面对上述问题，研究团队提出了一种仅通过测量体区域场分布的拓扑判别方法（图1），不依赖于全带隙及带隙内界面态，应对扰动和缺陷时具有极高的鲁棒性，且不受局部缺陷和复杂能带结构的影响。该方法通过测量体区域内场分布，可以在每个高对称点处标定能带的对应模态，并在实验中观察到能带翻转现象。进一步的，通过使用对称性指标不变量理论（symmetry-indicator invariant theory），得到实验样品对应的拓扑不变量。
图 1. 拓扑能带结构的投影带图示，展示了 (a)全带隙且有带隙内界面态，(b)全带隙但没有带隙内界面态，(c) 方向带隙且没有带隙内界面态的情况。全带隙和界面态分别以灰色区域和橙色曲线表示。(d) 实验方法示意图，通过仅测量体区域内的场分布来诊断拓扑带隙材料。
该方法主要包括以下几个步骤：傅里叶变换、模态投影、对称性指标不变量计算。首先，对得到的体区域内场分布做傅里叶变换，得到高对称点上的场分布；然后对得到的场分布做模态投影，得到每个高对称点上每条能带对应的模态（图2）；最后将研究所关注的带隙以下的各个模态数量对应到对称性指标不变量理论进行计算，得到拓扑不变量的数值。
图 2. 图的上半部分呈现了拓扑判别的流程图，下半部分为可视化的展示。第一列展示了测量到的体区域内场分布Ez。每个包含 2×2 大小的彩色方格代表一个具有四个原子的单位原胞。第二列展示了ks过滤器（即傅里叶变换因子），其与场分布相乘后得到第三列。第四列展示了通过对第三列结果中的所有原胞求和得到的场分布。第五列展示了对s、p 和 d态的投影，灰度值对应模态强度。图中透明度不同的前后三层对应不同的能量值。在第六列中标注了各个能量各个高对称点处能带中主导的模态。
为了验证可行性，研究团队在光子晶体平台上用这个方法展示了拓扑判别。首先，研究团队设计了拓扑以及平庸的两块有限尺寸光子晶体，通过近场扫描测量得到体区域内的场分布。然后通过傅里叶变换和模态投影，得到每个高对称点上每种模态强度随频率的变化（图3）。可以观察到，对于平庸的光子晶体，每个高对称点上随频率的增加，模态总按照先s态，再p态，最后d态的顺序出现；而对于拓扑的光子晶体，不同高对称点上模态出现的顺序是不同的，例如在X点上，随频率的增加，p态先出现，然后s态，d态，最后再是p态（图3 c），这也就是拓扑材料中典型的能带翻转现象。利用对称性指标不变量理论，对这一直观现象进行数学上的抽象，可以得到Z2拓扑不变量极化P以及角电荷Q，从而判别拓扑相。
研究团队提出了一种通过测量对称性指标不变量来诊断拓扑带隙晶体材料的新方法，该方法不依赖于完整的带隙和带隙内界面态。得益于大面积体态的平均效应，该方法在面对扰动和局部缺陷时具有较强的鲁棒性。此外，由于该方法不依赖于边界态的测量，可以应用于一些非束缚态的边界态与其他模态耦合的复杂场景。另一方面，研究团队期待这一方法扩展到更广泛的具有晶体对称性的拓扑材料，包括三维系统、脆弱拓扑相以及具有狄拉克点和陈数的稳定拓扑相，进一步推动相关领域的拓扑材料研究。
南京大学物理学院博士生贾诗音为论文的第一作者，通讯作者为香港中文大学（深圳）解碧野教授和南京大学詹鹏教授。该研究得到了王振林教授的悉心指导。
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