的正交性，得

由于 ，所以 . 这说明 线性无关.

【注】：正交向量组线性无关，但是反过来不一定成立，即线性无关的向量组不一定是正交向量组. 比如

显然三向量线性无关，但其中任何两个向量都不正交.

例3 在 中求一向量，使其与向量 构成一个正交向量组.

【解】: 显然 是正交向量，设所求为 ，则由三向量构成正交向量组，故满足

取 为自由未知数，解得

即齐次线性方程组的基础解系为

故直接取 ，则 构成一个正交向量组。

【注】: 因为 是正交向量组，故 线性无关，从而也构成 的一组基.

定义 5  若 为向量空间 的一组基，且 两两正交，则称 为向量空间 的正交基. 若 都是单位向量，则称其为向量空间 的标准正交基.

【注】： 为标准正交向量组的充要条件是

例如，在 中

是标准正交基，

也是标准正交基.

【注】向量 在标准正交基 下的坐标就等于该向量与相应单位基向量的内积，即

则

比如 是 的一组标准正交基，向量 在该基下的坐标分别为

标准正交向量组和标准正交基具有良好的性质，不仅方使用于研究空间中的向量，也为后续学习涉及的部分特殊矩阵捉供了重要的基础。

三、施密特正交化方法

施密特(Gram-Schmidt)正交化方法是从已有的线性无关的向量值出发来构建一组单位正交向量组的方法. 具体可用力作功中用到的对力的分解来说明其思想. 如下图.

在计算力 做功时需要将力分解为与运动方向平行的力 以及与运动方向垂直的力 ，即互相垂直，也即正交的两个力（向量）. 根据向量的性质，其中 可以描述为 在位移向量 上的投影乘以 的单位向量，即

其中 为与位移同向的单位向量，于是可得

由此也就可以得到 ，且 . 把两个分向量单位化，也就得到一组正交的单位向量组.

设 是线性无关的两个向量，从 出发求两个单位正交向量 的步骤是: 

首先，将 单位化来求第一个单位向量， ；

然后，利用 减去 在 上的投影向量求得第二个向量为

第三，单位化 ，得第二个单位向量 ；显然

将上述思想进一步推广，从线性无关的三个向量 出发求三个单位正交向量的步骤可以描述为：

(1) 计算第一个单位向量:

(2) 求第二个单位向量:

(3) 求第三个单位向量: 取

满足 ， 即

解得

得第三个向量为

定理3 设 是向量空间 中的线性无关向量组，则按如下方法所得向量组 是 中的标准正交向量组:

【注】：(1) 如果 ，则得到欧氏空间 的一组标准正交基.

（2）如果在上述定理中，只需要得到一组正交向量组，则所得向量不必进行单位化，此时公式变为:

求标准正交基也可以在这个公式得到正交基的基础上再逐一单位化来得到.

例4  设 ， 将其化为一组标准正交向量组.

【解】【法 1】 直接将第一个向量单位化，得

因此得到的标准正交向量组为

【法 2】取 ，于是由

得

即得正交向量组

将它们单位化即得

【解】：由 可知， 都满足方程

的三个未知数构成的向量，取 为自由未知数，故得其基础解系为

将 正交化: 取

三个向量的单位向量分别为

因此 与 分别为

由矩阵乘法计算可得

四、正交矩阵及性质

定义 6  如果 阶实矩阵 满足

则称 为正交矩阵.

性质1 如果 为正交矩阵，则 。

性质2 为正交矩阵的充要条件是 的列（行）向量组为标准正交向量组。

性质3 若 为正交矩阵，则 或 。

性质4 若 为正交矩阵，则 也是正交矩阵。

性质5 若 为正交矩阵，则 也是正交矩阵。

性质6 若 为正交矩阵，则对任意的 ，有 。

由向量长度的定义，可得

【注】：从上面的性质知道，利用正交矩阵通过矩阵乘法对向量施行变换，所得向量与原向量的长度相同. 同理可得向量的夹角也不变. 因此在几何空间中进行几何变换，当变换矩阵为正交矩阵时可以保持图形的形状不变。

例6  设 为实单位向量，证明： 既是实对称矩阵，也是正交矩阵.

【证明】：首先

故 是实对称矩阵. 又 为单位向量，则 ，从而有

因此 是正交矩阵.

例7 设 为向量空间 的一组标准正交基，证明

也是 的一组标准正交基.

【证明】：令 ，不妨设向量都是列向量，则依题意有

进一步，容易验证有 。于是

故由正交矩阵的定义与性质知 也是 的一组标准正交基.

【注】：题中的矩阵 是标准正交基 到标准正交基 的过渡矩阵。

练习题

1、已知 ，计算 .

2、已知 ，计算 的夹角.

3、已知 ，计算 的夹角.

4、在欧氏空间 中，试求与 都正交的向量.

5、设 ，证明:

(1) .

(2) .

6、设 ，若 与 都正交，证明 与 的任意向量都正交.

7、用 Gram-Schmidt 正交化方法把以下矩阵的列向量组标准正交化.

(1) .

(2) .

8、求齐次线性方程组

的解空间的一组标准正交基.

9、判断下列矩阵是不是正交矩阵.

(1) .

(2) .

10、设 为正交矩阵，证明矩阵

都是正交矩阵.

11、若 且 ，证明 为正交矩阵.

附加题

1、设 是欧氏空间 中的两个向量，求 ，使得 成为 中的一组标准正交基.

2、设 为向量空间 的一组标准正交基，且

则 也是 的一组标准正交基的充要条件是 为正交矩阵.

3、设 是欧氏空间的一组线性无关的向量， 是由这组向量通过正交化方法所得的正交向量组. 证明: 这两个向量组的格兰姆 (Gram) 行列式相等，即

其中

4、任一可逆的 阶矩阵 都可以表示为 ，其中 为 阶正交矩阵， 为 阶上三角矩阵.