2024年11月9日上午，全国参赛学友在同一时间，不同地点，分非数学 类、非数学 类，数学 类，数学 类使用同一套试卷参加了第十六届全国大学生数学竞赛初赛，咱号也推送了学友们分享的，全国大学生数学竞赛组委会提供的竞赛真题及参考解答，在推文后面学友们也激烈的进行了讨论并分享了一些竞赛情况与感受。小编也分析了一下竞赛真题，下面一起来谈谈非数学 卷的题目，看看如何像推文标题所说的轻松拿捏 80+，90+的分数！不知道学友们是否还记得咱们《高等数学》或《微积分》 课程的课堂中，任课老师们一再强调的大学数学课程学习的基本要求：概念能复述、定理能证明、公式能推导、例题能重现、练习能独立完成。对于考试，教学中老师强调的考试基本要求是：换个符号，换个数字，变个形、换个描述方式要会要会做！"回归教材、回归课堂"这也是当前特别强调的教学要求，也是当前高考、研究生招生考试中强调的出题标准，作为覆盖面极广、目标之一为指导和促进大学数学基础课程教学改革的全国大学生数学竞赛也不例外。这也是咱们公众号一再强调的：教材、课堂是根本，打牢基础，适当提高，切实服务日常教学与学习。这些要求从这次的竞赛试卷中其实也可以体会到，下面以第十六届全国大学生数学竞赛非数学 类和 卷两套试题为例一起来分析、探讨一下。首先是非数学 类、 类的 5 个填空题、三个大题（第二题到第四题），应该属于是不用思考的，课堂上反复强调的或者老师讲过的、做过的练习题型，真正就属于换个符号，换个数字，变个形、换个描述的问题，属于完全的送分题。一共 70 分。非数学 A 类填空题第 1 题:
【分析】这个题目基本上不用思考，典型的分部积分计算题，题目的原型可以直接就是教材中的有关于分部积分的例题和最简单的有理函数的积分。其基本解题思路就是咱们公众号及历届真题解析在线课堂中一再强调的，遇到不定积分、定积分的被积函数不能拆分为两个函数的乘积时，直接可以以被积函数为u，x为v，尝试分部积分法探索可能的计算过程。于是有
余下的就是一个基本有理式积分，积分的直接计算法，分解为部分分式，得
非数学 A 类填空题第 2 题、B类第 5 题:
设 ，其中 ，则
余下就是最典型的一元函数的极限问题了，一次洛必达法则，再等价无穷小或洛必达法则，得
非数学 A 类填空题第 3 题、B 类第 4 题:
已知函数 , 且 具有二阶连续偏导数, 则
【分析】这个题目基本上就没什么可讨论的了！是比教材中例题、练习都简单的复合函数求导数的问题，也是真题解析在线课程和日常课程考试、竞赛、考研中一再强调的题型，抽象的复合函数求导，咱们都给出了非常详细的讨论和例题。高等数学课程学习系列推文：第 12讲 多元复合函数的求导法则（点击查看）。只要会做一般教材中的例题，这个题目就可信手拈来了！真正的换个表达式而已！咱们给出的平时例题与练习一般都还比这个要复杂, 计算量要大! 同时要注意条件 具有二阶连续偏导数，这是二阶混合导数合并的基础！一般混合偏导数项没有合并说明对问题理解不够透彻，严格来说答案不完整！非数学 A 类填空题第 4 题：
直线 在平面 上的投影直线 的单位方向向量为.
所求垂直平面与平面 的交线即为投影直线，直线的方向向量单位化即可。有的同学可能会问，单位向量要不要正负，一般来说不需要，取一个是不能算错的！当然，这样的问题虽然可能是课堂上讲过，或者平时练习过的问题，还是稍微转了一下弯的，所以在咱们的高等数学、数学分析综合提高练习册中也有汇编 (点击查看: 高等数学、数学分析综合提高练习册,考研、竞赛有这一套就够了），比如练习 51：空间平面与直线方程 专题练习的第 6 题。
设 为圆周 ，取逆时针方向，则第二型曲线积分
积分与路径无关, 或者格林公式. 由积分与路径无关, 直接取路径 , 逆时钟方向就行。非数学 B 类填空题第 1 题：
极限 .
非数学 B 类填空题第2题：
极限 .
【分析】两个部分，第一部分偶倍奇零，第二部分定积分的几何意义，半径为 2 的上半圆周的面积，即
设 由方程确定，则 .
二、(本题 14 分) 求微分方程的通解.
