义务教育阶段数学课程内容由数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践四个学习领域组成。其中，“数与代数”领域在小学阶段包括“数与运算”和“数量关系”两个主题。“数与运算”包括整数、小数和分数的认识及其四则运算，其中数的认识重点在于理解和掌握数概念，数的运算重点在于理解算理、掌握算法。数的认识与数的运算之间关系密切，数的认识是数的运算的基础，而通过数的运算可以帮助学生更深入地理解数的概念。
根据《数学课程标准（2022 年版）》的内容要求，第一学段“数的运算”主要包括四则运算的意义，整数加减法和简单的整数乘除法。![]()
第一学段“数的运算”教材内容及其编排，遵循由浅入深、层层递进、螺旋上升的原则，引导学生小步走、缓坡上、长探索，逐步认识运算、理解运算，建立相对系统的认知结构。一年级上册重点引导学生在具体情境中了解加减法的意义，感悟加减法之间的关系，探索 10 以内（包括 10）加法和减法的算理与算法，学会 10 以内（包括 10）的加法和减法。一年级下册重点引导学生结合具体情境，探索 20 以内（不包括20）进位加法和退位减法，以及 100 以内（不包括 100）的两位数加、减整十数和一位数的算理和算法。二年级上册重点引导学生在具体情境中了解乘除法的意义，感悟乘法和加法、乘法和除法之间的关系，探索并掌握乘法口诀，会计算表内乘除法；探索两位数加、减两位数的算理和算法，会进行口算；探索有余数除法的意义、算理和算法，会口算有余数的除法。二年级下册重点引导学生结合具体情境，探索简单的两位数乘、除以一位数口算的算理和算法，会进行口算；探索两、三位数的加法和减法笔算的算理和算法，会进行计算。需要注意的是，“两、三位数的加法和减法”单元是学生第一次接触笔算，之前都用口算。第一学段“数的运算”教材内容，充分展开核心知识的探索过程，结合具体情境引导学生理解四则运算的意义及其相互之间的关系；结合具体情境引导学生探索算理和算法，感悟两者之间的关系，有效落实发展核心素养的课程目标。教材坚持守正创新，突出知识的数学本质和内在关联，遵循学生的认知规律，在内容的选择和编排上有诸多新的探索，主要体现在以下几个方面。强化口算。表内的加减乘除，两位数乘、除以一位数，有余数的除法，两位数加、减两位数，都要求学生口算。一直到二年级下册，计算比较复杂的两、三位数的加法和减法时，才引进笔算。加强乘法意义的教学。教材安排3课时教学乘法的意义，突出对乘法意义的理解。其中，第一课时专门教学对“几个几”的认识；第二课时正式引入乘法概念，强调联系实际情境理解乘法算式中每个数的意义，并只给出一种乘法算式（比如“3个5人是多少人”列式“5×3”；“5 个 3 人是多少人”列式是“3×5”）；第三课时通过具体情境，引导学生体会“a 个 b”与“b 个a”的内在联系，帮助他们完善对乘法的认识。调整乘法口诀的教学顺序。先教学5和 6 的乘法口诀，再教学 1、2、3、4 的乘法口诀。一方面节省课时，提高教学效率；另一方面，先教学5的乘法口诀，可以有效利用学生已有的生活经验，以及学生认数时积累的按群计数的经验。以小方块和计数器作为探索算理的基本学具。小方块是一种简单几何体，在认数时就把它作为从具体事物到抽象符号的过渡，充分体现其“感性一般”的特质。同样的，计数器在认数时也有着重要作用，比如通过每次增加1颗珠，体现自然数的“后继”特性；通过个位“满10”向十位“进1”、十位“满10”向百位“进1”，体现十进制计数法则。这些都是探索和理解算理的基础和依据。学生操作小方块、计数器的方法多样，摆一摆、拨一拨、圈一圈、画一画，能从中受到启发，更好地开展探索，更深地理解计算原理。![]()
![]()
