来源：博客园
作者：Climber
例如： 两组数的集合 {0， 5， 9， 14} 和 {5， 6， 8， 9} 其平均值都是7，但第二个集合具有较小的标准差
标准差公式：
公式描述：公式中数值为X1,X2,X3,……XN（皆为实数），其平均值（算数平均值）μ，标准差为σ
标准差应用于投资上，可作为量度回报稳定性的指标。标准差数值越大，代表回报远离过去平均数值，回报较不稳定故风险越高。相反，标准差数值越小，代表回报较为稳定，风险亦较小。
两人的5次测验成绩如下： A：50，100，100，60，50 -->Average(A) = 72 B：73，70，75，72，70 -->Average(B) = 72 平均成绩相同，但A不稳定，对平均值偏大
方差公式：
公式描述：公式中x为平均数，n为这组数据个数，x1,x2,x3……xn为这组数据具体数值。
除了期望，方差(variance)是另一个常见的分布描述量。如果说期望表示的是分布的中心位置，那么方差就是分布的离散程度。方差越大，说明随机变量取值越离散。
比如射箭时，一个优秀的选手能保持自己的弓箭集中于目标点附近，而一个经验不足的选手，他弓箭的落点会更容易散落许多地方。
数学上，我们用方差来代表一组数据或者某个概率分布的离散程度。可见，方差是独立于期望的另一个对分布的度量。两个分布，完全可能有相同的期望，而方差不同，正如我们上面的箭靶。
比如连续随机变量：Var(X)=E[(X−μ)2]=∫+∞−∞(x−μ)2f(x)dxVar(X)=E[(X−μ)2]=∫−∞+∞(x−μ)2f(x)dx
方差的平方根称为标准差(standard deviation， 简写std)。我们常用σσ表示标准差。σ=Var(X)−−−−−−√σ=Var(X)
可以预期到，正态分布的σσ越大，分布离散越大，正如我们从下面的分布曲线中看到的：
代码如下:
# By Vamei
from scipy.stats import normimport numpy as npimport matplotlib.pyplot as plt
# Note the difference in "scale"， which is stdrv1 = norm(loc=0， scale = 1)rv2 = norm(loc=0， scale = 2)
x = np.linspace(-5， 5， 200)
plt.fill_between(x， rv1.pdf(x)， y2=0.0， color="coral")plt.fill_between(x， rv2.pdf(x)， y2=0.0， color="green"， alpha = 0.5)
plt.plot(x， rv1.pdf(x)， color="red"， label="N(0，1)")plt.plot(x， rv2.pdf(x)， color="blue"， label="N(0，2)")
plt.legend()plt.grid(True)
plt.xlim([-5， 5])plt.ylim([-0.0， 0.5])
plt.title("normal distribution")plt.xlabel("RV")plt.ylabel("f(x)")
plt.show()
这个概率依赖于分布本身的类型。比如正态分布N(0，1)N(0，1)，这一概率即为x大于2，或者x小于-2的部分对应的曲线下面积：
Chebyshev不等式让我们摆脱了对分布类型的依赖。它的叙述如下：
对于任意随机变量X，如果它的期望为μμ，方差为σ2σ2，那么对于任意t>0t>0，P(|X−μ|>t)≤σ2tP(|X−μ|>t)≤σ2t 无论X是什么分布，上述不等式成立。我们让t=2σt=2σ，那么P(|X−μ|>2σ)≤0.25P(|X−μ|>2σ)≤0.25
也就是说，X的取值超过两个正负标准差的可能性最多为25%。换句话说，随机变量至少有75%的概率落在正负两个标准差的范围内。（显然这是最“坏”的情况下。正态分布显然不是”最坏“的）
绘图代码如下：
from scipy.stats import normimport numpy as npimport matplotlib.pyplot as plt
# Note the difference in "scale"， which is stdrv1 = norm(loc=0， scale = 1)
x1 = np.linspace(-5， -1， 100)x2 = np.linspace(1， 5， 100)x = np.linspace(-5， 5， 200)plt.fill_between(x1， rv1.pdf(x1)， y2=0.0， color="coral")plt.fill_between(x2， rv1.pdf(x2)， y2=0.0， color="coral")plt.plot(x， rv1.pdf(x)， color="black"， linewidth=2.0， label="N(0，1)")
plt.legend()plt.grid(True)
plt.xlim([-5， 5])plt.ylim([-0.0， 0.5])
plt.title("normal distribution")plt.xlabel("RV")plt.ylabel("f(x)")
plt.show()
例如： 数据A：8，5，9，6，3，2，4，9 2，3，4，5，6，8，9 中位数 = 5 A - 5 = 3，0，4，1，2，3，1，4 0，1，1，2，3，3，4 MAD = 2
标准差为方差的平方根 方差越大，“极端区间”偏离中心越远
经管学苑
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