教、学、评一致性的小学数学
“数与运算”单元整体教学实践研究
备课的“碎片化”导致教学的“碎片化”，这样会使学生孤立地学习一个个知识点，同一领域、同一单元的知识学习所得互不相关，这种零散的、碎片化的知识没有在学生头脑中形成一个具有内部规律的整体结构，故学生所学所得极易忘记，学习效率降低。
《义务教育数学课程标准（2022年版）》对教、学、评一致性的阐述为教学设计与教学实践提供了新的理念指导。“教、学、评一致性”就是在课堂上同步推进教学、学习与评价活动，且在最大限度上保持三者的一致性，将有效评价渗透到教学与学习的各个环节中，更好地指导学生探究、运用所学知识。
教、学、评一致性始于教学设计，因此教师应以核心素养为导向，在单元整体设计中综合分析课程、教材、学生等要素，确定合理清晰的学习目标；并以学习目标为归宿，设计与目标相匹配的评价；将目标转变为合理的、与学生学习经验相对接的学习活动，为学生提供序列化的学习体验，从而实现“教、学、评的一致性”。
我们基于柳州市小数中心研究成果“结构化教学单元纲要式备课”操作模型和“四环节超循环课堂增效模式”开展单元整体教学实践研究。
以上图示来自广西基础教育教学成果《基于提质增效的小学数学结构化教学创新实践》
理法结合，迁移联通，促进运算能力进阶发展
——以“三位数乘两位数”为例
单元主题
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“三位数乘两位数”是小学阶段整数乘法知识的最后一个板块，是学生在认识、理解和掌握“两位数乘两位数”的知识的基础上进行算法迁移和理解算理的，是小学阶段笔算乘法的总结。众所周知在计算教学中要注重培养学生的运算能力，“运算能力主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题。”由此可以看出，正确计算、理解算理、用合理和简洁的运算解决问题是运算教学的主要目标。在此基础上提出“理法结合，迁移联通，促进运算能力进阶发展”的研究主题基于以下三方面思考。“三位数乘两位数”的核心目标是理解算理、掌握算法；“三位数乘两位数”应为“迁移”而教；计算教学应培养学生的高阶思维。
本单元教学基础在于理法结合，关键是知识间的迁移联通，培养学生运算能力，为促进学生高阶思维的形成做好充足的准备。
课程解读
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年段课标目标结构
内容要求：探索并掌握多位数的乘法，感悟从未知到已知的转化。
学业要求：能计算两位数乘三位数。
教学提示：通过数的认识和数的运算有机结合，感悟计数单位的意义，了解运算的一致性。利用整数的乘法运算，理解算理与算法之间的关系；在这样的过程中，感悟如何将未知转化为已知，形成初步的推理意识。
单元教学目标：
1.理解三位数乘两位数的笔算算理、会计算三位数乘两位数。
2.经历探索积的变化规律的过程，理解规律的内涵，并能运用规律使一些计算简便。
3.结合具体情境，了解常见的数量关系，即“总价=单价×数量” “路程=速度×时间”，并能运用数量间的关系解决一些简单的实际问题。
教学内容结构分析
《三位数乘两位数》是人教版四年级上册第四单元的内容，是小学阶段整数乘法的最后一个版块。本单元的学习是在乘法口诀、多位数乘一位数、两位数乘两位数的基础上学习的，教学内容主要有三位数乘两位数笔算、积的变化规律、常见的数量关系，具体结构如下：
本单元内容主要有两方面的作用：
一是总结整数乘法的一般方法。本单元是整数乘法学习的最后一个阶段，需要对整数乘法的算理和算法进行回顾与整理。结合梳理进一步学会在整数乘法运算中采用估算的方法，初步确定结果的大致范围，进一步强调对乘法运算的结果进行验算，以保证运算结果的正确性，养成良好的运算习惯。