对于这个题目，只需要探索解题思路的第一个阶段就可以完成求解，即直接改写方程比对类型即可。首先，依据微分结构容易看到，方程的变量不可分离，而且也不是直接的全微分方程，所以改写微分方程为导数结构，即有由于该方程不是齐次线性方程, 故考虑线性方程结构, 进一步改写, 得再对比标准类型。 的伯努利方程。令 ，方程转换为一阶线性微分方程方程，十四分啊，学友们，还有同学留言说没做出来！！
注意：使用方法不同，可能通解的结果表达式不同。
三、(本题 14 分) 设函数(1) 求常数 的值，使得 在区间 上连续；(2) 对(1)中 的值，求函数 的最小值 与最大值 .
【分析】这个题目简直不讲武德，咱们平时练习题至少来一个判断导函数在端点处或分段点处连续！这里直接就只需要判定函数连续！妥妥的送分题！一个是闭区间上连续性，一个是一元函数闭区间上连续函数求最值。简单函数，固定套路!第(1)直接洛必达法则求 的右极限，得 . 第(2)直接闭区间上连续函数求最值的思路，最值点为端点、不可导点和导数等于 0 点，比较大小即可。对于这个题目由基本结论,
且随着 增加， 的差越来越大，从而 的差也越来越大，故 单调减少，因此函数在左端点 处取到最大值，在右端点 处取得最小值，即
基本题型与典型参考题以及对应的求解思路与方法，可以查阅高等数学系列推文：第 10 讲 函数的连续性与间断点（点击查看）和第 19 讲 函数的单调性、极值与最值及其应用（点击查看）。
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四、(本题 14 分) 求曲面积分，
其中 是上半球面 的上侧.
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以上是 5 个填空题与三个大题, 它们可以说都是平时的课堂教学中要求掌握的题型与方法,非常基础与直接。下面再看看余下的两个大题：五、(本题 14 分) 设 是 上具有连续导数的非负函数, 且存在 使
得对任意的 , 有.
证明：对于任意实数 ，恒有 .
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六、(本题 14 分) 证明：级数 收敛，其中 表示不超过 的最大整数。
【分析】这题目没有那么好拿捏，但是思路是可尝试探索的，毕竟大题是有步骤分的！考察表达式，首先想到的是什么呢？表达式初等化！咱们一再强调，高等数学、微积分的研究对象是一般是初等函数，所以不是初等函数表达式的结构，比如最值函数、取整函数、绝对值函数、符号函数等，第一个操作就是将它们转换为初等函数表达式来考虑；其次就是从级数的角度去考虑，对于不能直接求和，不能直接利用比值、根值法、或莱布尼兹方法直接判定收玫性的级数，应该考虑比较法，或者放大后的部分和拆项方法来探索可能的思路。至于要在非常紧张的时间内, 如果没有做过类似的问题的话, 完全探索出这个题目的求解过程基本上很难，所以这个题目咱们不算在内！这样，非数学 A 类试卷，在去掉这个题目后，如果不考虑计算错误，咱们应该可以轻松拿捏的分数就是 80 多分了!下面咱们再来看看非数学 类是几个大题：
非数学 B 类第二题:
二、(本题 14 分) 用 Lagrange 乘子法求函数 在平面 和圆柱面 的交线上的最大值.
【分析】方法告诉我们了，余下的问题求解求解方程组了。根据最值的存在性，求出所有驻点后比较函数值，最大的就是最大值了。轻松搞定！三、(本题 14 分) 求函数 在 处的 Taylor 级数, 并确定它的收敛域。
【分析】换个函数而已，具体可以参考高等数学系列推文：第 38 讲函数的幂级数展开及应用（点击查看），将其中 换成 即可。
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课件中的 展开的过程如下：
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所以只要稍微改一下数结果就出来了!
五、(本题 14 分) 已知 (1) 计算 (2) 计算 .
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第(2)问稍微难点，但是基于第一问的思路，可以得到第二问的结果。
综合以上分析，对于非数学 类，如果不考虑计算错误，92分应该就可以拿到了！而计算是否正确就看大家的平时学习过程是否按照老师的要求来：学数学一定要动笔，做练习一定要抄题，一定不要阅读方式学数学！这和咱们公众号一再强调的：学数学尽量不要积累电子文档，一定要抄抄写写！每个过程，每个步骤都要动手检验！这既是理解数学问题、掌握求解思路、方法的基础，也是对计算能力的一个有效训练！同时也是考试解题过程正确的保证！从以上分析学友们也应该知道如何复习准备全国初赛和如何选择备赛、备考资料了！就如同有些学友留言所说的：高等数学课程的学习，关于高等数学相关的考试，不管是竞赛还是考研，跟着公众号《考研竞赛数学》就够了！
好了，今天的推文内容就到这里，下课！
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