“数的运算”教学要以核心素养为导向，着力帮助学生形成初步的运算能力和推理意识；要以数的认识为基础，把感悟数概念本质的一致性和数运算本质的一致性融合起来；要突出对数的运算意义以及运算之间关系的感悟，突出对算理和算法的探索，并在此过程中培养运算能力和推理意识，促进核心素养的逐步形成。创设有效情境，促进学生理解运算意义、感悟运算关系，卫星城运算能力打下基础。
理解运算意义、感悟运算关系是形成运算能力的基础，其过程也有助于学生形成初步的推理意识。教学时要结合第一学段学生的身心特点，注重创设学生所熟悉的现实情境，体现相关运算的本质特点。让学生在情境的启发下，开展观察、操作活动，积极思维，正确表达，从而理解意义、感悟关系。
在认识加减法时，可以创设生动的场景来体现两个数量合并（加法）和从总量里去掉部分量（减法）的过程，引导学生基于情境特点，结合具体操作活动，利用对应的方法，理解加法的意义，并感悟减法是加法的逆运算。乘法是加法的简便运算。要在具体的情境中让学生逐步认识到：“把几个相同的数量合并，可以用几个相同的数连加。”在此基础上，揭示乘法算式及其各部分名称。要让学生解释乘法算式中每个数的意义，即哪个数表示“相同的数量”（相同加数），哪个数表示“相同数量的个数”（相同加数的个数），突出“乘法是加法的简便运算”这一本质特征。要结合具体情境引导学生体会“在同一个情境中，可以从不同角度理解相同加数及其个数”，并列出相应的乘法算式，感悟根据同一情境列出的两个不同乘法算式的实际意义，完善对乘法的认识。除法是乘法的逆运算。要通过操作使学生理解，无论“将几个物体平均分成几份”，还是“将几个物体，每几个一份地分”，都是平均分。再结合具体情境，引导学生探索用合适的方法表示平均分的结果，揭示除法算式及其各部分名称。教学中还可以借助操作和不同的算式表征，让学生体会除法与减法的关系。学生理解四则运算的意义、感悟运算之间的关系，并非仅通过认识某种运算的几个课时就能完成，也不是仅通过某个单元或第一学段的学习就能完成。随着数的认识内容的不断丰富、运算能力的不断提升，以及运用运算解决问题经验的不断积累，学生能不断加深对运算意义以及运算之间相互关系的理解，为形成运算能力打下基础。展开探索过程，促进学生理解算理、掌握算法，形成初步的运算能力。
算理是运算的内在本质，算法是运算的外在表现。算理的基础是运算的意义。理解算理，一定要从运算的意义出发。理解算法和算理的关系，是运算能力的基本内涵。理解算理、掌握算法，是四则运算教学的重点，也是形成运算能力、发展推理意识的关键。在教学中，要结合具体情境，引导学生基于对数的意义以及四则运算意义和关系的理解，完整经历计算方法的探索过程。要引导学生结合情境理解算式的意义，通过观察或操作，把具体情境中的信息和数的意义、运算意义结合起来，直观表达算理的理解和算法的探索过程，体会数的加减运算要在相同数位上进行，发现并初步理解“相同数位上的数，计数单位相同，可以用计数单位的个数相加减，计数单位保持不变”。要引导学生感悟计数单位对于乘除法运算的作用。比如，在整十数乘一位数的运算中，要体会把整十数看成几个十，再用计数单位的个数和一位数相乘，得到多少个十的思考过程。与之相应的除法（整十数除以一位数），既可以从除法是乘法的逆运算角度进行推想，也可以将被除数看成几个十进行计算。最终通过对两位数的分解，实现将两位数乘或除以一位数的运算，转化成相应的表内乘除法，从而感悟从未知到已知的转化，在形成运算能力的同时，发展初步的推理意识。![]()
第二学段的“数的运算”主要包括多
位数乘除法，整数四则混合运算和运算
律，以及小数加减运算和简单的分数加减
运算。![]()