二是研究“积的变化规律”，并能运用规律使一些计算简便；总结梳理基于乘法运算的数量关系，充分体验运用相应的数量关系解决一些实际问题的过程，以培养学生用乘法运算解决实际问题的能力，为后续进一步学习乘法运算作准备。
单元认知结构分析
从人教版教材安排来看，学生在学习“三位数乘两位数”之前已经学习了多位数乘一位数的口算和笔算、两位数乘两位数的笔算，这为三位数乘两位数的学习做好了准备。那么学生学完“三位数乘两位数”这一内容后，正确率怎么样？算理理解如何？能不能灵活运算？我们对三年级学生（47人）做了测试调查。
1.从计算的正确率的角度分析
此题了解学生是否能正确计算多位数乘一位数、两位数乘两位数、三位数乘两位数，从上表中看出学生计算正确率较高，说明学生能掌握程序性的计算方法，85%以上学生能正确计算。其中错误的学生主要是进位错或者加法错误。说明学生不需要老师教，都能自主迁移算法经验，会正确计算三位数乘两位数。
2.从算理理解的角度分析
此题了解学生对算理理解的情况，学生能正确表示出每一步计算的意义的有40人，占85%，说明学生对于计算的道理也基本理解。
3.从算法多样和优化策略的角度分析
以上三题分别了解算法多样化和优化策略问题，从数据看，学生能用2种方法计算的有6人占12.8%，其中63.8%的学生仍然习惯用竖式计算。用分拆的方法（实际也是根据运算的意义进行分拆）占44.7%，说明算法多样化比较弱，因而在运算策略上就更为单薄。
综上，我们认为学生能掌握正确计算三位数乘两位数的方法，也能由两位数乘两位数的经验理解三位数乘两位数的算理，此外，计算教学过分强调精确计算，忽视估算能力的培养；过分追求掌握统一的竖式计算，而影响了学生算法多样化和优化策略的培养等，使得学生的高阶思维难以得到锻炼。
学习活动安排
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关键要素
数的运算“教什么”关键要素：意义、算理、算法
数的运算“怎么教”关键要素：意义理解、理法结合、技能训练、优化运用
单元统整分析
为了有效的做好整数乘法的教学，我们从教材编排结构、认知结构、竖式教学的价值的角度进行单元统整分析重构教学。
1.整数乘法教材编排分析
（1）有关“乘法”内容的教材编排分析
人教版教材中对于乘法的教学有三个层次：乘法的初步认识、乘法口诀是第一层次，多位数乘一位数、两位数乘两位数、三位数乘两位数是第二层次，小数乘法是第三层次。
（2）有关“整数乘法”的教材编排分析
“两位数乘两位数”和“三位数乘两位数”被分别安排在了不同的年级 。“两位数乘两位数”的学习采用了“乘数是整十数的口算乘法——两位数乘两位数的口算乘法——两位数乘两位数的不进位笔算—— 两位数乘两位数的进位笔算——两位数乘两位数的练习”的学习探索序列，其中“两位数乘两位数的口算”和“两位数乘两位数的不进位笔算”是利用同一个例题“14×12”展开教学的。在实际教学中我们发现这样的学习安排存在着以下的不足。
①知识链接不够紧密，缺少结构性。
②教材安排步子较小，降低了学习的探索性。
2. 有关“整数乘法”的学习结构分析
“整数乘法”的学习结构相同，都在解决问题中经历口算、笔算和估算。整数乘法的计算道理也是相同的，在理解乘法意义的基础上，运用分与合思想把新知变旧知，凸显位值在笔算中的作用。
3.有关竖式教学的价值分析
我们所教学的竖式，它的本意是“心算笔记”相对合理、比较简便的一种记录方式。在后继数学学习中，除法笔算是以两三位数乘一位数的口算为基础。可见，竖式只是继续学习的一种计算工具，一种解决数学问题过程中使用计算的“草稿”。
