什么是大数？怎样搞出一个大数？

学术 2024-12-03 09:30 北京

综合俄罗斯塔斯社和英国《每日电讯报》2024年10月30日报道，俄罗斯政府对谷歌给出的罚款达20, 000, 000, 000, 000, 000, 000, 000, 000, 000, 000, 000（35位数字）美元，这一数字远超全球GDP总和（2023年为约110万亿美元，是一个15位数字）。

这个数字很大很大吧！那么这个数用中文怎么读呢？

为此，我们先了解一下计数单位。从10³的“千”（thousand）开始，每隔1000升一级，直到10⁴⁸的“极”（Quindecillion），计数单位的汉字（源于古印度梵书数系统[1]）和英文名称如下：

10³ 千 Thousand
10⁶ 百万 Million
10⁹ 十亿 Billion
10¹² 兆 Trillion
10¹⁵ 一千兆 Quadrillion
10¹⁸一百京 Quintillion
10²¹ 十垓 Sextillion
10²⁴ 秭 Septillion
10²⁷ 一千秭 Octillion
10³⁰ 一百穰 Nonillion
10³³ 十溝 Decillion
10³⁶ 涧 Undecillion
10³⁹ 千涧 Duodecillion
10⁴²百正 Tredecillion
10⁴⁵ 十载 Quattuordecillion
10⁴⁸ 极 Quindecillion

按上面的计数单位，俄罗斯给谷歌的罚款的数量级，在中文里读作“一百溝”，用英文里说就是“ten decillions”。

说明：涉及大数的计数单位，不同的文献给出的中文名称不统一，本文参考的资料给出的只是其中一种，读者不必纠结具体的称谓。

其实，计数单位远不止上面这些，例如还有：10⁵²(恒河沙)、10⁵⁶(阿僧祇)、10⁶⁰(那由他)、10⁶⁴(不可思议)、10⁶⁸(无量)、10⁷²(大数)、10⁷⁶(全仕祥)和10¹⁰⁰(古戈尔)等等[1]。

这里面，10¹⁰⁰的名称“古戈尔”是外来词，它是美国数学家爱德华·卡斯纳的侄子米尔顿·西罗蒂造出的计数单位“Googol”的音译，它代表1后面有100个0。它比宇宙中所有可观测的全部基本粒子数量（约10⁹⁷）还多，一般被认为是最大的计数单位。

你可能注意到，googol和google看起来有点像？

实际上，谷歌的创始人拉里·佩奇的确曾想将他们研发的大规模网页数据索引网站定名为googol，意喻海量的网页信息。结果在注册域名时错误地输入成google，google就这样将错就错成了他们公司的名字。

并且，以googol为基础构造的词语googology，是研究如何表示大的自然数的学科——“大数数学”的英文名称，下图中的圆形图案是大数数学的一种常见Logo。

Googology logo[2]

看到这里，俄罗斯罚谷歌这个款的数字，还是有点意思哦，不知是不是受到谷歌的logo中的多个o的启发？只是，既然这个罚款如此之大，肯定也没法执行，那怎么不索性罚一个古戈尔？那样更配得上谷歌的名头了。

不过，无论如何，俄罗斯的罚款还是有意义的，它让2×10³⁴这个数在现实中被实现了，而不再是虚无的数字了。

好，闲话不说，现在回到本文的主题——怎样创造一个大数？

很多人可能觉得这个问题有点莫名其妙，数字要多大就多大，还用得着去创造吗？

比如说，你说a=10¹⁰⁰很大是吧？那我来一个b=10¹⁰⁰⁰⁰⁰呀！你嫌不够大，给出c=10^b，那我就来d=10^c咯，就这样下去，无穷无尽，要多大就可以多大，甚至无穷大都可以。

是这样吗？

答曰：非也！

根据大数数学，大数的创造要考虑两个方面的问题。

第一，数必须是有根据的和来由的，不是说你想多大就多大，也就是说，无论多大的数，必须是有意义的。

例如，一摩尔某单质所含的原子个数，也就是阿佛加德罗常数，它等于6.02×10²³；IPv6协议下的IP地址总数为2的128次方，号称能使“地球上每粒沙子都拥有一个IP地址”；六阶魔方的状态数共有1.57153×10¹¹⁶种，这些数都是有意义的数。