第二学段“数的运算”教材内容与“数的认识”紧密结合。一方面，在第一学段内容的基础上，引导学生探索稍复杂的整数运算，包括整数的混合运算和运算律；另一方面，开启小数加减以及简单的分数加减运算的学习。三年级上册重点引导学生在具体情境中探索并掌握两、三位数乘或除以一位数的算理和算法，进一步了解乘除法的意义及其相互之间的关系。同时，教学乘法和除法的估算，及时应用所学的口算方法和技能解决简单实际问题，强化“数的运算”与“数量关系”主题的联系。三年级下册重点引导学生探索并掌握整十数乘整十数口算、两位数乘两位数笔算的算理和算法，进一步理解乘法的意义。同样的，也相机教学乘法的估算。四年级上册重点引导学生探索并掌握两、三位数除以两位数，以及三位数乘两位数的算理和算法，学习用计算器进行计算。同时，学习利用计算器探索规律。四年级下册重点引导学生探索并掌握运算律，能用运算律进行简便运算，探索并掌握小数加、减法的算理和算法，拓展对加减法意义的理解。第二学段“数的运算”教材内容，重视教学内容的结构化设计，引导学生循序渐进地学习整数乘除法的口算和笔算，突出算理的理解和算法的探索过程，感悟算理和算法的关系；重视数的认识与数的运算的有机结合，引导学生感悟计数单位的意义和作用，了解运算的一致性。教材在内容的选择和编排上有诸多新的探索，主要体现在以下几个方面。结合数的运算教学，融入估算、解决实际问题。在三年级下册“两位数乘两位数”的教学中，结合口算、笔算的教学，引导学生用估算和连乘解决实际问题；在四年级上册“两、三位数除以两位数”的教学中，引导学生用连除解决实际问题，促进他们结合具体情境应用所学的数的运算，既巩固知识，又感受知识的价值。简化笔算两、三位数除以两位数的学习历程。教材分两个例题引导学生探索两、三位数除以两位数笔算的算理和算法，突出试商的基本方法，即把两位数的除数看成整十数进行试商，充分利用除数是整十数除法的计算经验，强调计数单位的作用（整十数看成几个十），教学时不再将相关内容细分为“四舍试商”“五入试商”“调商”“不调商”等段落。
强化笔算乘法、除法算理和算法的探索过程。一是引导学生基于数和运算的意义，运用几何直观探索“两位数乘、除以一位数”“两、三位数乘、除以两位数”的算理算法；二是引导学生基于“计数单位”这一核心概念，感悟新学习的运算与以前学过的运算的本质联系；三是引导学生运用横式表达算理，基于横式写出竖式、探索算法，感悟算理和算法之间的联系。引导学生基于运算意义理解运算律，感悟运算律的意义和价值。根据具体情境得到等式后，引导学生运用几何直观（数轴图、方格图）解释等式两边式子的意义，从运算意义的角度理解等式之所以成立的理由，感受运算律和运算意义的内在关联。学习运算律后，引导学生回顾运算律在以前学习中的运用，感悟运算律对相关计算方法的支撑作用，打通运算意义、运算律与算理、算法之间的联系。突出计数单位在分数或小数加减法中的作用，感知整数、小数的加减运算都要在相同数位上进行。引导学生结合具体情境，根据小数以及加、减法的意义，借助整数加、减法笔算的经验，自主探索小数加、减法的竖式计算方法，用算式突出竖式计算中相同数位上数的实际数值及其加减的过程，突出计数单位在运算中的作用。![]()
![]()
第二学段“数的运算”的教学，要重视数的认识与数的运算的有机结合，通过数的认识夯实数的运算的基础，通过数的运算促进学生对数的认识。其中又要以感悟计数单位的意义及其在运算中的作用为重点，以此促进学生更好地了解数的概念以及数的运算在本质上的一致性，着力发展学生的运算能力和初步的推理意识。循序渐进，探索多位数乘除法的算理和算法，进一步形成运算能力。
学生学习多位数乘除法，需要经历“两、三位数乘或除以一位数”“两位数乘两位数”“两、三位数除以两位数”“大数的运算（三位数乘两位数）”这一过程。在教学中，要循序渐进地引导学生以已经初步理解的算理、算法以及相应的探索经验为基础，通过经验、知识、方法的迁移，探索新的运算的算理和算法，感悟未知向已知的转化，体会乘除法之间的关系。