基于以上认识，对于“整数乘法”的教学，教材是循序渐进进行编排的，从乘法口诀到两位数乘一位数、两位数乘两位数、三位数乘两位数，都是把一个个新问题转化为旧知识解决的。如何体现对主题的整体把握，能否一以贯之地让学生感受到这样算的道理？我们重构学习单元，凸显教学整体结构。
单元课时安排
通过教材分析，现将本单元内容进行系统重构，具体内容见下表。
课时解读
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课时目标
1.借助“□□□×□□”回顾三位数乘两位数的口算、估算和笔算方法，结合已有知识经验理解三位数乘两位数的笔算算理，类推三位数乘两位数的笔算方法，归纳笔算乘法的算法和算理，形成完整的整数乘法的知识结构。
2.经历自主探索三位数乘两位数笔算方法的过程；能在竖式中合理地解释三位数乘两位数与两位数乘两位数和三位数乘一位数的联系与区别，准确地确定部分积的位值
3.针对具体的问题，能灵活选择合适的方法进行正确地计算。在探索计算方法、解决问题的过程中体会知识之间的联系，培养迁移、类推和梳理知识的能力，优化学习的方法。
课时重难点
从学生前测看，能正确计算三位数乘两位数的占91%以上，能解释每一步的含义的占85%以上，说明学生对于三位数乘两位数的算理理解与算法掌握不存在太大的困难，但是学生不能用多种策略进行计算，所以本节课的重难点确定为
重点：理法结合、迁移联通，构建整数乘法计算的算法结构
难点：沟通口算、笔算、估算之间的联系，灵活选择合适的策略进行计算。
教学活动
一、确定学习起点，巩固算法结构
师：今天我们研究的内容是“三位数乘两位数”，在研究新问题之前，先来回忆前面我们学过的三位数乘一位数和两位数乘两位数，谁来说说你是怎么算的？
（出示学生写的竖式）
1.巩固三位数乘一位数的算法结构
师：145×2是怎么算的？
（根据学生口答，在竖式上画箭头）
生：2×5=10，2×40=80，2×100=200，最后把它们加起来等于290
师：简单概括地说，就是用一位数与三位数中的每个数位上的数分别相乘。
（边说边在□□□×□上画箭头表示算法）
2.巩固两位数乘两位数的算法结构
师：45×12怎么算？
生：先算2×45=90，再算10×45=450，把它们加起来等于540
根据学生回答在竖式上写出每一步的算理。
师（追问）：这里的45的5为什么对齐十位，表示什么？90呢？
生：表示45个十，所以末尾的5与十位对齐。
生：90表示90个一，所以末尾的0对齐个位。
根据学生回答，板书45个十，90个一
师：计算两位数乘两位数要注意什么？
生：要注意相同数位对齐。
师：用简洁的话概括两位数乘两位数的计算方法，就是用其中一个乘数的个位和十位分别去乘另一个乘数，再把两个积相加起来。
（师在竖式上和□□×□□上画出箭头）
小结：看来同学们不仅掌握了三位数乘一位数和两位数乘两位数的计算方法，还明白了方法背后的道理。（板书：方法、道理）
【设计意图：根据学生对三位数乘一位数和两位数乘两位数算理的理解和算法的掌握情况，调动学生已有知识经验，为自主构建新知识做铺垫的同时，也为培养迁移能力埋下伏笔，并促进算法结构的巩固。】
二、迁移联通，理法结合，构建乘法模型
1.自主迁移，理法结合
师：（出示145×12）三位数乘两位数你会算吗？尝试着算一算。（写在练习纸上）
师：说一说，你是怎么算的？
师相机板书：2×145，10×145
师：如果你是一名数学老师，你最想向她提什么问题？
生：145的末尾为什么要与十位对齐？
生：290末尾的0为什么要与个位对齐？
师：我明白了，你是用先分后合的方法，把新知识转化成旧知识来计算的。（板书：先分后合）
师：通过刚才的交流，我们发现乘法竖式中蕴藏着数的位置值和数学的简洁美。