那是不是说，上面这些就算是大数了呢？

不不不，这些根本不是什么大数！

真正的大数都不能仅靠加、乘和幂运算来获得，所以构造大数还需要考虑第二个问题——必须采用更加高级的运算法则和符号体系。

下面来逐步讲讲这个问题。

温馨提示：大数数学非常高深，本文只讲点皮毛，有兴趣的可自行进一步学习。

诸君想想，基于小的数构建更大的数，要怎么做？废话，当然是通过运算让小的数变大啊，那么，有哪些方法呢？

第一种，最简单的，就是增加1，这叫后继。用 $S(a)$ 表示，例如： $S(0)=1,S(1)=2\cdots$ 第二种，一次性增加若干个1，这就是加法。它比后继运算高级，它可以替代冗长的后继运算，例如：

$2+3=S(S(S(2)))$ 所以，加法与后继之间满足如下关系： $a+b= \underbrace{S(S(\cdots(}_ba)\cdots ))$ 第三种，按倍数增加，这就是乘法。乘法是多个加法导致的，所以乘法与加法之间满足如下关系： $a\times b= \underbrace{a+a+\cdots+ a}_b$ 第四种，一次做多次乘法，它通过指数来运算，它与乘法之间的关系为： $a^b= \underbrace{a\times a\times\cdots\times a}_b$ 人们将后继、加法、乘法和指数运算分别称作第0级、第1级、第2级和第3级运算。可以看到，随着运算级升高，更容易得到更大的数。

但是，对于构造真正的大数，这还远不够！

有没有更厉害的符号呢？

有的有的，它就是高德纳箭头，它写作 $\uparrow^n$ ，这里的 $n$ 是指箭头的数量，例如 $\uparrow^1$ 就是 $\uparrow$ ，而 $\uparrow^2$ 就是 $\uparrow\uparrow$ ，依此类推。

那么它代表什么样的运算呢？

先说最简单的 $\uparrow$ ，它就是指数运算，所以 $a\uparrow b=a^b=\underbrace{a\times a\times\cdots\times a}_b$ 按照前面说的，它是3级运算。

再看双箭头 $\uparrow\uparrow$ ，它代表的运算是： $a\uparrow\uparrow b =\underbrace{a \uparrow a\uparrow\cdots a}_b$ 它比指数运算还高一级，它是4级运算。

而 $\uparrow^3$ ，也就是 $\uparrow\uparrow\uparrow$ ，它代表的运算如下，它自然就是5级运算了。 $a\uparrow\uparrow\uparrow b =\underbrace{a \uparrow\uparrow a\uparrow\uparrow\cdots a}_b$ 你应该看出规律了吧？没错， $\uparrow^n$ 代表 $n+2$ 级运算，相邻两级运算之间的关系为：

$a\uparrow^{n+1}b =\underbrace{a \uparrow^n a\uparrow^n\cdots a}_b$ 现在，我们来举几个具体的例子。

最简单的 $3\uparrow3$ ，它就是指数运算，即： $3\uparrow3=3^3=27$ 再看 $3\uparrow\uparrow3$ ，它也不难，即： $3\uparrow\uparrow3=3\uparrow(3\uparrow3)=3^{3^3}$ 这个指数塔，计算出来是7625597484987，七万多亿，这个数不小吧！

注意看，上面式子中有括号（），它告诉我们，运算是从右往左进行的。实际上，高德纳箭头的运算本身就是从右往左进行的，这种规则叫“右结合”。所以括号不是必须的，但为了看清楚，你也可以加上括号。

接下来到 $3\uparrow\uparrow\uparrow 3$ ，它应该等于多少呢？

到这里停10分钟，你可以自行先算一下试试。

好，继续吧，按照上面的规则来：

$\begin{align*} 3\uparrow\uparrow\uparrow 3&=3\uparrow\uparrow(3\uparrow\uparrow3)\\ &=3\uparrow\uparrow7625597484987\\ &=\underbrace{3 \uparrow 3\uparrow\cdots 3}_{7625597484987}\\ &=3^{\left.3^{3^{\cdots^{3}}}\right\}7625597484987} \end{align*}$