两、三位数乘或除以一位数，要结合具体的情境，引导学生理解乘、除法算式的意义，感悟除法是乘法的逆运算。要以表内乘法、表内除法和数的意义为基础，联系具体情境，通过直观手段（比如画图、操作学具等），探索算理和算法，沟通口算和笔算的联系。要突出数的组成、计数单位等在口算或笔算过程中的作用。要结合具体情境，解释计算过程中每一步的实际意义，深入理解算理和算法。两位数乘两位数的教学，要让学生经历探索两位数乘整十数、几十乘几十算理和算法的过程，以数的意义、乘法的意义为基础，通过画图（比如长方形面积图）等直观手段，帮助他们理解算理、算法，感悟乘法运算的本质。在探索两位数乘两位数笔算的算理和算法时，要引导学生结合具体情境，基于算式以及参与运算的两位数的意义，运用已有的经验，借助几何直观，把其中一个两位数分解成整十数和一位数，把两位数乘两位数转化成两位数乘整十数的积与两位数乘一位数的积相加（以横式表示），感悟把未知转化为已知的过程。要引导学生根据横式写出竖式，将竖式中的每一步与横式中的每一步建立对应联系，使算理与算法有机结合。要结合具体情境（实际问题或直观模型），引导学生解释计算过程中每一步的实际意义，正确表述算理、深入理解算法。两、三位数除以两位数的教学，要引导学生充分运用两、三位数除以一位数的经验，理解意义，感悟乘除法的关系，探索算理和算法。要重视除数是整十数除法的教学，包括口算和笔算，使学生感悟计数单位在运算中的作用，感悟除数是整十数除法的试商方法。要给学生留出充分的时间探索除数是两位数除法竖式的计算方法，理解把两位数的除数看成整十数进行试商，并逐步优化为看成接近的整十数来试商的方法。三位数乘两位数的教学，要结合具体情境，以两、三位数乘一位数，两位数乘两位数的算理、算法，以及相应的探索经验为基础，鼓励学生主动把未知转化为已知，理解算理，掌握算法。突出计数单位，联系整数运算，探索小数和简单分数的加减法，进一步培养运算能力。
同分母分数的加减运算、小数的加减运算，要以对分数及其计数单位、小数及其计数单位的初步认识为基础，通过与整数运算的比较，引导学生进一步感悟加减运算的关系，探索计数单位相同前提下把计数单位的个数相加减的算理和算法，帮助他们进一步体会运算的一致性，培养运算能力。理解运算顺序，正确实施运算，进一步形成运算能力和初步的推理意识。
四则混合运算的教学，要通过解决实际问题，理解混合运算的运算顺序；要结合具体情境，认识小括号、中括号，理解其作用并正确运用；要引导学生通过逐步运算，理解每步运算的依据和结果的意义，进一步形成运算能力和初步的推理意识。通过解决实际问题、解释具体意义，探索并理解运算律，感悟运算律的作用，进一步形成符号意识和运算能力。
运算律的教学，要通过解决实际问题，让学生体会同一个问题可以根据不同的数量关系模型列出算式，并通过计算发现列出的不同算式结果相同，从而得到相应的等式。同时，引导学生由个别现象发现和提出问题，产生继续探索的愿望。在此基础上，联系运算意义，借助直观手段，解释等式成立的原因，使学生加深对等式意义的理解。最后，引导学生通过归纳得出运算律。在运算律的归纳过程中，要让学生尝试用语言或符号分别表达所发现的规律，感悟用字母表达的一般性。要组织学生比较相关运算律的相同点和不同点，并将运算律与更多的实际问题联系起来，以帮助他们加深对运算律的理解。在归纳运算律后，要让学生回顾以往所学的知识与探索发现的运算律的关系，特别是以往一些运算的算理和算法，是否可以用运算律进行解释，由此体会运算律是运算固有的性质，是确定算法的重要依据。当然，也要鼓励学生主动运用运算律进行简便运算，以帮助他们进一步形成符号意识和运算能力。![]()
第三学段“数的运算”主要包括小数和分数的四则运算以及相应的混合运算。
![]()