师：现在请你检查一下自己的竖式，有错误的举手，说说错在哪里。
师：对于忘记进位、抄错数，你有什么好的经验与大家分享？
师评价：真好，乐于分享自己的学习经验，大胆的说出自己的想法，就是学习的好方法。掌声也要送给做错的同学，她们有承认错误的勇气以及知错就改的好习惯。
2.迁移联通，归纳算法
师：三位数乘两位数以前学过吗？没有学过为什么都会了？
生：跟两位数乘两位数的计算方法和道理是一样的。
生：都是先用个位去乘三位数，再用十位去乘三位数，最后加起来
生：都是先分后合。
生：计算道理一样，就是一个是用一个因数的个位和十位分别乘三位数，一个是用一个因数的个位和十位分别两位数。
师：看来，数学知识之间是有联系的。三位数乘两位数的计算方法和道理都是由两位数乘两位数迁移过来的。
3.知识延伸，构建模型
师：我们在二年级的时候就知道了求几个相同加数的和可以用乘法，紧接着学习了两位数乘一位数和三位数乘一位数，在此基础上，又学习了两位数乘两位数，今天还通过自主探索学习了三位数乘两位数。你们猜，接下来会学什么？
生：三位数乘三位数
生：三位数乘四位数
生：四位数乘四位数
生：我觉得后面不会再学了，因为都一样了。
师追问：为什么？
生：因为计算方法和计算的道理都是一样的，可以以此类推。
师：这是整数乘法的最后一个内容，后面不再学习了，你知道为什么吗？
师：数学看起来千变万化，其实“万变不离其宗”，现在你能用一句话概括整数乘法的计算方法吗？
生：用一个因数的每一位去乘另一个因数，再把乘得的积相加。
师：计算时还要注意什么？
师：同学们讲的真好！掌握了计算的方法，就能正确地算；懂得计算的道理，就能明白地算；如果能选择合适的方法进行灵活地计算，就能达到计算的最高水平。
【设计意图：对于三位数乘两位数，学生有能力把已经学会的算理和算法迁移过来。因此，在教学中给学生充分的思考和说理的空间，在观察对比、分享交流中沟通多位数乘一位数、两位数乘两位数、三位数乘两位数之间的联系，意在疏通新旧知识之间的关联，让学生真正掌握算法，理解算理，并对整数乘法的计算方法做一个系统的总结。】
三、解决问题，促进运算能力进阶发展
1.选择合适的策略解决问题
①怎样列式？为什么用乘法？
②这位同学这样算对吗？
生：用口算看尾数的方法：个位乘个位，积的个位一定是2，而不是1。
师：用口算直接判断，简单！还有其他想法吗？
师：用估算判断，快速！
师：想一想：三位数乘两位数的积可能是几位数？
师：对数的敏锐的感觉也是计算水平高的表现。
③你能用计算器计算出432×21的结果吗？这个计算器上的按键1坏了，还能计算出结果来吗？
生26：432×20+432
生27：432×3×7
生28：432×（30-9）
2.今天我们研究了三位数乘两位数，你有什么收获？
3.课后延伸，理解整数乘法的本质
师：大家知道古代欧洲是怎样计算三位数乘两位数的吗？
师：请大家把古代欧洲的算法和今天的算法进行比较，互相说一说，两种算法每一层分别是由哪两个数相乘得到的，它的计数单位是什么？分别表示多少个计数单位？
师：所以，笔算整数乘法的本质就是先求出有多少个计数单位，然后再把计数单位相加。
师：古欧洲的算法怎么变化就可以变成今天的算法？为什么？
师：真了不起！这就是古欧洲的三位数乘两位数的笔算可以变得简单的原因。就是这样看似轻松的一合，经历了从古到今漫长的历史发展过程，凝聚了无数数学家的智慧。
师：你也可以试着创造一个简洁的竖式进行计算。
【设计意图：在解决问题的过程中沟通口算、笔算、估算、简算之间的联系，将运算技能与推理等思维能力的培养有机结合在一起，激发学生学习热情，提升运算能力。】
来源：罗柳萍数学工作室
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