看懂这个数了吗？它是一个一个由3构成的，共有7625597484987层的指数塔！

等等，你知道这个指数塔有多高吗？你写一辈子都写不完！

假设你每秒钟能写3个3，写完这个幂塔需要80602年。按着键盘不动，每秒出30个，也需要8000多年。

到现在，你大概明白了高德纳箭头的威力了，就凭3个箭头，它就轻松的把这么大的数收入囊中。

但你知道，这不过才刚刚开始，与后面的真正的大数比起来，这个数简直小到可以忽略。

接下来再看 $3\uparrow\uparrow\uparrow4$ ，你可能觉得它不过比上面那个数大一点，那你就错了！我们来看： $\begin{align*} 3\uparrow\uparrow\uparrow 4&=3\uparrow\uparrow3\uparrow\uparrow(3\uparrow\uparrow3)\\ &=3\uparrow\uparrow(3\uparrow\uparrow7625597484987)\\ \end{align*}$ 这个数由有多大？上面那个7625597484987层的指数塔的巨大数字，现在成了这个数的指数塔的层数，如下所示： $\begin{align*} &3\uparrow\uparrow\uparrow 4=3^{\left.3^{3^{\cdots^{3}}}\right\}3^{\left.3^{3^{\cdots^{3}}}\right\}7625597484987}} \end{align*}$ 看到了吧，如果不借助高德纳箭头，这可不只是一个大到无法想象的数，而是一个大得无法记录的数！

如果你继续考虑 $3\uparrow\uparrow\uparrow5$ ，你会发现，它的指数塔的层数就是 $3\uparrow\uparrow\uparrow4$ 。

所以，你发现规律了，在 $a\uparrow^nb$ 中，当 $n>2$ 时，若让 $b$ 增加1，则新得到的数的单箭头的数量，也就是它指数塔的层数是 $a\uparrow^nb$ 。

好，继续来看 $3\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow3$ ，按照规则，它是： $\begin{align*} 3\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow3=&3\uparrow\uparrow\uparrow(3\uparrow\uparrow\uparrow3)\\ =&\underbrace{3 \uparrow\uparrow 3\uparrow\uparrow\cdots 3}_{3\uparrow\uparrow\uparrow3} \end{align*}$ 是不是感觉有点炸了的感觉？没错，这个数一下子比上面所有的数大太多了，指数塔都快没法描述了，因为实在是太大了！

按照高德纳箭头的从右往左的顺序，上面这个数可展开为如下所示：

这个图怎么理解？

我们从水平花括号的最左边开始，它是第1个3的指数塔，它有多少层呢？它的层数由第2个3的指数塔表示，这个指数塔的层数由第3个3的指数塔表示，一直这样下去，直到花括号上面最右边那个指数塔，它只有3层。这样一直进行的次数共有多少呢？这个次数又是一个指数塔，它在水平花括号的下面，它有7625597484987层。

那么接下来的 $3\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow3$ 多大？， $3\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow3$ 在它面前简直可以忽略不计，其展开图表示如下，读者可照上面的类似的方法来理解。

由上可见，对 $a\uparrow^nb$ 来说， $b$ 的增长会引起数剧烈变大，例如 $3\uparrow^44$ 的指数塔的层数是 $3\uparrow^33$ ；而如果 $n$ 增加的话，那数的增加会更加快，例如 $3\uparrow^43$ ，它的指数塔的层数的层数的层数层数 $\cdots$ 都不止 $3\uparrow^33$ ，简直让宇宙都丧心病狂了！

而这个令人炸裂的 $3\uparrow^43$ 就是著名的葛立恒数的守门员。

是的，我们已经摸到令人骇然的大数——葛立恒数的门把手了！ $3\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow3$ 就是葛立恒数的最小成员，表示为 $G(1)$ ，后面依次有 $G(2),G(3),\cdots$ 一直到 $G(64)$ 。

数学家与魔术师的罗纳德·葛立恒[3]

葛立恒数的最大数 $G(64)$ ，是美国著名数学家，曾任美国数学学会主席的罗纳德·葛立恒（Ronald Graham，1935~2020）提出的[4]。它来源于一篇图论文章证明的一个数的上界，具体关联问题如下：