第三学段“数的运算”教材内容的编排，以分数四则运算意义以及相应算理和算法的探索为重点。这主要是因为小数（指有限小数）作为十进制分数的另一种表达，其四则运算（在第三学段主要是乘、除法）的意义、算理和算法从属于分数的四则运算。五年级上册重点引导学生探索小数乘整数和小数除以整数的算理和算法，以及小数点位置移动引起小数大小变化的规律。五年级下册重点引导学生探索并掌握异分母分数加减法、分数乘法和分数除法的算理和算法。六年级上册重点引导学生探索并掌握一个数乘或除以小数的算理和算法，开展数的运算的再认识，帮助他们进一步感悟四则运算的意义及其相互关系，并以计数单位统领加、减、乘法的算理、算法，用运算律解释相应的算理和算法。同时进一步明确除法的运算法则（都可以转化成乘法），感悟数的运算在本质上的一致性。第三学段“数的运算”教材内容的编排，遵循知识本身的发展逻辑，遵循学生身心的发展规律，着力处理好小数乘法和除法、分数乘法和除法、分数乘除法和小数乘除法之间的关系，让学生通过整数、小数、分数的运算，进一步感悟计数单位在运算中的作用，感悟运算的一致性。教材在内容的选择和编排上有诸多新的探索，主要体现在以下几个方面。合理安排小数乘、除法的教学分段。小数乘除法分两段编排：第一段在五年级上册，处于分数乘除法之前，主要教学小数乘整数、小数除以整数；第二段在六年级上册，处于分数乘除法之后，主要教学一个数乘小数、一个数除以小数。第一段教学的内容，其意义、算理、算法可以从整数乘除法中迁移过来；第二段教学的内容，其意义、算理、算法可以从分数乘除法直接推出。突出分数乘法的意义以及计数单位在计算中的作用。教材安排两道例题分别教学分数乘整数和分数乘分数，强调分数乘整数的意义与整数乘法相同，都是求几个相同加数和的简便运算；分数乘分数的意义，是前者的拓展，表示求一个数的几分之几是多少。同时，教材还十分重视计数单位的意义——在学生探索交流的基础上，引导他们思考：“得数的分数单位是多少？是怎么得到的？分数单位的个数呢？”结合分数除法的意义教学倒数的认识。先结合具体情境，引导学生感悟“和整数除法一样，分数除法也是已知两个乘数的积与其中一个乘数，求另一个乘数的运算”“分数除法是分数乘法的逆运算”；再根据乘除法的关系，得出倒数的定义，即如：“1 除以一个不为 0 的数得到的商，叫作这个数的倒数。”科学安排分数除法算理和算法的探索过程。先教学分数除以整数，引导学生结合具体情境，运用已有知识和经验，通过问题的转化，对比多样的算法，初步感知“除以一个整数等于乘这个整数的倒数”；再通过一般化的问题情境（已知一个数的几分之几是多少，求这个数），通过数量关系的推理，借助线段图等直观手段，引导学生进一步体会“分数除法都可以转化为一个数乘除数的倒数进行计算”。通过数的运算的再认识，引导学生建立更为完整“数的运算”的认知结构。再认识的重点是感悟整数、小数、分数运算本质上的一致性。这种一致性主要表现在三个方面：一是通过回顾，感悟“意义相同，算理、算法相通”；二是通过分析运算律在算理、算法中的作用，感悟“运算意义和运算律”决定“算理和算法”；三是通过代数推理，感悟“除法都可以转化为乘法进行计算”。![]()
![]()
第三学段“数的运算”教学，主要是探索小数、分数四则运算的算理和算法。在教学中，要注重对整数、小数和分数四则运算的统筹，引导学生感悟运算的一致性，培养运算能力和推理意识。教学异分母分数的加减法，要引导学生理解加减运算都要在相同计数单位下进行。
要引导学生结合具体情境，联系分数的意义，以及计算整数、小数、同分母分数加减法的经验，体会异分母分数加减法不能直接把分子相加。要让学生通过自主探索，运用通分把异分母分数加减法转化成同分母分数加减法。要引导学生联系整数加减法、小数加减法、分数加减法的算理和算法，理解整数、小数、分数的加减运算都要在相同计数单位下进行，从而感悟加减运算内在的一致性。
要引导学生结合具体情境，理解求几个相同小数或分数的和，都可以用乘法计算，得到的算式表达为小数与整数相乘、分数与整数相乘。要引导学生结合实际问题的解决，根据小数或分数的意义，借助直观的方式，理解求一个数的几分之几（十分之几、百分之几等）是多少，也可以用乘法计算，表达为一个数乘分数或小数。而小数、分数除法的意义与整数除法相同，都是“已知两个乘数的积与其中一个乘数，求另一个乘数的运算”，都是乘法的逆运算。要结合具体情境，从数和运算的意义出发，逐步概括和完善小数、分数乘除法的算理和算法。