连接n维超立方体的每对几何顶点，得到一个 $2^n$ 个顶点的完全图。将此图的每条边涂成红色或蓝色。对于n的最小值，每个这样的着色至少包含一个四个共面顶点的单色完全子图是多少？
https://googology.fandom.com/

葛立恒数是很多人开始了解大数数学时遇到的第一个数。

那么， $G(2)$ 该有多大呢？是不是 $3\uparrow^53$ ？不是！它是： $G(2)=3\uparrow^{G(1)}3$ 没错，它的连续箭头数有 $G(1)$ 个！所以，逆天的 $G(2)$ 甚至都无法用高德纳箭头表示了。

后面的 $G(3),G(4)$ $\cdots$ $G(64)$ 都是按照此规律定义的，即： $G(n+1)=3\uparrow^{G(n)}3$

所以葛立恒数的定义为： $G(n)={\begin{cases}3\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 3,&n=1\\3\uparrow ^{G(n-1)}3,&n\geq 2\end{cases}}$ 各个成员之间的关系如下图所示：

$\left.{\begin{matrix}G&=&3\underbrace {\uparrow \uparrow \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \uparrow } 3\\&&3\underbrace {\uparrow \uparrow \cdots \cdots \cdots \cdots \uparrow } 3\\&&\underbrace {\qquad \quad \vdots \qquad \quad } \\&&3\underbrace {\uparrow \uparrow \cdots \cdots \uparrow } 3\\&&3\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 3\end{matrix}}\right\}{\text{64 层}}$

可以看到，葛立恒数相邻的成员中，小的与大的比起来，就像一个微粒与宇宙的相比，这是葛立恒数之所以是大数的最重要特征。

毫无疑问，你根本无法想象葛立恒数到底有多大，太烧脑了！

如果你问我，葛立恒数有多大？我只能说：它大到无法回答；如果你问我，葛立恒数的位数有多大？我依旧只能说：它大到无法回答；如果你继续问我，记录葛立恒数的位数的那个数的位数有多大？我还是只能说：它大到无法回答。如果你继续问我，记录葛立恒数的位数的那个数的位数的位数有多大？我的回答依旧如此。

如果你换个方式问，比如你问：像上面这样问你，问多少轮，才可以得到一个可以表示出来地数？那么我的答案是：你需要问的轮数太多了，这个数无法说出来。

如果你非要点具体的、刺激的感受，那你可以这样想，假设全宇宙的空间都装上了墨水，你用它来写3的幂塔： $3^{3^{3^{\cdots^{3^{\cdots}}}}}$ 只要你有足够多的纸，你的寿命无限长，你就这样一直写下去，即使用完全宇宙体积的墨水写出来的数，与葛立恒数比起来不过就是零。

所以，不要问一个人葛立恒数有多大，因为没法回答。

那么，葛立恒数就是最大的数吗？

不不不！葛立恒数只是大数数学家族中的普通的一员，如果将大数比作恒星，那么它就像太阳一样，离我们最近，还有很多更大的数，比它大得多。

其实，葛立恒数是一个很简单的数，它的构造只需要中学数学的知识就够了。若用葛立恒数不断套娃，例如G(65)——虽然这没有意义，得到的大数本质上还是葛立恒数的同类，实际上，仅基于指数塔和高德纳箭头构建的大数，不可能形成新的类型的大数。

而更高级的大数构造方法，就需要更多高深数学知识了，比如康威链（高德纳箭头扩展）、ω进制线性数阵、树状结构和BO的结构等等[5]。本文篇幅有限，就不过多涉及了。

比葛立恒数大的数，典型的如TREE(3)，它是目前发表在数学期刊上的最大数，它是依赖于树结构导致的一个超级无敌变态的大数，在它面前，葛立恒数可以忽略不计。

参考文献

https://www.zhihu.com/question/583140904/answer/2898030379https://fictional-googology.fandom.com/wiki/The_Googologyhttps://www.cantorsparadise.org/a-titan-among-men-ron-graham-310063e13210/https://waitbutwhy.com/2014/11/1000000-grahams-number.htmlhttps://zhuanlan.zhihu.com/p/617631653

END

本文转载自《物含妙理》微信公众号