教学小数乘整数时，要引导学生结合具体情境，根据生活经验和已有知识，或是通过名数改写的方式将小数乘整数转化成整数乘法，或是通过将小数乘整数转化成相同小数连加。初步解决相关问题后，再着重引导学生感悟：由于小数可以表达为若干个相同的计数单位，所以，可以用相同计数单位的个数与整数相乘，得到相应计数单位的总个数，进而理解确定积的小数位数（小数点的位置）的方法。教学小数除以整数时，要结合具体情境，联系除法的意义、小数与整数的关系，引导学生把整数除法的算理和算法迁移到除数是整数的小数除法中，着重理解在竖式中确定商的小数点位置的道理和方法。分数乘整数的算理和算法的探索过程，与小数乘整数大体相仿。教学分数乘分数时，先要教学几分之一乘几分之一。可以结合具体情境，引导学生理解算式的意义，再根据算式的意义、分数的意义，借助几何直观，探索算理、算法。同时，结合具体情境引导学生体会乘数计数单位与得数计数单位的关系。在此基础上，教学几分之几乘几分之几。要引导学生在几分之一乘几分之一的基础上，重点理解乘数计数单位及其个数与得数计数单位及其个数的关系，并注意及时概括一个数乘分数的意义和算法。分数除法的教学，先要引导学生结合具体情境理解分数除法的意义，理解倒数的概念，再依次教学分数除以整数、一个数除以分数。总体来说，要遵循“从特殊到一般”“从具体到抽象”“化未知为已知”的学习过程。比如，教学分数除以整数，先要解决分数的分子能被除数整除的计算问题，使学生既能从均分相同分数单位个数的角度理解计算方法，又能从“把一个数平均分成几份，求每份是多少”就是“求这个数的几分之一是多少”的角度展开探索。接着解决分数的分子不能被除数整除的计算问题，进一步感悟“分数除以整数”可以转化为“分数乘整数的倒数”。教学一个数除以分数时，要通过相关实际问题，引出“一般化”的分数除法问题，启发学生借助直观理解“分数除法都可以转化成一个数乘除数的倒数进行计算”。接着引导学生解决“异分母分数相除”的计算问题，启发他们通过通分将其转化为“同分母分数相除”的计算问题。在此基础上，通过相关实际问题，引出更为“一般化”的分数除法问题，启发学生借助直观理解“分数除法都可以转化成一个数乘除数的倒数进行计算”。小数乘小数的教学，要结合具体情境，从小数的基本含义（有限小数是十进分数的另一种表达）、小数和小数相乘的意义（是特殊的分数和分数相乘）出发，通过直观的方式（比如面积图），着力引导学生探索并理解“积的计数单位是两个乘数计数单位相乘的结果，积的计数单位的个数是两个乘数计数单位个数相乘的结果”，进而理解积的小数位数与两个乘数的小数位数的关系，明确计算方法。一个数除以小数的教学，要结合具体情境，引导学生联系小数的意义以及分数除法的算理和算法，经历将除数是小数的除法转化成整数除法的探索过程，体会一个数除以小数，不仅可以转化为分数除法进行计算，而且可以转化为整数除法进行计算，感悟一个数除以小数本质上也是相同计数单位的个数相除。通过对数的运算的再认识，让学生完善“数的运算”的认知结构。
要结合具体情境，引导学生理解整数、小数、分数四则运算在意义上是一致的，进一步感悟不同运算之间的关系。要通过比较整数、小数、分数四则运算方法的共同点，引导学生感悟这些计算方法都和参与运算的数的计数单位及其个数相关。要引导学生用加法和乘法的运算律解释整数、小数、分数的四则计算方法，体会运算律和运算意义都是推出算法的基本依据。要结合具体情境，引导学生发现整数、小数、分数的除法，都可以转化成乘法进行计算，并通过代数推理使上述想法得以证实，从而加深对乘除法关系的认识。![]()
（内容选自《小学数学教育》下半月刊2024年第10期 ）
长按二维码直接购买
![]()
